Diccionario de Matemáticas

Ángulo de recta y plano

El ángulo que forman una recta, r, y un plano, π, es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre π, r'.

El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano.

Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la rectay el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.

Ejemplos

1. Determinar el ángulo que forman la recta  y el plano .

2. Hallar el ángulo que forman la recta y el plano .

3. Obtener el ángulo formado por el plano y la recta siguientes:

Ángulo entre recta y plano

En primer lugar vamos a recordar lo que tenemos en la figura:

Observamos el primer cuadrante de un eje de coordenadas dentro de un arco de circunferencia cuyo radio le ha dividido en dos y cuyos ángulos en color amarillo y verde son complementarios 

Comprobarás que el seno del ángulo en color verde corresponde al coseno del ángulo en color amarillo y el coseno del ángulo en color verde corresponde al seno del ángulo con el color amarillo.

Según lo que acabamos de recordar podemos escribir:

 y también 

Tienes la recta r, el vector director y el vector normal , suficientes datos para averiguar el ángulo entre recta y plano.

A primera vista, por medio del  parece el camino más adecuado para hallar el ángulo entre recta y plano, pero no haríamos uso del gran aliado para estos casos como es el vector normal.Sabemos que el haremos uso del  y aplicando la fórmula utilizada para los ángulos entre rectas y planos:

24.8 Halla el ángulo formado por la recta:

y el plano: 

Respuesta: 56º aproximadamente.

Solución

Hallamos el vector director de la recta:

El vector normal está compuesto por las componentes:

aproximadamente (no tenemos en cuenta los decimales)

Ten cuidado, 0,8281 es el valor del o el valor del 

El  corresponde a 34º; 90º – 34º= 56º

El mismo resultado obtienes al hallar el 

24.9 La recta  y el plano 

¿qué ángulo forman?

Respuesta: 19º aproximadamente.

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO
El ángulo entre una recta y un plano r y π es el ángulo complementario del menor de los posibles ángulos que forman un vector director de r con uno característico de π. Se expresará (r,π), y está comprendido entre 0 y π/2. En esta escena están representados una recta y un plano, un vector director de ella y un vector característico de él. Estos vectores se trasladan paralelamente para que tengan origen común y observar mejor el ángulo que forman. Se ve mejor aún si mueves la escena para ver el plano como recta. Cuidado: el ángulo entre la recta y el plano es el complementario del que forman los vectores. Si el ángulo que forman una recta y un plano es α (entre 0 y π/2), el vector director de la recta y el vector característico del plano formarán un ángulo de π/2−α o π/2+α. Como cos(π/2−α)=−cos(π/2+α)=senα, Si v=(a,b,c) y n=(A,B,C), entonces  En particular (y con v y n no nulos porque sino no dan una dirección): r y π son paralelos  v·n=0 r y π son perpendiculares  v y n son proporcionales
	En esta escena están representados un plano, una recta y dos vectores v y n. Estos se modifican en la parte superior hasta conseguir un vector director de la recta y uno característico del plano. En la parte inferior aparecen las coordenadas del origen común de los dos vectores y debe ser el punto de corte de la recta con el plano. A16.-El plano y la recta representados son: Busca el punto de corte de la recta y el plano, y sitúa en él un vector director de la recta y un vector característico del plano. ¿Qué ángulo forman la recta y el plano? (Si tu respuesta anterior es correcta verás la solución en la escena) Comprueba que el ángulo es el mismo eligiendo otros vectores característicos de cada plano. Observa también que para hallar el ángulo sólo se necesitan los vectores, no se necesitan puntos.
E11.-Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta dada que pase por el origen.                               E12.-Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,−2,3) y es perpendicular al plano dado.