martes, 23 de junio de 2015

Aritmética


Funciones aritméticas

En teoría de números, una función aritmética es una función real o compleja ƒ(n), definida sobre el conjunto de los números naturales, que "expresa alguna propiedad aritmética en función de n".
Una función aritmética a es
  • completamente aditiva si a(mn) = a(m) + a(n) para todos los números naturales m y n;
  • completamente multiplicativa si a(mn) = a(m)a(n) para todos los números naturales m y n;
Dos números enteros m y n son coprimos si su máximo común divisor es 1; es decir, si no existe un número primo que los divida a ambos.
Así, una función aritmética a es
  • aditiva si a(mn) = a(m) + a(n) para todos los números naturales coprimos m y n;
  • multiplicativa si a(mn) = a(m)a(n) para todos los números naturales coprimos m y n.


Función de la Aritmética

En teoría de números, una función aritmética es una función real o compleja ƒ(n), definida sobre el conjunto de los números naturales, que "expresa alguna propiedad aritmética en función de n".
 
Una función aritmética a es
  • completamente aditiva si a(mn) = a(m) + a(n) para todos los números naturales m y n;
  • completamente multiplicativa si a(mn) = a(m)a(n) para todos los números naturales m y n;
Dos números enteros m y n son coprimos si su máximo común divisor es 1; es decir, si no existe un número primo que los divida a ambos.
Así, una función aritmética a es
  • aditiva si a(mn) = a(m) + a(n) para todos los números naturales coprimosm y n;
  • multiplicativa si a(mn) = a(m)a(n) para todos los números naturales coprimos m y n.
 
Las funciones aritméticas trabajan con datos de tipo numérico NUMBER. Este tipo incluye los dígitos de 0 a 9, el punto decimal y el signo menos, si es necesario. Los literales numéricos no se encierran entre comillas. Ejemplo: -123.32.
Estas funciones trabajan con tres clases de números: valores simples, grupos de valores y listas de valores. Algunas modifican los valores sobre los que actúan; otras informan de algo sobre los valores. Podemos dividir las funciones aritméticas en tres grupos:
· Funciones de valores simples.
· Funciones de grupos de valores.

· Funciones de listas.
Al describir los formatos de las funciones utilizaremos los corchetes ([ ]) para indicar que lo que va encerrado es opcional.

¿Qué es una función aritmética?
Una función aritmética es una función f(n) definida en los enteros positivos que de alguna manera refleja las propiedades aritméticas de n. Si bien esta definición es un tanto vaga, tradicionalmente sólo un pequeño número de funciones son consideradas aritméticas, de las cuales ya enumeramos algunas de las más importantes:
Ejemplo 1. La función número de divisores \tau(n)= \sum_{d|n}1.
Ejemplo 2. La función suma de divisores \sigma(n)=\sum_{d|n} d. Es conveniente extender esta definición a sumas de potencias arbitrarias de divisores: para cada entero no negativo k definimos
\displaystyle\sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k.
Notemos que \sigma_0=\tau y \sigma_1=\sigma; no obstante, las notaciones \tau y \sigma son tradicionales.
Ejemplo 3. La función \varphi de Euler mencionada arriba.
Entre la clase de funciones aritméticas, nos interesan particularmente las que poseen cierta propiedad distributiva respecto a la multiplicación.
Definición. Una función aritmética f es multiplicativa si f(ab)=f(a)f(b) para cualesquiera enteros positivos coprimos a y b.
Una observación simple pero muy útil para la manipulación de funciones multiplicativas es que estas son completamente determinadas por los valores que toman en las potencias de primos. En efecto, por factorización única cualquier entero positivo n puede escribirse como n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_n^{\alpha_n}, por lo que si f es multiplicativa entonces
f(n)=f(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n})=f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})\cdots f(p_n^{\alpha_n}).
Las funciones multiplicativas surgen con frecuencia en la teoría de números; de hecho, el lector seguramente sospecha que ya vimos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. La función \tau es multiplicativa. En efecto, si m y n son coprimos, todo divisor de mn puede ser escrito en la forma rs, donde r|m y s|n. Ya que hay \tau(m) opciones para ry \tau(n) opciones para s, se sigue que \tau(mn)=\tau(m)\tau(n).
Ejemplo 2. La función \sigma es multiplicativa. Usando la notación del párrafo anterior, lo que hay que verificar es
\displaystyle \sum_{d|mn} d =\sum_{r|m} r \sum_{s|n}s.
La expresión de la derecha no es otra cosa sino
\displaystyle \sum_{\substack{r|m \\ s|n}}rs
pero ya dijimos en el ejemplo anterior que si r|m y s|n entonces rs recorre los divisores de mn. Se sigue que esta suma es igual a \sum_{d|mn}d, que es justo lo que queríamos.
Ejemplo 3. La función \varphi de Euler es multiplicativa. La prueba no es difícil, mas se desvía un poco de la discusión; el lector puede probar el resultado por su cuenta o bien consultar [1], Theorem 60, p. 53.
Una pregunta que surge naturalmente es cómo crear nuevas funciones multiplicativas a partir de otras. Una primera observación es la siguiente:
Proposición 1. El producto de dos funciones multiplicativas es una función multiplicativa.
Demostración. Evidente, pues si f y g son multiplicativas, entonces
f(ab)g(ab)=f(a)f(b)g(a)g(b)=f(a)g(a)\cdot f(b)g(b)
para cualesquiera a y b coprimos. \square
Otra construcción importante utiliza la notación introducida al principio.
Proposición 2. Si f es una función multiplicativa, entonces
\displaystyle g(n)=\sum_{d|n} f(d)
también es una función multiplicativa.
Demostración. Sean m y n dos enteros positivos coprimos. Lo que debemos probar es g(mn)=g(m)g(n), o bien
\displaystyle \sum_{d|mn}g(d)=\sum_{r|m}g(r) \sum_{s|n} g(s).
Para verificar esto procedemos tal y como en el Ejemplo 2. Expandiendo el producto de la derecha queda
\displaystyle \sum_{\substack{r|m\\s|n}} g(r)g(s)=\sum_{\substack{r|m\\s|n}} g(rs)
donde g(r)g(s)=g(rs) puesto que r y s son coprimos (¿por qué?). Pero ya sabemos que si r|m y s|n entonces rs recorre todos los divisores de mn; luego la suma de la derecha es igual a \sum_{d|mn}g(d), como queríamos. \square
Ejemplo 4. La función \sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k es multiplicativa, puesto que la función g(d)=d^kes multiplicativa. En particular, las funciones número de divisores \tau=\sigma_0 y suma de divisores \sigma=\sigma_1 son multiplicativas.
Nota. La proposición anterior es un caso particular de un teorema más general: es cierto que si f y g son funciones multiplicativas, entonces
h(n)=\displaystyle \sum_{d|n} f(d)g\left( \frac{n}{d} \right)
también es una función multiplicativa.  La función h así obtenida suele denotarse por f \ast gy se conoce como la convolución de Dirichlet de f y g.
Ejercicio. Demuestre que la convolución de Dirichlet es asociativa, es decir: para cualesquiera funciones aritméticas f, g y h se cumple que
f \ast (g \ast h)=(f \ast g) \ast h.
Solución al problema de Liouville
Ya estamos listos para enunciar y probar el acertijo planteado al principio de esta nota.
Teorema. Para todo entero positivo n se cumple que
\displaystyle \sum_{d|n} \tau(d)^3=\left(\sum_{d|n}d \right)^2=\sigma(n)^2.
Demostración. Comenzamos notando que ambos lados de la ecuación definen funciones multiplicativas. Claramente \sigma^2 es multiplicativa, al ser el producto de dos funciones multiplicativas. Por la misma razón, \tau^3 es multiplicativa, e invocando la Proposición 2 vemos que \sum_{d|n} \tau(d)^3 también es multiplicativa.
Por otra parte, los divisores de una potencia de un primo p^k son 1, p, p^2,\ldots, p^k, y los respectivos números de divisores de estos números son 1, 2, 3, \ldots, k+1. Luego
\displaystyle \sum_{d|p^k} \tau(d)^3=1^3+2^3+\cdots+(k+1)^3
y además
\sigma(p^k)^2=(1+2+\cdots +(k+1))^2.
Pero para cualquier entero positivo N tenemos la famosa identidad
1^3+2^3+\cdots +N^3 =(1+2+\cdots +N)^2
de donde es inmediato concluir que ambos lados de la ecuación inicial toman los mismos valores en potencias de primos, y ya que se trata de funciones multiplicativas, esto significa que deben ser iguales.
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