Diccionario de Matemáticas

Ángulo doble

Ejemplos

En las fórmulas de la suma de dos ángulos hacemos a=b o a=b, para obtener:

cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-senasena= =cos2a-sen2a

sen(2a)=sen(a+a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) =2 sen a cos a

Ejercicio.-Halla las razones trigonométricas del ángulo 120º. Solución

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Sabemos que cos2x = cos²x-sen²x = 2cos²x -1 = 1-sen²x y despejando el sen²x y el cos²x, obtenemos: 

cos2x= 1+cos(2x) 2

y 

sen2x= 1-cos(2x) 2

Si hacemos 2x=t, tendremos: 

y el signo que le asignaremos dependerá del cuadrante donde se encuentre t/2.

Análogamente:

Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, para obtenerla basta aplicar las dos anteriores: 

Ejemplo 1 Calcula la tg(15^o)

Solución.- Como 15^o pertenece al primer cuadrante su signo será +.

Ejercicio.- Halla las razones trigonométricas de 22º 30'. Solución

  Transformaciones de sumas y diferencias en productos

A veces en la resolución de ecuaciones e incluso en la integración de funciones trigonométricas conviene transformar las sumas en productos o los productos en sumas.

Consideramos \sen A±\sen B y vamos a transformarlo en un producto, para ello hacemos

A	=	a+b
B	=	a-b

sistema que tiene por solución A=[(a+b)/2] y B=[(a-b)/2] (basta sumar y restar las ecuaciones para obtener la solución). 

sen A+sen B=sen (a+b) = senacosb+senbcosa sen A -sen B=sen (a-b) = senacosb-senbcosa

sumando y restando las dos ecuaciones, se obtiene: 

sen (a+b)+sen (a-b) = senacosb+senbcosa+ senacosb-senbcosa = = 2 sen acosb

sen (a+b)-sen (a-b) = senacosb+senbcosa- senacosb+senbcosa = = 2 sen bcosa

Porcedemos de forma análoga para obtener la suma y diferencia de cosenos: 

cosA+cosB = cos(a+b)+cos(a-b) = = cosacosb-senasenb+ cosacosb+senasenb= = 2 cosacosb = 2 cos A+B 2 cos A-B 2

cosA-cosB = cos(a+b)-cos(a-b) = = cosacosb-senasenb- cosacosb-senasenb= = -2 sen asenb = -2 sen A+B 2 sen A-B 2

Resumiendo:

sen A+sen B = 2 sen A+B 2 cos A-B 2

sen A-sen B = 2 sen A-B 2 cos A+B 2

cosA+cosB = 2 cos A+B 2 cos A-B 2

cosA-cosB = -2 sen A+B 2 sen A-B 2 Ángulo exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella: Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.