Funciones aritméticas
función divisor es una función aritmética relacionada a los divisores de un entero. Cuando nos referimos a la función divisor, este cuenta el número de divisores de un entero. Este aparece en un considerable número de identidades, incluyendo relaciones con la Función zeta de Riemann y las series de Eisenstein deformas modulares. Las funciones divisor fueron estudiadas por Ramanujan, quien dio un número importante de congruencias e identidades.- ............................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=50d472e1921e946770aff7a4d26de257ebf35495&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+divisor
La función divisor 
de 
un número entero se define como la suma de los 
th poderes de los (entero positivo) divisores de 
,
de un número entero se define como la suma de los th poderes de los (entero positivo) divisores de , |
(1)
|
Se lleva a cabo en el idioma Wolfram como DivisorSigma [ k , n ].
Las notaciones 
(Hardy y Wright 1979, p. 239), 
(Mena 1988, p. 86), y 
(Burton 1989, p. 128) se utilizan a veces para 
, que da elnúmero de divisores de 
. Sorprendentemente, el número de factores del polinomio 
también están dadas por 
. Los valores de 
se pueden encontrar como el inverso de Möbius transforman de 1, 1, 1, ... (Sloane y Plouffe 1995, p. 22). Heath-Brown (1984) demostró que
infinitamente a menudo. Los números que tiene la forma incremental mayor número de divisores se llaman números altamente compuestos . La función 
satisface las identidades
(Hardy y Wright 1979, p. 239), (Mena 1988, p. 86), y (Burton 1989, p. 128) se utilizan a veces para , que da elnúmero de divisores de . Sorprendentemente, el número de factores del polinomio también están dadas por . Los valores de se pueden encontrar como el inverso de Möbius transforman de 1, 1, 1, ... (Sloane y Plouffe 1995, p. 22). Heath-Brown (1984) demostró queinfinitamente a menudo. Los números que tiene la forma incremental mayor número de divisores se llaman números altamente compuestos . La función satisface las identidades |  |  |
(2)
|
 |  |  |
(3)
|
son primos distintos y 
es la 
.
es 
es un
La función 
que da la suma de los divisores de 
frecuencia está escrito sin el subíndice, es decir, 
.
que da la suma de los divisores de frecuencia está escrito sin el subíndice, es decir, .
Como ejemplo ilustrativo de la computación 
, considerar el número 140, que tiene divisores 
, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, y 140, para un total de 
divisores en total. Por lo tanto,
, considerar el número 140, que tiene divisores , 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, y 140, para un total de divisores en total. Por lo tanto, |  |  |
(4)
|
 |  |  |
(5)
|
 |  |  |
(6)
|
 |  |  |
(7)
|
La siguiente tabla resume los primeros valores de 
los pequeños 
y 
, 2, ....
los pequeños y , 2, .... | Sloane |  para  , 2, ... |
| 0 | A000005 | 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, ... |
| 1 | A000203 | 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, ... |
| 2 | A001157 | 1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, ... |
| 3 | A001158 | 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, ... |
La suma de los divisores de 
exclusión de 
sí mismo (es decir, los divisores propios de 
) se llama la función divisor restringido y se denota 
. Los primeros valores son 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, ... (OEIS A001065 ).
exclusión de sí mismo (es decir, los divisores propios de ) se llama la función divisor restringido y se denota . Los primeros valores son 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, ... (OEIS A001065 ).
La suma de los divisores 
se puede encontrar como sigue. Que 
con 
y 
. Para cualquier divisor 
de 
, 
donde 
es un divisor de 
y 
es un divisor de 
. Los divisores de 
son 1, 
, 
, ..., y 
. Los divisores de 
son 1, 
, 
, ..., 
. Las sumas de los divisores son entonces
se puede encontrar como sigue. Que con y . Para cualquier divisor de , donde es un divisor de y es un divisor de . Los divisores de son 1, , , ..., y . Los divisores de son 1, , , ..., . Las sumas de los divisores son entonces |  |  |
(8)
|
 |  |  |
(9)
|
Para un dado 
,
, |
(10)
|
Sumando sobre todo 
,
, |
(11)
|
de modo 
. La división 
y 
en factores primos,
. La división y en factores primos, |
(12)
|
, los divisores son 1, 
, 
, ..., 
, por lo |
(13)
|
Para 
, por lo tanto,
, por lo tanto, |
(14)
|
(Berndt 1985).
un  |
(15)
|
una  |
(16)
|
Las identidades (◇) y (◇) se puede generalizar a
 |  |  |
(17)
|
 |  |  |
(18)
|
Las sumas que involucran la función divisor están dadas por
 |
(19)
|
para 
,
, |
(20)
|
para 
, y más generalmente,
, y más generalmente, |
(21)
|
para 
y 
(Hardy y Wright 1979, p. 250).
y (Hardy y Wright 1979, p. 250).
viene dada por la  |  |  |
(22)
|
 |  |  |
(23)
|
 |  |  |
(24)
|
 |  |  |
(25)
|
donde 
hay una q función -polygamma .
hay una q función -polygamma .
La 
función tiene el desarrollo en serie
función tiene el desarrollo en serie![sigma(n)=1/6npi^2[(1+((-1)^n)/(2^2))+(2cos(2/3npi))/(3^2)+(2cos(1/2npi))/(4^2)+(2[cos(2/5npi)+cos(4/5npi)])/(5^2)+...]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMHIM_A6W0rMiUu6LuZpeClhDZ0CiYPHvN--ruPldR_sV9lWVdErA56LQef1Rl2AbxhdzT04TWO0oVM6fbGSMP1xWQTUXmIGxkcY3fiPAI0TKdxiIzHauGr8ZKXWgszScCGjlju23fGO9TZF-4bafFS6MWbPmh4A=s0-d) |
(26)
|
(Hardy 1999). Ramanujan dio la fórmula hermosa
 |
(27)
|
donde 
es la función zeta y ![R [s], R [sa], R [sb], R [sab]> 1](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uyreK_BeSBBDL6f4Xms2ctER6I2TQDspznxBeR4N1xP7r6VgNYl_RI1ID614f8mq6f5efW5GVe0cJTY2W3MVjLJeuyNZ29xuq-3AcHVpntG60SQbsE6zHmxTrVxm8xwu7FoDomRE87Irm8FrIb=s0-d)
(Wilson 1923), que fue utilizado por Ingham en una prueba de la teorema del número primo (Hardy 1999, pp. 59-60). Esto da el caso especial
es la función zeta y (Wilson 1923), que fue utilizado por Ingham en una prueba de la teorema del número primo (Hardy 1999, pp. 59-60). Esto da el caso especial![sum_ (n = 1) ^ infty ([d (n)] ^ 2) / (n ^ s) = ([zeta (s)] ^ 4) / (zeta (2s))](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ujGfCiUFPHzCGI9J4Yc8dHEinS-SHpZuVmg-rtx_w0SG-QYe95tzulwCLV_PSUjDoOzOL_sYlMjIsS4e1iPTSWwWpCkl8l-Yvm0B9TcgzEoIl_PaKkgNoSkTuHp-QhNaz1HHeJw9aUQKX4s5ICpsJB_oQB_GxPxw=s0-d) |
(28)
|
(Hardy 1999, p. 59).
La función divisor 
también satisface la desigualdad
también satisface la desigualdad |
(29)
|
donde 
es la constante de Euler-Mascheroni (Robin 1984, Erdős 1989).
es la constante de Euler-Mascheroni (Robin 1984, Erdős 1989).
El teorema de Gronwall establece que
 |
(30)
|
donde 
es la constante de Euler-Mascheroni (Hardy y Wright 1979, p. 266). 
es una potencia de 2 si y sólo si 
u 
es un producto de distintosnúmeros primos de Mersenne (1958-1959 Sierpiński, Sivaramakrishnan 1989, Kaplansky 1999). Los primeros tales 
son 1, 3, 7, 21, 31, 93, 127, 217, 381, 651, 889, 2667, ... (OEIS A046528 ), y las potencias de 2 son éstos corresponden a 0, 2, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 13, 14, ... (OEIS A048947).
es la constante de Euler-Mascheroni (Hardy y Wright 1979, p. 266). es una potencia de 2 si y sólo si u es un producto de distintosnúmeros primos de Mersenne (1958-1959 Sierpiński, Sivaramakrishnan 1989, Kaplansky 1999). Los primeros tales son 1, 3, 7, 21, 31, 93, 127, 217, 381, 651, 889, 2667, ... (OEIS A046528 ), y las potencias de 2 son éstos corresponden a 0, 2, 3, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 13, 14, ... (OEIS A048947).
Identidades curiosos derivados usando forma modular teoría están dadas por
 |
(31)
|
 |
(32)
|
(Apostol 1997, p. 140), junto con
 |
(33)
|
 |
(34)
|
 |
(35)
|
(M. Trott, com. Pers.).
La función divisor 
(y, de hecho, 
para 
) es impar si y sólo si 
es un número cuadrado o dos veces al número cuadrado . La función de divisor 
satisface la congruencia
(y, de hecho, para ) es impar si y sólo si es un número cuadrado o dos veces al número cuadrado . La función de divisor satisface la congruencia |
(36)
|
para todos los números primos y no hay números compuestos con la excepción de 4, 6, y 22 (Subbarao 1974).
El número de divisores 
es primordial cuando 
sí es primordial (Honsberger 1991). Factorizaciones de 
por prime 
están dadas por Sorli.
es primordial cuando sí es primordial (Honsberger 1991). Factorizaciones de por prime están dadas por Sorli.
En 1838, Dirichlet demostró que el número medio de divisores de todos los números de 1 a 
es asintótica a
es asintótica a |
(37)
|
(Conway y Guy 1996; Hardy 1999, p 55;.. Havil 2003, pp 112-113), como se ilustra arriba, donde la curva sólida delgada representa los valores reales y la curva punteada gruesa Solares la función asintótica. Esto se relaciona con el problema de divisor de Dirichlet , que busca encontrar la "mejor" coeficiente 
de
de |
(38)
|
(Hardy y Wright 1979, p. 264).
con 
son |
(39)
|
Para 
,
, |
(40)
|
(Hardy y Wright 1979, p. 266).
La función de divisor también se puede generalizar a enteros de Gauss . La definición requiere un poco de atención, ya que en principio, no hay ambigüedad en cuanto a cuál de los cuatro socios que se elija para cada divisor. Spira (1961) define la suma de divisores de un número complejo 
factorizando 
en un producto de potencias de números primos gaussianos distintas,
factorizando en un producto de potencias de números primos gaussianos distintas, |
(41)
|
donde 
es una unidad y cada uno 
se encuentra en el primer cuadrante del plano complejo, y luego escribir
es una unidad y cada uno se encuentra en el primer cuadrante del plano complejo, y luego escribir |
(42)
|
Esto hace que 
una función multiplicativa y también da 
. Esta extensión se implementa en el lenguaje Wolfram como DivisorSigma [1, z ,GaussianIntegers -> True ]. La siguiente tabla muestra 
los pequeños valores no negativos de 
y 
.
una función multiplicativa y también da . Esta extensión se implementa en el lenguaje Wolfram como DivisorSigma [1, z ,GaussianIntegers -> True ]. La siguiente tabla muestra los pequeños valores no negativos de y . | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 2 |  |  |  |  |  |  |  |
| 3 | 4 |  |  |  |  |  |  |
| 4 |  |  |  |  |  |  |  |
| 5 |  |  |  |  |  |  |  |
| 6 |  |  |  |  |  |  |  |
No hay comentarios:
Publicar un comentario