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Tipos de funciones

En topología, una función abierta es una función entre dos espacios topo-lógicos cuando la imagen de un conjunto abierto es un conjunto abierto. Es decir, una función f: X →Y es abierta si para cualquier conjunto abierto U en X, la imagen f(U) es abierta en Y. Asimismo, una función cerrada cumple que la imagen de un conjunto cerrado es un conjunto cerrado.

Obsérvese que ni las funciones abiertas ni las cerradas requieren ser continuas. Aunque sus definiciones parecen naturales, las funciones abiertas y cerradas son mucho menos importantes que las funciones continuas. Una función f: X → Y es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto de Y es abierto en X, es decir: si la pre imagen de cada conjunto cerrado de Y es cerrado en X. Deberá cumplir que es biunívoca, continua y cerrada.Reciben esta denominación las formas que se muestran continuidad de contornos en su perímetro.Cada hilomorfismo es abierto, cerrado, y continuo. De hecho, una función continua biyectiva es un homeomorfismo si es abierta, o equivalentemente, si es cerrada.

Si Y tiene la topología discreta (es decir todos los subconjuntos son abiertos y cerrados) entonces cada función f: X → Y es abierta y cerrada (pero no necesariamente continua).

Siempre que tengamos un producto de espacios topológicos X = ΠX_i, entonces las proyecciones naturales p_i: X → X_i son abiertas (así como continuas). Puesto que las proyecciones de los fibrados y cubrimientos son local mente proyecciones naturales de los productos, éstos son también funciones abiertas (nótese que las proyecciones del producto no necesitan ser cerradas, considérese por ejemplo la proyección p₁: R ² → R en el primer componente; A = {(x,1/x): x ≠ 0} es cerrado en R², pero p₁(A) = R -{0} que no es cerrado).

A cada punto de la circunferencia unidad podemos asociar el ángulo que forma el eje X positivo con el radio que une dicho punto con el origen. Esta función de la circunferencia unidad al intervalo semi-abierto [0, 2π) es biyectiva, abierta, y cerrada, pero no continua. Esto muestra que la imagen de un espacio compacto bajo una función abierta o cerrada no necesita ser compacta. También obsérvese que si consideramos esto como función de la circunferencia unidad a los números reales, entonces no es ni abierto ni cerrado. Especificar el codominio es esencial.

La función f: R → R con f(x) = x² es continua y cerrada, pero no abierta.

La función parte entera de R a Z es abierta y cerrada (porque Z tiene la topología discreta). Este ejemplo muestra que la imagen de un espacio conexo bajo una función abierta o cerrada no necesita ser conexa.Una función f: X → Y es abierta sii

para cada x en X y para cada vecindad u entorno U de x (por pequeña que sea), existe una vecindad V de f(x) tal que V ⊂ f(U).

Una función f: X → Y es cerrada sii

siempre que (x_α) sea una red en X tal que (f (x_α)) tiene límite y, entonces (x_α) tiene una sub red que converja hacia una preimagen de y.

La composición de dos funciones abiertas es a su vez abierta; la composición de dos funciones cerradas es cerrada a su vez.

Un función biyectiva es abierta si y solamente si es cerrada. La inversa de una función continua biyectiva es una función biyectiva abierta/cerrada (y viceversa).

Sea f: X → Y una función continua que sea abierta o cerrada. Entonces

si f es una sobreyección, entonces es una función cociente,

si f es una inyección, entonces es una inmersión topológica, y

si f es una biyección, entonces es un homeomorfismo.

En los primeros dos casos, el ser abierto o cerrado es simplemente una condición suficiente para que el resultado se siga. En el tercer caso es necesario también.

Un resultado muy útil con respecto a las funciones cerradas es el lema de la función cerrada: cada función continua f: X → Y desde un espacio compacto X a un espacio deHausdorff Y es cerrada. Una variante de este resultado establece que si una función continua entre espacios localmente compactos de Hausdorff es propia (es decir las preimágenes de conjuntos compactos son compactas), entonces también es cerrada.

En análisis funcional, el teorema de la función abierta establece que cada operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach es una función abierta.

En análisis complejo, el, idénticamente nombrado, teorema de la función abierta establece que cada función holomorfa no-constante definida en un subconjunto abierto conexo del plano complejo es una función abierta.

El teorema de la invariancia del dominio establece que una función continua y localmente inyectiva entre dos variedades topológicas n-dimensionales deben ser abierta.

Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:

X	Y
-1 0 ½ 1 2	1 0 ¼ 1 4

Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a unsistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A

Funciones Cuadráticas:

La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a = / 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
Intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = x2 tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.

Para f(x) = x2 tenemos que el: Dom: R , Img. : [0, + ¥), Vértice (0, 0).

Funciones Logarítmicas:

En la función logarítmica el dominio es restringido X E Reales+ Si en la función el valor de b (base de logaritmo) es mayor que la curva resultante. Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = loga(x) donde "a" es constante (un número) y se denomina labase del logaritmo.

F(x) = Log x

Funciones Exponenciales:

Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

Propiedades de la función exponencial y = a^x
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.

Funciones lineales:

Para cada función lineal hay infinitos puntos que la satisfacen y todos esos puntos forman una recta. Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).

La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.

Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

Ítem 1

a) F(x)=x

-5	-5
-4	-4
-3	-3
-2	-2
-1	-1
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5

Función: lineal formula General: mx+n

Eje de intersección: (0,0) Coeficiente de posición: 1

Creciente

b) F(x)=x+4

-5	-1
-4	0
-3	1
-2	2
-1	3
0	4
1	5
2	6
3	7
4	8
5	9

Función: lineal formula General: mx+n

Eje de intersección: (0,4) (0,-4) Coeficiente de posición: 4,-4

Creciente

c) F(x)=x-3

-5	-8
-4	-7
-3	-6
-2	-5
-1	-4
0	-3
1	-2
2	-1
3	0
4	1
5	2

Función: lineal formula General: mx+n

Eje de intersección: (0,-3) (0,3) Coeficiente de posición: -3 ,3

Creciente

d) F(x)=4x

-5	-20
-4	-16
-3	-12
-2	-8
-1	-4
0	0
1	4
2	8
3	12
4	16
5	20

Función: lineal formula General: mx+n

Eje de intersección: (0,0) Coeficiente de posición: 4

Creciente

e) F(x)=-3x

-5	15
-4	12
-3	9
-2	6
-1	3
0	0
1	-3
2	-6
3	-9
4	-12
5	-15

Función: lineal formula General: mx+n

Eje de intersección: (0,0) Coeficiente de posición: -3

Decreciente

Conclusiones del ítem 1

Podemos concluir que cada una de estas funciones son lineales debido a que posee infinitos puntos los cuales forman una recta y posee una pendiente y un coeficiente de posición.

Los 4 primeros gráficos son iguales debido a que sus líneas son crecientes y la ultima del ejercicio E) es decreciente.

Ítem 2

F(x)=x^2

-5	25
-4	16
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25

Función cuadrática formula General: ax^2

Eje de intersección: (0,0) Coeficiente de posición: 0

b) F(x)=x^2+2

-5	27
-4	18
-3	11
-2	6
-1	3
0	2
1	3
2	6
3	11
4	18
5	27

Función cuadrática formula General: ax^2

Eje de intersección: (0,2) Coeficiente de posición: 2

F(x)=x^2-6

-5	19
-4	10
-3	3
-2	-2
-1	-5
0	-6
1	-5
2	-2
3	3
4	10
5	19

Función cuadratica formula General: ax^2

Eje de intersección: (0,-6) Coeficiente de posición: -6

d) F(x)=(x-6)^2

-5	121
-4	100
-3	81
-2	64
-1	49
0	36
1	25
2	16
3	9
4	4
5	1

Función cuadrática formula General: ax^2

Eje de intersección: (0,36) Coeficiente de posición: 36

F(x)=(x+2)^2

-5	9
-4	4
-3	1
-2	0
-1	1
0	4
1	9
2	16
3	25
4	36
5	49

Función cuadrática formula General: ax^2

Eje de intersección: (0,-2) (0,4) Coeficiente de posición: -2 , 4

Conclusiones del ítem 2

Podemos concluir que los gráficos del ítem 2 son funciones cuadráticas debido a que forman parábolas y su exponente es al cuadrado ejemplo: x^2

Depende que las parábolas van hacia arriba o hacia abajo son mayores o menores que 0.

Pudimos darnos cuentas que (a,b y c) forman parábolas a diferencia de (d y e)

Item 3

F(x)=log x

1	0
2	0,301029996
3	0,477121255
4	0,602059991
5	0,698970004
6	0,77815125
7	0,84509804
8	0,903089987
9	0,954242509
10	1