matemáticas - funciones

Función convexa. Función estrictamente convexa

       D  conjunto convexo

Definición intuitiva:

Una función es convexa si y sólo si al unir dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función, el segmento que los une queda por encima (o coincide) con la gráfica.

Ejemplos:

En el ejemplo a) la función se llama estrictamente convexa porque el segmento queda siempre estrictamente por encima de la gráfica.

En el ejemplo b) la función es convexa pero no estrictamente, porque si se toman dos puntos sobre la zona roja de la gráfica, el segmento coincide con ella.

Definición:

 convexa 

estrictamente convexa 

Caracterización:

ƒ convexa ⇔ Hƒ(x) semidefinida positiva 

ƒ  estrictamente convexa ⇐ Hƒ(x)  definida positiva 

ƒ  estrictamente convexa ⇒ Hƒ(x)  semidefinida positiva 

Ejemplos:

1. 
   Consideramos su matriz hessiana: 
   Observamos que es semidefinida positiva .
   Por tanto, deducimos que  es convexa.
2. 
   Consideramos su matriz hessiana:              
   Observamos que es definida positiva .
   Por tanto, deducimos que  es estrictamente convexa.

Propiedades:

1.  convexa  cóncava
2.  
3. Una función lineal es cóncava y convexa simultáneamente.
4.  convexas   convexa

Función creciente

Definición: f es creciente en  

Gráfica de funciones crecientes:

Propiedad:

Las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de una función creciente son siempre positivas.

En otras palabras, la derivada de una función creciente es positiva.

Más aún:

Proposición:  f  creciente en    

Función decreciente

Definición: f es decreciente en  

Gráfica de funciones decrecientes:

Propiedad:

Las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de una función decreciente son siempre negativas.

En otras palabras, la derivada de una función decreciente es negativa.

Más aún:

Proposición: f  decreciente en        

Función diferenciable

ƒ diferenciable en ⇔ existe en  un único hiperplano tangente que aproxima el valor de la función alrededor de este punto.

Ver caso n = 1

Proposición:

f  tiene derivadas parciales continuas en  ⇒  f  diferenciable en   ⇒ f  continua en .

Ejemplo:

Se obtienen las siguientes funciones como derivadas parciales:

y puesto que   son continuas en , podemos asegurar que la función  f  es diferenciable en .

Función exponencial

La función exponencial es una función real de variable real definida como

donde  a se llama base de la función exponencial.

Frecuentemente, la base de la función exponencial es el número irracional   e  cuyo valor es e= 2,718282…

Entonces, la representación gráfica de la función  es:

Función lineal

Definición:

Es una función del tipo

Una función lineal es un polinomio de 1º grado con n variables.

Propiedad:

Una función lineal es cóncava y convexa.

Función objetivo

Definición:

Es la función que se pretende minimizar o maximizar en un programa matemático.

Ejemplo:

La función objetivo es 

Gradiente de una función

Sea ƒ: ℜn→ℜ

Se llama gradiente de ƒ y se escribe ∇ƒ al vector formado por las derivadas parciales de ƒ

Ejemplo:

El vector gradiente calculado en un punto es un vector numérico.

Ejemplo:

Hessiana de una función

Definición:

Sea ƒ: ℜn→ℜ

Se llama matriz hessiana de ƒ y se escribe Hƒ a la matriz formada por las derivadas parciales segundas de ƒ

Por ejemplo, para ƒ: ℜ3→ℜ

donde ƒxz  indica la derivada respecto de z de la derivada parcial respecto de  x

La matriz hessiana de ƒ calculada en un punto es una matriz numérica.

La matriz hessiana de ƒ resulta ser una matriz simétrica (Teorema de Schwarz)

Ejemplo:

Calculemos las derivadas parciales primeras que forman el gradiente de ƒ

Calculemos la matriz hessiana

Hiperplano en ℜn

Definición:

Sea a ∈ ℜn, k ∈ ℜ

Un conjunto H tal que  H=x= k se llama hiperplano.

Ejemplos:

1. Si n=2   y   a =(1,3)    y   k=5 
   H = (x,y) = 5
   H es una recta : x +3y =5
2. Si n=3   y   a =(2, -1, 3)    y   k=12
   H =   (x,y,z) = 12
   H es un plano: 2x – y + 3z = 12
3. Si n>3, H es un hiperplano.

Propiedad:

Un hiperplano es un conjunto convexo.

Teorema local-global o teorema fundamental de la programación convexa

A)

Sea ƒ: D⊂ℜn → ℜ siendo D un conjunto convexo no vacío y ƒ una función convexa.

Entonces,

a) Si  es mínimo local de  en , también es mínimo global.

b) El conjunto de mínimos locales de  en  es un conjunto convexo.

Nota: Este teorema se puede “entender” fácilmente razonando sobre la gráfica de una función convexa.

B)

Sea  siendo un conjunto convexo no vacío y  una función cóncava.

Entonces,

a) Si  es máximo local de  en , también es máximo global.

b) El conjunto de máximos locales de  en  es un conjunto convexo.

Máximo local, mínimo local, máximo global, mínimo global

Sea   y   sea 

Consideramos que D es la intersección entre el dominio de la funcióny el conjunto de soluciones factibles.

Definiciones:

es un máximo global o absoluto de en D

( es un máximo global o absoluto deen D si su imagen es mayor o igual que la de cualquier otro punto del dominio)

 es un mínimo global o absoluto deen D 

es un máximo local o relativo de en D 

(es un máximo local o relativo de en D  si existe una bola centrada en , un entorno de, donde la imagen desea mayor o igual que la de los otros puntos)

es un mínimo local o relativo de en D 

Cuando las desigualdades se satisfacen de forma estricta, se dice que los óptimos son estrictos.

Gráficamente (caso n = 1):

Propiedades:

1.    Todo máximo/mínimo global es local.

2.    Todo máximo/mínimo global estricto es único.

Genéricamente se denomina extremo relativo a un máximo o mínimo local

Punto de inflexión

 ƒ dos veces derivable

  es punto de inflexión de ƒ ⇔ la función cambia el sentido de la curvatura en .

Es decir, los puntos de inflexión son aquellos en los que la función pasa de cóncava aconvexa o viceversa. En ellos, la tangente a la gráfica, corta la gráfica.

Proposición:

 es punto de inflexión ⇒ 

Punto de silla

Definición:

Sea   un problema de optimización sin restricciones.

Se llaman puntos de silla a aquellos puntos  que anulan el gradiente de la función objetivo, pero que no son máximos ni mínimos.

Un ejemplo de punto de silla (al que se tiende a reducir el concepto de punto de silla, por abuso de lenguaje) es:

Obsérvese que en se anula el gradiente de  y que, en cambio, es máximo respecto de una variable y mínimo respecto de la otra.

Restricción saturada

Definición:

Se dice que en un punto se satura una restricción o que dicha restricción está saturada oactiva en ese punto, cuando en ese punto se satisface la restricción con igualdad.

Ejemplo:

El punto (3,1) satisface la restricción , pero no la satura.

En cambio, el punto (3,1) satura la restricción 

Semiespacios en ℜn

Definición:

Un semiespacio es cada una de las partes en que un hiperplano divide un espacio.

Ejemplos:

1. Semiespacio positivo cerrado { x ∈ ℜn | at x ≥ k }
2. Semiespacio positivo abierto { x ∈ ℜn | at x > k }
3. Semiespacio negativo cerrado { x ∈ ℜn | at x ≤ k }
4. Semiespacio negativo abierto { x ∈ ℜn | at x < k }

Propiedades:

Un semiespacio es un conjunto convexo.

Teorema de separación de conjuntos convexos

Teorema:

Sean A y B dos conjuntos convexos disjuntos (AB= O),  entonces se cumple que existe un hiperplano H que los separa (de manera que A pertenece a uno de los semiespacios y B al otro).

Ejemplo:

Observemos que separar dos conjuntos no es, en general, posible si A y B no son disjuntos (1)  o si uno de los dos no es convexo (2).

Teorema de Weierstrass

Enunciado:

Toda función continua sobre dominio compacto alcanza máximo y mínimo globales.

Intuitivamente:

Observemos que aún siendo continua no tiene máximos ni mínimos:

No obstante, si la definimos sobre un intervalo cerrado (y acotado) automáticamente alcanza máximo y mínimo globales.

Sea, por ejemplo,

 mínimo global
 máximo global

Observemos también que el intervalo debe ser cerrado, porque si uno de los extremos es abierto, ya no alcanzará el óptimo.

Es decir, 

  mínimo global

Notemos que  ya no es máximo global, puesto que ya no pertenece al dominio de la función, ni hay otro máximo (Podríamos pensar que el nuevo máximo fuese 3’,999999, pero es fácil caer en la cuenta de que podríamos añadir un “9” y obtener un “máximo” mejor:3’,9999999 ).

Nota:

1. El teorema se refiere sólo a óptimos GLOBALES, no dice nada de óptimos locales.
2. El teorema se refiere a la existencia, no dice si hay uno o varios.

Gráficamente: