matemáticas - funciones

En matemáticas, sea f : D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rⁿ) una función real de n variables, se la llama armónica en D si sobre D tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden y satisfacen la ecuación de Laplace:

en D. Esto se suele escribir como

 o también como  - ...........................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=0b28efe6cf7d744c30037ff240791268cf09d116&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+arm%C3%B3nica

Función armónica conjugada

Enunciado 

Comprobar que la función u=3x2y+2x2−y3−2y2 es armónica en R2 y determinar su armónica conjugada v para expresar f(z)=u(x,y)+iv(x,y) como función holomorfa de z en C.

Solución

Claramente u∈C2(R2). Tenemos

ux=6xy+4x,uy=3x2−3y2−4y,uxx=6y+4,uyy=−6y−4.

Es decir, ∇2u=uxx+uyy=0 en R2 y por tanto u es armónica en el plano. Si la función f=u+iv es holomorfa, se han de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann ux=vy,uy=−vx. De la primera ecuación deducimos:

v=∫uxdy=∫(6xy+4x)dy=3xy2+4xy+φ(x).

De la segunda:

3x2−3y2−4y=−(3y2+4y+φ′(x))⇒φ′(x)=−3x2⇒φ(x)=−x3+C.

La función pedida es por tanto:

f(z)=3x2y+2x2−y3−2y2+i(3xy2+4xy−x3+C).

Para expresar f(z) en términos de z usamos el método de Milne- Thompson. Para y=0obtenemos f(x)=2x2−i(x3+C) y la función pedida se puede expresar en la forma f(z)=2z2−iz3−iC o bien

f(z)=2z2−iz3+K,(K∈C).