AMIGOS PARA SIEMPRE: matemáticas

En topología, una función abierta es una función entre dos espacios topo-lógicos cuando la imagen de un conjunto abierto es un conjunto abierto. Es decir, una función f: X →Y es abierta si para cualquier conjunto abierto U en X, la imagen f(U) es abierta en Y. Asimismo, una función cerrada cumple que la imagen de un conjunto cerrado es un conjunto cerrado.

Obsérvese que ni las funciones abiertas ni las cerradas requieren ser continuas. Aunque sus definiciones parecen naturales, las funciones abiertas y cerradas son mucho menos importantes que las funciones continuas. Una función f: X → Y es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto de Y es abierto en X, es decir: si la pre imagen de cada conjunto cerrado de Y es cerrado en X. Deberá cumplir que es biunívoca, continua y cerrada.Reciben esta denominación las formas que se muestran continuidad de contornos en su perímetro.Cada hilomorfismo es abierto, cerrado, y continuo. De hecho, una función continua biyectiva es un homeomorfismo si es abierta, o equivalentemente, si es cerrada.

Si Y tiene la topología discreta (es decir todos los subconjuntos son abiertos y cerrados) entonces cada función f: X → Y es abierta y cerrada (pero no necesariamente continua).

Siempre que tengamos un producto de espacios topológicos X = ΠX_i, entonces las proyecciones naturales p_i: X → X_i son abiertas (así como continuas). Puesto que las proyecciones de los fibrados y cubrimientos son local mente proyecciones naturales de los productos, éstos son también funciones abiertas (nótese que las proyecciones del producto no necesitan ser cerradas, considérese por ejemplo la proyección p₁: R ² → R en el primer componente; A = {(x,1/x): x ≠ 0} es cerrado en R², pero p₁(A) = R -{0} que no es cerrado).

A cada punto de la circunferencia unidad podemos asociar el ángulo que forma el eje X positivo con el radio que une dicho punto con el origen. Esta función de la circunferencia unidad al intervalo semi-abierto [0, 2π) es biyectiva, abierta, y cerrada, pero no continua. Esto muestra que la imagen de un espacio compacto bajo una función abierta o cerrada no necesita ser compacta. También obsérvese que si consideramos esto como función de la circunferencia unidad a los números reales, entonces no es ni abierto ni cerrado. Especificar el codominio es esencial.

La función f: R → R con f(x) = x² es continua y cerrada, pero no abierta.

La función parte entera de R a Z es abierta y cerrada (porque Z tiene la topología discreta). Este ejemplo muestra que la imagen de un espacio conexo bajo una función abierta o cerrada no necesita ser conexa.

funciones abiertas y cerradas .- ...........................:http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/26438/1/Calculo%20II.pdf

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.

A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos de X.

\begin{array}{ccccc} X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z\\ x & \mapsto & f(x) & \mapsto & g(f(x)) \end{array}

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

La composición de funciones es asociativa, es decir:

$h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f$

La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

$(g \circ f) \neq (f\circ g)$

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².

La inversa de la composición de dos funciones es:

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

Función compuesta

Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama función compuesta de f con g, y escribimos g o f, a aquella función en la que la imagen de un número real x es el resultado de actuar sucesivamente sobre x primero f y después g.

Para hallar la expresión analítica de la función compuesta de dos funciones se aplica el resultado anterior:

(gof) (x) = f[g(x)].

Ejemplo: Sean las funciones f(x) = 3x - 2 y g(x) = 2x + 5; entonces la función compuesta de f con g es (gof)(x) = g[f(x)] = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1.
En el razonamiento anterior se ha tenido en cuenta que si g(x) = 2x + 5, y por lo tanto,
g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5.

Propiedades de la composición

ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(gof) = (hog)of.
CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas.
En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo, (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13, luego las funciones gof y fog son distintas.
FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición de funciones.

Recíproca o inversa

Consideremos la función y = 2x - 3, si nos preguntamos ¿cuál es el origen de 5?, es decir, ¿qué número real tiene por imagen 5? Para obtener la respuesta buscaremos un x tal que 2x - 3 = 5, 2x = 5 + 3, 2x = 8, x = 4; luego 4 es el origen de 5.. También podemos preguntarnos cual es el origen de un número real y cualquiera. Procediendo como en el caso anterior, buscamos el número o los números x tales que 2x - 3 = y, luego 2x = y + 3, x = . La última expresión relaciona cada número real y con su origen x, por tanto establece una relación de dependencia entre un número real y otro x, es decir, es la expresión de una función en la que la variable independiente está representada por y, y la dependiente por x.
Como habitualmente los papeles de x e y están cambiados podemos cambiar la expresión anterior por y = , que nos expresa la relación de dependencia de número real x con su origen y. Se denomina función recíproca o inversa de una función f(x) a aquella función que denotamos por f ^-1(x) tal que al componerla con f(x) da de resultado la función identidad i(x). Por tanto f ^-1(x) es aquella que al actuar sobre un número real nos da por resultado el origen de ese número real a través de f(x). Teniendo en cuenta lo anterior si deseamos calcular f ^-1 (x) se procede a dar los siguientes pasos: 1) Se despeja x en la expresión de la función y = f(x). 2) Se intercambian x por y e y por x. Ejemplo: y =, elevando los dos miembros al cuadrado se obtiene y² = x + 4, x = y² - 4, es decir, y = x² - 4 es la expresión de la inversa o recíproca de f(x); f^-1(x) = x² - x.
Algunas consideraciones respecto a f ^-1(x): a) f(x) y f ^-1(x) conmutan respecto de la composición, es decir, f ^-1 o f = f o f ^-1. b) f ^-1(x) se puede calcular siempre, aunque sólo si f(x) es inyectiva (no hay dos números reales con la misma imagen) entonces f^-1(x) es una función. Si f(x) no es inyectiva f ^-1(x) es una correspondencia. c) Las gráficas de f(x) y f ^-1(x) son simétricas respecto de la recta y = x, bisectriz de los cuadrantes 1º y 3º (ver la gráfica de al lado).