Diccionario de Matemáticas

Ángulo de dos rectas

El ángulo que forman dos rectas igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas.

Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.

Ejemplos

Hallar el ángulo que forman las rectas:

1. 

2. 

3. 

Ángulos de dos rectas que se cortan; Ángulo de dos rectas que se cruzan

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN

Dos rectas que se cortan en un plano determinan 4 ángulos. Los opuestos por el vértice son iguales, por eso decimos, que son iguales dos a dos.
¿Cuál de los dos valores de estos ángulos es el que vale? Por convenio, se determinó que fuese el menor.

El ángulo formado por las rectas r y s de las figura vale 43º.

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

En la figura siguiente tienes que las rectas r y s se cruzan:

Para hallar el ángulo que forman las rectas r y s no tengo más que trazar en el plano de la base una paralela a la recta r:

Nos encontramos en el caso anterior.

El ángulo que forman las rectas r y s es el ángulo que forman sus vectores directores.

Tenemos los vectores directores  y  y las rectas r y s :

El ángulo que forman las rectas o los vectores directores vale α.

Cuando estudiamos vectores aprendimos que el valor del ángulo que forman dos vectores tiene un valor escalar, nos tiene que dar un valor numérico porque ha de proporcionarnos un valor real como son los radianes o los grados y lo obteníamos de:

Veamos un ejemplo práctico:

24.1 Tenemos dos rectas:

Como ves, la primera en forma vectorial y la segunda en forma implícita.

Analizamos la primera, y comprobamos que conocemos las componentes del vector director  (primero de los dos vectores).Necesitamos el segundo vector director  que lo obtenemos del sistema:

Lo resolvemos dando a x el valor cero quedándonos:

Sustituimos este valor de y en la 1ª ecuación:

Hemos obtenido un punto:

Ahora le damos a y el valor cero que realizando operaciones calculamos los valores de x y de z:

Obtenemos el punto al que llamamos Q:

La distancia  será el vector director cuyas componentes como lo hemos venido haciendo hasta ahora las obtenemos de:

Recuerda que O es el origen de los ejes de coordenadas en el espacio.

El cálculo del vector  lo podíamos haber hecho de otro modo más sencillo partiendo de la forma implícita de la recta s:

Las componentes de las normales son y  .). El producto vectorial de ambas nos dan las componentes del vector director, en este caso el valor de :

Conocemos las componentes de los vectores directores:

En: 

sustituimos por los valores que acabamos de calcular:

Puedes hacer uso del Excel u otra Hoja de Cálculo o calculadora. En este caso hacemos uso de la Hoja de Cálculo Excel.

En la celda D1 tenemos el resultado del cociente y en E1 hallamos el ACOS de dicho valor, es decir, a que ángulo o cual es el ARCO cuyo COSENO es -0,2264radianes que para pasar a grados multiplicamos por 180 y lo dividimos por .

Como el cociente nos ha dado un número de radianes con valor negativo, significa que nos encontramos en el II cuadrante donde el coseno tiene valor negativo por eso obtenemos un ángulo de 103º que equivale al ángulo de 180º – 103º = 77º.

El valor del cos 77º que se encuentra en el II cuadrante lo escribimos en valores absolutos en la figura (el seno es positivo en los cuadrantes I y II).

En la figura siguiente tienes representado gráficamente cuanto acabas de leer:

Si desde el principio utilizamos el valor absoluto evitamos algunos inconvenientes.

Tomamos la fórmula para saber el valor del ángulo y en el numerador, para evitar signos negativos escribimos el valor absoluto del mismo:

Sustituyendo valores tenemos:

Volvemos a usar el Excel para saber a cuántos grados equivale el resultado que acabamos de hallar:

Vemos que el resultado es el señalado anteriormente.

24.2 Las rectas r y s vienen determinadas por la intersección de dos planos respectivamente:

¿Cuánto vale el ángulo que forman estas dos rectas?

Respuesta: 67º aproximadamente

Solución
El ángulo que forman estas dos rectas vale lo mismo que el formado por sus vectores directores.
El vector de dirección de r viene dado por el valor de la perpendicular a los vectores normales de los dos planos y lo calculamos por el producto vectorial de dichas normales:

Hacemos lo mismo con la recta s:

Vemos que corresponde a 67º aproximadamente.

24. 3 ¿Cuál es el ángulo que forman las rectas:

?

Respuesta: 41º aproximadamente.

24.4 Calcula el ángulo formado por las rectas:

Respuesta: 18º (redondeando)

24.5 Calcula el ángulo formado por las rectas:

Respuesta: 18º (redondeando)