matemáticas - funciones

En matemática, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier subconjunto convexo de algún espacio vectorial) se llama función convexa o cóncava hacia arriba, si está definida sobre un conjunto convexo C y para cualesquiera dos puntos x, y miembros de C, y para cada t en [0,1], se cumple que:

En otras palabras, una función es convexa sí y sólo si su epigrafo (el conjunto de puntos situados en o sobre elgrafo) es un conjunto convexo.

Una función estrictamente convexa es aquella en que

para cualquier t en (0,1) y 

Una función  es cóncava si la función  es convexa.- ......................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=29b428be64d0f96aee5c36c821f14ba1ee7f3df1&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+convexa

FUNCIONES CONVEXAS
Esta sección trata los conceptos de convexidad y concavidad aplicados a funciones. En primer lugar se introduce la definición matemática de función convexa. DEFINICION: Una función f(x) definida sobre un conjunto convexo S es convexa cuando verifica la siguiente condición:  X, Y  S y   [0,1]se cumple: f ( X+(1-)Y )  f (X)+(1-) f(Y) Cuando en la condición anterior el signo de desigualdad es estricto y   [0,1] la función se dice estrictamente convexa. Los conceptos de función cóncava y estrictamente cóncava son similares cambiando los signos de desigualdad. De hecho, una función f (x) es cóncava si y solo si su opuesta – f (x) es convexa. Gráficamente, las funciones convexas son aquellas en las cuales los segmentos que unen cualquier par de puntos de su gráfica quedan siempre por encima de la gráfica. Si la función es estrictamente convexa los segmentos no pueden tocar a la gráfica salvo en los puntos extremos.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONVEXAS
Las funciones lineales son a la vez cóncavas y convexas pero no estrictamente La suma de funciones convexas sigue siendo una función convexa. Como generalización de la propiedad anterior puede decirse que cualquier combinación lineal con coeficientes positivos de funciones convexas es una función convexa. Si f (x) es una función convexa, entonces – f (x) es una función cóncava. Más aún, al multiplicar una función convexa por una constante negativa el resultado es una función cóncava. Si la función f (x) es convexa, el conjunto Sk={X / f (X)  k} es convexo para todo valor de k. De una manera similar podría probarse la propiedad que asegura que si la función g(x) es cóncava, entonces el conjunto Tk = {X Rn / g (X)  k} es convexo.

En análisis funcional y en áreas relativas a las matemáticas, espacios vectoriales topológicos localmente convexos o espacios localmente convexos son ejemplos deespacios vectoriales topológicos los cuales generalizan los espacios normados. Ellos pueden ser definidos como espacios vectoriales topológicos cuya topología es generadapor transformaciones de equilibrio, absorbentes, conjuntos convexos. Paralelamente, pueden ser defindos como un espacio vectorial con una familia de seminormas y una topología puede ser definida en términos de esa familia. Aunque en general tales espacios no son necesariamente normables, la existencia de una base localmente convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte para sustentar el teorema de Hahn-Banach, produciendo así una teoría lo suficientemente rica de funciones linales continuas.

Los espacios de Fréchet son espacios localmente convexos los cuales son dotados de una métrica y completos, con respecto a ésta métrica. Son generalizaciones de losespacios de Banach, que a su vez son espacios vectoriales completos con respecto a una norma.Un subconjunto C en V se dice

1. Convexo si para cada x y y en C, tx+(1–t) y esta en C para todo t en el intervalo unitario, tal que 0 ≤ t ≤ 1. En otras palabras, C contiene todos los segmentos de línea entre cualesquiera dos puntos en C.
2. Redondeado si para todo x en C, λx está en C si |λ|=1. Si el campo subyacente K son los números reales, lo que signifa que C es igual a su reflexión a través del origen. Para un espacio vectorial complejo B estao signiifica que para cualquier x en C, C contiene la circunferencia que pasa por x, centrada en el origen, en el subespacio unidimensional complejo generado por x.
3. Un Cono (cuando los campos subyacentes están ordenados) si para todo x en C y 0 ≤ λ ≤ 1, λx está en C.
4. Equilibrado si para todo x en C, λxestá en C si |λ| ≤ 1. Si el campo subyacente 'K son los números reales, esta significa que si x está en C, C contiene el segmento de línea entre x y -x. Para un espacio vectorial complejo V, esto significa que para algún x en C, C contiene el disco con x en su frontera, centrado en el origen, en el espacio unidimensional generado por x. Equivalentemente, un conjunto equilibrado es un cono redondeado.
5. Absorbente si la unión de tC sobre todo t > 0, pertenece todo a V, o equivalentemente para todo x en V, tx está en C para algún t > 0. El conjunto C puede ser ampliado a absorber cualquier punto en el espacio.
6. Absolutamente convexo si es a la vez equilibrado y convexo.

Un espacio vectorial topológico localmente convexo es un espacio vectorial topológico en el cual el origen tiene una base local de conjuntos convexos absolutamente absorbentes. Debido a que la transformación es ( por definición de espacio vectorial topológico) continua, todas las transformaciones son homeomorfismos, entonces toda base paralas vecindades del origen pueden ser transformadas a una base paralas vecindades de cualquier vector dado.

Conocimientos Iniciales

Bola

Definición:

Se llama bola abierta de centro x0 y radio r y se escribe  al conjunto de puntos  tales que su distancia a x0 es menor que r.

A veces se habla también de “entorno de x0” correspondiendo al mismo concepto.

Nota: Las bolas en ℜ son los intervalos.

Combinación lineal negativa

Definición:

Sean 

Se llama combinación lineal negativa de los  puntos  a:

Ejemplo:

Las combinaciones lineales negativas se obtendrán sustituyendo  y  por valores reales negativos (se pide que no sean nulos los dos a la vez):

Obsérvese que al variar de esta manera obtenemos:

Combinación lineal positiva

Definición:

Sean 

Se llama combinación lineal positiva de los  puntos  a:

Ejemplo:

Las combinaciones lineales positivas se obtendrán sustituyendo  y  por valores reales positivos (se pide que no sean nulos los dos a la vez):

Obsérvese que al variar  de esta manera obtenemos justamente el cono convexo generado por los vectores  y 

Conjunto abierto

Definición:

Sea 

 abierto  Fr A 

Intuitivamente:
Un conjunto es abierto si y sólo si no contiene ningún punto frontera.

Ejemplo:

1.    =

Observemos que , es decir, el conjunto de puntos frontera de  sólo contiene dos puntos:  y estos puntos NO pertenecen a  puesto que se ha considerado el intervalo abierto.

2.    =

Observemos que  , es decir, la frontera es justamente la circunferencia que NO pertenece al conjunto.

3.    =

Observemos que , es decir, ningún punto es punto frontera y, por tanto,  es abierto.

Igualmente,  y en general  son conjuntos abiertos.

NOTA: Obsérvese que todos los conjuntos que aparecen en el ejemplo 3 son también conjuntos cerrados.

Conjunto acotado

Definición:

Sea 

Se dice que  es acotado si dado un punto  existe un radio finito  tal que  queda incluido en una bola centrada en  y radio , es decir:

 acotado           tq   

Ejemplos de conjuntos acotados:

1. =
2. =
3. =
=

Ejemplos de conjuntos NO acotados:

1. =
2. =
3. =
4. =

Observemos que en estos últimos cuatro ejemplos no hay manera de incluir el conjunto en una bola por grande que sea el radio.

Conjunto cerrado

Definición:

Sea 

 cerrado     Fr A 

Intuitivamente:
Un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos los puntos de su frontera.

Ejemplo:

1. =
   
   Observemos que , es decir, el conjunto de puntos frontera de  sólo contiene dos puntos:  y estos puntos pertenecen a  puesto que se ha considerado el intervalo cerrado.
2. =
   
   Observemos que , es decir, la frontera es la circunferencia que pertenece al conjunto.
3. =
   Observemos que , es decir, ningún punto es punto frontera y debido a que, por convenio, el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto (), se puede considerar  como conjunto cerrado.
   Igualmente,  y en general  son conjuntos cerrados.
NOTA: Obsérvese que todos los conjuntos que aparecen el ejemplo 3 son también conjuntos abiertos.

Conjunto compacto

Definición:

Sea

 compacto    cerrado y acotado

Ejemplo:

1. =
2. =
3. =

Conjunto convexo de ℜn

Definición:

C  ℜn

C convexo  ⇔ ∀ x1, x2 +  C [0,1]

Intuitivamente:
Decimos que C es un conjunto convexo si cualquier segmento que una dos puntos cualesquiera del conjunto, siempre pertenece , todo él, al conjunto.

Ejemplos:

1. Conjuntos convexos:
   
2. Conjuntos no convexos:
   
3. Los intervalos son los conjuntos convexos de ℜ.

Propiedades:

C1 convexo, C2 convexo  C1 C2 convexo

C1 convexo, C2 convexo  C1 + C2 convexo

C convexo, k R kC convexo

Conjunto de soluciones factibles o dominio del problema

Definición:

Es el conjunto de los puntos que satisfacen todas las restricciones de un problema. Es dentro de ese conjunto donde deberán buscarse los óptimos.

Ejemplo

El conjunto de soluciones factibles o dominio del problema es:

Óptimo / Extremo

Óptimo y extremo son términos que designan tanto mínimo como máximo.

Cono en ℜn

Definición:

S es un cono 

Ejemplos:

Nota: Nótese que si sacáramos el origen del conjunto, éste seguiría siendo cono.