jueves, 30 de abril de 2015

matemáticas - funciones



En matemáticas, una función corta es una función f desde un espacio métrico X a otro espacio métrico Y tal que para todo x,y \in X tenemos
d_Y(f(x),f(y)) \le d_X(x,y).
Aquí d_X y d_Y denotan métricas en X y Y, respectivamente. En otras palabras, f es corta ssi es 1-Lipschitz.
Podemos decir que f es estrictamente corta si la desigualdad es siempre estricta. Entonces una contracción es estrictamente corta, pero no conversamente (aún con X = Y).

Se dice que que una función es corta si la distancia entre dos imagenes cualesquieran   f(x) y f(y) es siempre menor o igual a aquella entre sus antecedentes x e y.
Formalmente, la función f, que va del espacio métrico (E, dE) al espacio métrico (F, dF) es corta si: 
Es equivalente afirmar que f es 1-lipschitziana, es decir que f verifica la propiedad de Lipschitz con el coeficiente k = 1.
Se dice también que f es estrictamente corta si la desigualdad es siempre estricta: 
. Es el caso de las contracciones. Las funciones reales (que van de 
 hacia él mismo), derivables cuya derivada esté acotada por -1 y 1 son cortas. Es el caso por ejemplo de las funciones coseno y seno, de la función tangente hiperbólica th.





En análisis matemático, una función \scriptstyle f(x) de una variable real con valores reales o complejos se dice de cuadrado sumable o también de cuadrado integrable sobre un determinado intervalo, si la integral del cuadrado de su módulo, definida en el intervalo de definición, converge.
\int_{-\infty}^{+\infty} ~|f(x)|^2 dx ~<~ \infty
Este concepto se extiende a las funciones definidas sobre un espacio de medida que tiene valores en un espacio vectorial de dimensión finita.
La condición de cuadrado sumable es particularmente útil en mecánica cuántica ya que constituye la base para las funciones que describen el comportamiento de los sistemas físicos, consecuencia de la interpretación probabilística de la mecánica cuántica. Por ejemplo, para determinar el comportamiento en el espacio de una partícula (sin espín) se utiliza la función de onda \psi(x,y,z) para la cual debe existir y tener un valor fínito una integral de la forma:
\int_{\mathbb{R}^3}~|\psi|^2 dV<\infty
Esta noción se generaliza a las funciones p-medibles para un número p real positivo, siendo las de cuadrado sumable las que corresponden con el caso particular p=2.


En matemáticas, una función de cuadrado integrable, también llamado una función cuadrática integrable, es una función medible real o valor complejo para el que la integral del cuadrado del valor absoluto es finito. Por lo tanto, si
entonces es de cuadrado integrable en la recta real. También se puede hablar de integrabilidad cuadrática en intervalos acotados como.

Propiedades

Las funciones de cuadrado integrable forman un espacio con producto interno cuyo producto interior está dada por
donde
  • f y g son funciones de cuadrado integrable,
  • g es el complejo conjugado de g,
  • A es el conjunto más que una integra-en el primer ejemplo anterior, A es, en el segundo, A es.
Dado que | a | 2 = aa, plaza integrabilidad es lo mismo que decir
Se puede demostrar que las funciones de cuadrado integrable forman un espacio métrico completo bajo la métrica inducida por el producto interno definido anteriormente. Un espacio métrico completo también se llama un espacio de Cauchy, porque las secuencias en tales espacios métricas convergen si y sólo si son de Cauchy. Un espacio que es completo bajo la métrica inducida por una norma es un espacio de Banach. Por lo tanto el espacio de las funciones de cuadrado integrable es un espacio de Banach, bajo la métrica inducida por la norma, que a su vez es inducida por el producto interno. Como tenemos la propiedad adicional de que el producto interno, esto es específicamente un espacio de Hilbert, ya que el espacio es completo bajo la métrica inducida por el producto interno.
Este espacio de producto interno se denota convencionalmente por y muchas veces abreviado como. Tenga en cuenta que denota el conjunto de funciones de cuadrado integrable, pero no hay selección de métrica, norma o de producto interior se especifica por esta notación. El conjunto, junto con el producto interno específico especificar el espacio de producto interno.
El espacio de funciones de cuadrado integrable es el espacio Lp en el que p = 2.
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