matemáticas - funciones

Cono convexo generado por un conjunto

Definición:

Se denomina cono convexo generado por un conjunto  y se escribe conv cone S alcono convexo más pequeño que contiene S.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Convexidad. Programa convexo. Programa cóncavo

Considérense los siguientes problemas:

 cuando la gráfica de f es 

(f  convexa)

      cuando la gráfica de f  es

(f  cóncava)

En ambos casos, el problema de optimización se reduce a calcular el punto en el que la derivada se anula:

y se obtiene en el primer caso un mínimo global o absoluto, y en el segundo caso un máximo global o absoluto.

Esto explica la gran importancia del concepto de convexidad en optimización.

Un problema del tipo

      donde f  es una función convexa  y D un dominio convexo

se llama problema convexo o programa convexo.

Paralelamente,

       donde f  es una función cóncava y D  un dominio convexo

se llama problema cóncavo o programa cóncavo  o problema convexo para maximizar.

NOTA: Obsérvese que una función convexa no ofrece, en cambio, ninguna ventaja si lo que se quiere conseguir es un máximo; ni una función cóncava, si lo que se quiere conseguir es un mínimo.

Curva de nivel

Definición:

Sea ƒ: D⊂ℜn→ℜ y k∈ℜ

La curva de nivel k de la función ƒ está formada por todos los puntos del dominio D cuya imagen es k. 

Es decir:

Ejemplo 1:

 

Observación: Notemos que la gráfica de una función de ℜ2 en ℜ sólo puede dibujarse en ℜ3. Por ejemplo, la gráfica de la función anterior será:

En cambio, la representación de las curvas de nivel se hace sobre el dominio, que es en ℜ2, uniendo todos los puntos que tienen la misma imagen.

Ejemplo 2:

 

Observaciones:

1. La ecuación  corresponde a una circunferencia centrada en el origen con radio . Por tanto, las curvas de nivel de esta función son circunferencias concéntricas y no hay curvas de niveles negativos.
2. La gráfica de la función en ℜ3 es:
   

Dominio de la función

Definición:

Es el conjunto de puntos para los que está definida una función.

Ejemplo:

(en el gráfico está en línea roja)

El dominio de la función está formado por los números reales estrictamente positivos porque no existe el logaritmo neperiano de números negativos ni el logaritmo neperiano de cero.

Ecuación de una circunferencia

La ecuación de una circunferencia de radio r y de centro en  es:

Cuando está centrada en el origen  se tiene:

Envolvente convexa

Definición:

Sea 

La envolvente convexa de A (conv A) es el conjunto convexo más pequeño que contiene a A.

Ejemplo:

Propiedades:

A convexo  A = conv A

Frontera de un conjunto

Definición:

Sea  y  

Se dice que p es un punto frontera de A si y sólo si cualquier bola centrada en p, tiene intersección no vacía tanto con A como con el complementario de A (ℜn \ A)

Es decir,
Sea   y  

p es un punto frontera de A  

Ejemplo:

Sea A:

-   k  puesto que hemos hallado una bola cuya intersección con el complementario de A es vacía.

-   r  puesto que hemos hallado una bola cuya intersección con A es vacía.

-   t y s  puesto que tanto si hacemos la bola más grande como si la hacemos más pequeña, ésta sigue teniendo una intersección no vacía con A (color lila) y con el complementario de A (color verde).

Nota: Observamos que s no pertenece a A, aunque sí que pertenece, como se ha explicado, a la frontera de A.

Función cóncava. Función estrictamente cóncava

   D conjunto convexo

Definición intuitiva:

Una función es cóncava si y sólo si al unir dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función, el segmento que los une queda por debajo (o coincide) con la gráfica.

Ejemplos:

En el ejemplo a) la función se llama estrictamente cóncava porque el segmento queda siempre estrictamente por debajo de la gráfica.

En el ejemplo b) la función es cóncava pero no estrictamente, porque si se toman dos puntos sobre la zona roja de la gráfica, el segmento coincide con ella.

Definición:

 cóncava 

 estrictamente cóncava 

Caracterización:

ƒ cóncava ⇔ Hƒ(x) semidefinida negativa  

ƒ estrictamente cóncava ⇐ Hƒ(x) definida negativa 

ƒ estrictamente cóncava ⇒ Hƒ(x) semidefinida negativa 

Ejemplos:

1.

Consideramos su matriz hessiana:

Observamos que es definida negativa .

Por tanto, deducimos que  es estrictamente cóncava.

Propiedades:

1. convexa  cóncava
2.   convexa
3. Una función lineal es cóncava y convexa simultáneamente.
4.  convexas   convexa