Aritmética

Funciones aritméticas

radical de un entero positivo n, es el producto de los números primos que dividen n. Se utiliza en diversas partes de la teoría de números, por ejemplo, en la formulación de la conjetura abc.

La definición formal es la siguiente:

Si

es un número natural formado por factores primos distintos elevados a un cierto exponente, entonces:

Otra definición equivalente, considerando  el conjunto de enteros positivos que son libres de cuadrados, es:

o sea, el mayor entero libre de cuadrados que divide a n. Por convenio, rad(1) = 1.

Los radicales de los primeros números enteros positivos son 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10,...

• La función rad(n) es multiplicativa. Si n y m son dos números enteros positivos coprimos, entonces:

• n es un entero libre de cuadrados si y sólo si rad(n) = n.

Algunos ejemplos:

 Radicales                                       

                                               

Anteriormente trabajaste ejercicios con expresiones radicales llamadas raíces cuadradas.   Recuerda que la raíz cuadrada de un número a (no negativo) es un valor que al multiplicarlo por si mismo es igual al número dado.  Esto es, √25 = 5 porque (5)² = (5)(5) = 25.  El símbolo √  es el signo radical.

Definición:  Si n es un entero positivo y a un número para la cual  está definida, entonces la expresión  se llama expresión radical y   Al número a se le llama radicando y a n el índice del radical.

Nota:  Si n = 2 (índice del radical) entonces se omite al escribir la expresión.

Ejemplos:

Definición:  Si a es un número real y m, n dos enteros para la cual:

Ejemplos:

Más ejemplos para discusión:

 Ejercicio de práctica: 

1)  Halla la raíz de:

          

2)  Escribe las expresiones radicales con exponentes racionales:

     

3)  Escribe las expresiones con exponentes racionales a la forma radical:

     

4)  Evalua.  Asume que las variables representan valores no negativos.

     

Reglas de los radicales:

Para cualquier entero positivo n y números reales a y b (donde b ≠ 0 ), si todas las raíces son números reales:

Regla del producto de radicales

Ejemplos para discusión:

Regla de la división de radicales

Ejemplos para discusión:

Ejercicio:  Simplifica cada expresión radical usando las reglas anteriores.

Simplificación de radicales:

Un radical está en su forma más simple si:

1. El radicando no tiene factores con una raíz enésima perfecta.
2. No hay fracciones dentro del signo radical.
3. No existen radicales en el denominador.

Nota:  La regla del producto se usa para hallar las raíces perfectas de los factores del radicando.  La regla de la división de radicales se usa cuando las fracciones están dentro del signo radical.  El proceso para eliminar radicales que están en el denominador se llama racionalizar el denominador.

Ejemplos para discusión:

Ejercicio:  Simplifica cada radical:

Operaciones con Radicales:

A.  Suma y Resta

     En la suma y la resta utilizamos los siguientes pasos:

1. Simplificar todos los radicales que no están expresados en su forma más simple.
2. Sumar y restar términos que contiene los mismos radicals (es decir, que son semejantes) usando la propiedad distributiva.

Ejemplos para discusión:

Ejercicio:  Simplifica:

B.  Multiplicación

En la multiplicación de radicales hacemos los siguientes pasos:

1. Multiplicar los coeficientes de los radicales.
2. Multiplicar los radicales y buscar la raíz enésima del producto.
3. Simplificar si es necesario.

Ejemplos para discusión:

Ejercicio:  Multiplica:

C.  División

Antes de dividir expresiones con radicales tenemos que definir lo que es el conjugado.

Definición:  Las expresiones √a + √b   y   √a - √b , donde a y b representan cualquier término algebraico positivo se llaman conjugados.  Cada expresión es el conjugado de la otra expresión.  De manera que:  (√a + √b)( √a - √b) = a – b.  

Ejemplos para discusión:

Ejercicio:  Simplifica:

Números Imaginarios

Un número imaginario i se define como i² = -1.  También se escribe i = √-1.  Para cualquier número real positivo a, la raíz cuadrada de un número negativo a es:

Ejemplos (para discusión):

1)
2)
3)
4)
5)
6)

Nota: La expresión  no representa un número imaginario, pues .

Ejercicio:  Simplica los siguientes radicales:

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)

Ecuaciones con radicales:

Una ecuación radical es una ecuación en la cual la variable aparece dentro del signo radical.  Observa por ejemplo las siguientes ecuaciones:

Para resolver ecuaciones con radicales usamos la propiedad que está a continuación, la cual nos permite elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.

Propiedad:  Para cualquier número a y b, si a = b entonces, a² = b².  Esto es, si dos cantidades son iguales, entonces, el cuadrado de estas cantidades son iguales.

Para resolver ecuaciones con radicales debemos:

1. Reescribir la ecuación de manera que la expresión radical esté a un lado (lado izquierdo) de la ecuación.
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.
3. Resolver la ecuación para la variable.
4. Verifiicar la solución en la ecuación.

Ejemplos para discusión:

Ejercicio:  Resuelve las siguientes ecuaciones:

Nota:  Para resolver ecuaciones con radicales que contienen raíces más elevadas, se debe elevar ambos lados de la ecuación al exponente correspondiente.  Por ejemplo, para resolver ecuaciones con radicales que contienen  una raíz cúbica se debe elevar ambos lados de la ecuación al exponente tres.

Ejemplo:

Ejercicio A:

Usa las reglas de exponentes para simplificar :

Identifica como un número racional o irracional.

Escribe cada una de las expresiones en la forma radical:

Escribe cada una de las expresiones en la forma exponente racional.

Simplifica cada una de la s expresiones con radicales.

15)

Preparado por Prof. Nilsa Toro para GEMA 1200

Ejercicio B:

Simplificación y operaciones con radicales

1. Simplifica :	2. Simplifica:	3. Simplifica:
4. Simplifica;	5. Simplifica:	6. Racionaliza:
7. Racionaliza:	8. Racionaliza:	9. Efectúa:
10. Efectúa:	11. Efectúa:	12. Efectúa: