Aritmética

Funciones aritméticas

 función aditiva es una función que preserva la operación suma:

f(x + y) = f(x) + f(y)

para cualesquiera dos elementos x e y en el dominio. Así por ejemplo, cualquier transformación lineal es aditiva. Cuando el dominio son los números reales, esta función corresponde a la ecuación funcional de Cauchy.

En teoría de números, una función aditiva es un una función aritmética f(n) que va desde los enteros positivos n tales que cada vez quea y b son coprimos, la función del producto es la suma de las funciones.

f(ab) = f(a) + f(b).

Note que cualquier homomorfismo f entre grupos abelianos es "aditivo" según la primera definición. El resto de este artículo se refiere a las funciones aditivas usando esta segunda definición de la teoría de números.

Una función aditiva f(n) es completamente aditiva o totalmente aditiva si f(ab) = f(a) + f(b) se cumple para todos los enteros positivos ay b, inclusive aquellos que no son coprimos.

Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no viceversa.

A partir de cualquier función aditiva f(n) es fácil crear una función multiplicativa relacionada g(n), utilizando la propiedad de que cuando ay b son coprimos se cumple lo siguiente:

g(ab) = g(a) × g(b).

Un ejemplo es la función g(n) = 2^{f(n) − f(1)}.

 función de Carmichael de un entero positivo n, denotada λ(n), se define como el menor entero m tal que cumple:

para cada número entero a coprimo con n. En otras palabras, define el exponente del grupo multiplicativo de residuos módulo n (Z/nZ)^×.

Los primeros valores de λ(n) son 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12 (sucesión A002322 enOEIS).

La función puede definirse recursivamente, como sigue:

Para un primo p y un entero positivo k tal que p ≥ 3 o k ≤ 2:

 (De la misma manera que la función φ de Euler).

Para un entero k ≥ 3,

 .

Para distintos primos  y enteros positivos :

donde mcm denota el mínimo común múltiplo.

En forma compactada, la función queda como:

Con la función de Carmichael, se puede elaborar un teorema, similar al teorema de Euler, éste dice:

Si a es un número coprimo con n, entonces aλ(n) ≡ 1 (mod n)

donde  es la función de Carmichael. Éste puede probarse considerando cualquier raíz primitiva módulo n y el teorema chino del resto.

Función lambda de Carmichael

Versión PDF La función lambda de Carmichael, se define como sigue:  λ(n) es el menor entero que cumple: aλ(n)≡1 Mod n, para todo a tal que MCD(a,n)=1. Esto es obvio para n=pα. Para n cualquiera se aplica sobre cada potencia de primo que divide a n y luego utilizando el teorema chino del resto llegamos a 1. Luego abordaremos este problema con mayor detalle. Esta cuestión, también se puede tratar, viendo que siendo MCD(m,n)=1. La función: f:a→ (a,a)  donde f va de ℤn en ℤnm, es un isomorfismo de anillos. ÍNDICE DEL ARTÍCULO 87. NÚMEROS DE CARMICHAEL Página 2: Solución Todas las páginas Un número n que satisface la congruencia. para todos los enteros positivos b que cumplen que MCD(b, n)=1 se llama número de Carmichael. a) Demuestra que el número 561 es un número de Carmichael b) Investiga cuántos números de Carmichael hay. El número 561 es un número de Carmichael. Para verlo observemos que el número 561 es compuesto, ya que 561=3.11.17 Posteriormente se puede ver que si : MCD(b, 561)=1, entonces MCD(b, 3)=MCD(b,11)=MCD(b,17)=1 Utilizando el pequeño teorema de Fermat, tenemos que: Aplicando las propiedades de las congruencias, obtenemos: Por tanto, podemos concluir ( realizarlo como ejercicio) que: Para todo entero positivo b que cumple que MCD(b, 561) = 1. Por tanto 561 es un número de Carmichael. Robert D. Carmichael fue un matemático norteamericano nacido en el estado de Alabama( 1879 - 1967). Se doctoró en la Universidad de Princeton, y fue ampliamente conocido por sus trabajos con números primos. Descubrió unas propiedades especiales de ciertos números que parecen primos, pero no lo son. Este tipo de seudoprimos son llamados números de Carmichael, además formuló un conocido teorema sobre los números de Fibonacci, y otro que define recursivamente la llamada función de Carmichael.