Diccionario de Matemáticas

Ángulo triedro

Un ángulo triedro es un ángulo poliedro formado por tres semirrectas y por tanto, tres caras.

Consta de seis elementos: tres caras y tres diedros.

ÁNGULOS TRIEDROS (1)

Al igual que en un ángulo diedro hablábamos de ángulo rectilíneo del diedro en los ángulos poliedros hablaremos de los ángulos de las caras. Dadas tres medidas cualesquiera a, b y c sabemos que para que exista un triángulo cuyos lados midan a, b y c es necesario que se cumplan ciertas condiciones. Al igual que ocurre con los triángulos, dados n ángulos cualesquiera no siempre existe un ángulo poliedro en el que los ángulos de sus caras coincidan con ellos. En las escenas siguientes trataremos de averiguar las condiciones de existencia de un triedro según sean los ángulos de sus caras. Para simplificar la cuestión suponemos que las medidas de los ángulos de las caras son diferentes, con lo cual siempre hay una mayor que las demás (aquí será la de 120º).  En las escenas siguientes la figura de la derecha representa en dos dimensiones el desarrollo del ángulo triedro de medidas 70º, 120º y 85º. Arrastrando el punto de control A a través del segmento de extremos A y AA se dobla la cara AVD por el lado CV y arrastrando el punto de control B a través del segmento de extremos B y BB se dobla la cara BVC por el lado DV. El punto S indica la posición de encuentro de ambos puntos de control en la que se forma el triedro tal y como se puede observar en la figura tridimensional de la izquierda de la escena cuyo movimiento acompasa al de la otra figura. Ángulo de dos vectores El ángulo formado por dos vectores  y  viene dado por la expresión: Ejemplo Ángulo entre vectores. Ángulo entre dos vectores, trazados de un punto, se llama el ángulo más corto al cual hay que girar uno de los vectores alrededor de su inicio hasta la posición de co-dirección con el otro vector. El coseno del ángulo entre vectores equivale al producto escalar de dos vectores dividido en el producto de módulos de estos vectores. Fórmula de calculación del ángulo entre vectores cos α  =  a · b | a |·| b | Ejemplo. Calcular el ángulo entre los vectores  a  =  { 3; 4 }  y  b  =  { 4; 3 } . Solución: cos α  =  a   b  =  3·4 + 4·3  =  12 + 12  =  24 | a | | b | (32 + 42)1/2 (42 + 32)1/2 (25)1/2 (25)1/2 25 Ejemplo. Calcular el ángulo entre los vectores  a  =  { 3; 4; 0 }  y  b  =  { 4; 4; 2 } . Solución: cos α  =  a   b  =  3·4 + 4·4 + 0·2  =  12 + 16  =  28  =  14 | a | | b | (32 + 42 + 02)1/2 (42 + 42 + 22)1/2 (25)1/2 (36)1/2 30 15 Ángulo de dos vectores Descripción:  El ángulo (α ) que forman dos vectores u,v∈Rn, no nulos, se obtiene de la igualdad:  u⋅v=∥u∥⋅∥v∥cosα, es decir: α=arccosu⋅v∥u∥⋅∥v∥ Descriptores:   Espacio euclídeo  Álgebra Enlaces interactivos:   Ángulo de dos vectores Ejemplo:  Que ángulo forman los dos vectores u=(1,0)∈R2v=(−2,−2)∈R2, no nulos. 1. Calculamos el producto escalar: u⋅v=(1,0)⋅(−2,−2)=−2+0=−2 2. Calculamos la norma de cada uno de los vectores: ∥u∥=∥(1,0)∥=+1√=1∥v∥=∥(−2,−2)∥=+(−2)2+(−2)2−−−−−−−−−−−√=8√=22√ 3. Calculamos el coseno del ángulo que forman, a partir de la fórmula: cosα=u⋅v∥u∥⋅∥v∥, en nuestro caso se obtiene cosα=(1,0)⋅(−2,−2)∥(1,0)∥⋅∥(−2,−2)∥=−21.22√=−12√=−2√2 De donde se obtiene que α=arccos(−2√2)=315º