Cálculo de variaciones

teoría perturbacional o teoría de perturbaciones es un conjunto de esquemas aproximados para describir sistemas cuánticos complicados en términos de otros más sencillos. La idea es empezar con un sistema simple y gradualmente ir activando hamiltonianos "perturbativos", que representan pequeñas alteraciones al sistema. Si la alteración o perturbación no es demasiado grande, las diversas magnitudes físicas asociadas al sistema perturbado (por ejemplo sus niveles de energía y sus estados propios) podrán ser generados de forma continua a partir de los del sistema sencillo. De esta forma, podemos estudiar el sistema complejo basándonos en el sistema sencillo.- ..................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=aab2dd77dcd22d4f624defd8be6ae396cdbae3b9&writer=rdf2latex&return_to=Teor%C3%ADa+perturbacional

Métodos aproximados. Teoría de perturbaciones. El método variacional.

1. Obtener a primer orden de teoría de perturbaciones la corrección de los niveles de energía de un pozo de potencial de paredes infinitas y anchura

producida por la acción de un potencial de la forma:

$\displaystyle V(x)=\lambda x$

2. Una partícula que se encuentra en un pozo de potencial de paredes infinitas con $L=10^{-7}$ cm es sometida a la acción de otro potencial de la forma:

$\displaystyle V(x)=\lambda \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) \qquad , \qquad \lambda=10^{-18} \mathrm{erg}$

a) Hallar el rango de valores para la masa de la partícula que permiten aplicar eficazmente la teoría de perturbaciones al nivel

del pozo infinito.
b) Calcular la corrección del nivel fundamental si $m=3 \times 10^{-24}$ gr.

3. Sea una partícula sometida a un potencial de la forma:

$\displaystyle V(x,y)=\frac{1}{2} m \omega^2 x^2+\frac{1}{2} m \omega^2 y^2+\lambda m \omega^2 xy$

a) Obtener los autovalores de la energía.
b) Comprobar, para el primer nivel excitado, que cuando $\lambda \to 0$ el resultado es el mismo que se obtiene perturbando el oscilador armónico bidimensional isótropo con un potencial de la forma:

$\displaystyle V(x,y)= \lambda m \omega^2 xy$

4. Calcular los niveles de energía del oscilador armónico perturbado de hamiltoniano:

$\displaystyle \hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2 + \alpha \hat{x}^3$

5. Obtener la corrección de la energía a primer orden del primer estado excitado de un oscilador armónico bidimensional isótropo sometido a una perturbación de la forma $V(x,y)=\lambda x^4$ .

6. Dado el hamiltoniano

$\displaystyle H^0=\left( \begin{array}{ccc} E_0 & 0 & 0 \\ 0 & E_1 & 0 \\ 0 & 0 & E_1 \end{array}\right) \qquad ,$

con las autofunciones (en esta base)

$\displaystyle \phi_1=(1,0,0) \qquad \phi_2=(0,1,0) \qquad \phi_3=(0,0,1) \qquad ,$

y dada la perturbación

$\displaystyle \lambda V=\lambda \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \qquad ,$

hallar las correcciones de la energía a primer y segundo orden en teoría de perturbaciones.

7. Un oscilador armónico bidimensional e isótropo es sometido a la acción de una perturbación $H'=\lambda_1 x^4 + \lambda_2 y^4$ .
a) ¿Cómo varía la energía de su estado fundamental a primer orden en teoría de perturbaciones?
b) ¿Y la función de onda?

8. Una partícula en un pozo de potencial de paredes infinitas y anchura

se encuentra en

en el estado:

$\displaystyle \psi=a\phi_1+\beta\phi_2 \qquad ,$

donde $\phi_1$ y $\phi_2$ son los autoestados más bajos de la energía. ¿Qué relación deben satisfacer $\alpha$ y $\beta$ para que la energía promedio del estado $\psi$ sea igual al promedio de las energías de los estado $\phi_1$ y $\phi_2$ ? ¿Cómo evoluciona este estado en el tiempo? ¿Cuál es la probabilidad de obtener la energía correspondiente al autoestado $\phi_3$ al hacer una medida cuando ha transcurrido un tiempo

? ¿Cuál es, en ese mismo tiempo, el valor esperado de la energía?Suponga ahora que en

hubiéramos sometido la partícula a la perturbación instantánea:

$\displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{cc} +\lambda & x<L/2 \\ -\lambda & x>L/2 \end{array}\right.$

¿Cómo varían las energías de los niveles del pozo? Cuando ha transcurrido un tiempo

, ¿cuál es en este caso la probabilidad de encontrar el valor de la energía correspondiente al autoestado $\phi_3$ ?

9. Queremos aplicar el método variacional para calcular las energías de una partícula de masa

en un pozo de potencial infinito de anchura

.
a) Empezamos aproximando, en el intervalo

, la función de onda del estado fundamental por el polinomio par más simple que se haga cero en

y en

$\displaystyle \psi(x)=\left\{ \begin{array}{ll} a^2-x^2 & -a \leq x \leq a \\ 0 & \vert x\vert>a \end{array}\right.$

Calcular el valor medio de hamiltoniano en este estado. Comparar el resultado obtenido con el valor real.
b) Aumentamos la familia de funciones de prueba eligiendo un polinomio par de grado 4 que vaya a 0 en

y en

$\displaystyle \psi(x)=\left\{ \begin{array}{ll} (a^2-x^2)(a^2-\alpha x^2) & -a \leq x \leq a \\ 0 & \vert x\vert>a \end{array}\right.$

Calcular el valor medio del hamiltoniano en ese estado.

Calcular los valores de $\alpha$ que minimizan $\langle H \rangle$ . Comparar el valor de la energía del estado fundamental obtenida mediante este método con el valor real.

10. Considere una partícula en un potencial tridimensional definido así: $V(x,y,z)=\infty$ para $0\ge x \ge a$ ; $0\ge y \ge a$ ; $0\ge z \ge a$

en el resto del espacio

a) Escribir la expresión general de los autovalores y autovectores de la energía.
b) Calcular las correcciones a las energías de los autoestados correspondientes a las dos energías más bajas, producidas por la perturbación $V^{\prime}(x,y)= V_1(x) \cdot V_2(y)$ , siendo:
$V_1(x)= \Omega$ si $0 \le x \le a/2$ , $\forall y, z$
$V_1(x)= - \Omega$ si $a/2 \le x \le a$ , $\forall y, z$
$V_2(y)= \Omega$ si $0\le y \le a/2$ , $\forall x, z$
$V_2(y)= - \Omega$ si $a/2 \le y \le a$ , $\forall x, z$
y utilizando primer orden de teoría de perturbaciones.

c) Obtener la corrección más importante a la función de ondas del estado de energía más baja, también en primer orden de teoría de perturbaciones.

11. Una partícula está sometida a la acción de un potencial de oscilador armónico bidimensional e isótropo:

$V(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega^2 (x^2 + y^2 )$

a) Calcule los tres primeros autovalores de la energía y su degeneración.

b) Calcule a primer orden de teoría de perturbaciones las correcciones a dichas energías si añadimos un potencial

$h'(x,y)=\displaystyle{-\frac{1}{2}} m \omega_0^2 x \cdot y$

12. Una partícula está confinada en un cuadrado de lado L, en el plano XY, por un potencial que es infinito en el exterior del cuadrado y cero en su interior.V(x,y)= $\infty$ ; si x o y son mayores que L/2 o menores que -L/2
V(x,y)= 0 ; en el resto de los casos.
Calcular, en primer orden de perturbaciones, cómo se modifican sus tres autoenergías más bajas si añadimos una interacción de la forma

$\begin{displaymath}h^{\prime}= \lambda \; x \cdot y\end{displaymath}$

13. Un electrón está sometido a la acción de un potencial de oscilador armónico bidimensional anisótropo:
$V(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega^2 (x^2+4y^2)$
a) Obtenga sus tres primeras autoenergías y las autofunciones correspondientes.
b) Calcule a primer orden de teoría de perturbaciones las correcciones a dichas energías debidas al potencial:
$v'(x,y)=\displaystyle{-\frac{1}{2 \lambda}} m \omega^2 x^2 \cdot y$
c) Si $\hbar \omega$ vale 1 eV, ¿para qué valores de $\lambda$ será válida la aproximación perturbativa? (Dé valores numéricos en las unidades adecuadas).
d) Escriba la función de ondas del estado fundamental de la partícula teniendo en cuenta la perturbación a primer orden.

14. Una partícula está sometida a la acción de un potencial tridimensional de la forma:

V $(x,y,z)=\displaystyle{\frac{1}{2}} m (\omega_x^2 x^2 + \omega_y^2 y^2 +\omega_z^2 z^2 )$

con $\omega_y = 2 \omega_x$ , y $\omega_z = 2 \omega_x$

a) Obtenga los tres autovalores más bajos de la energía, su degeneración y la forma de las autofunciones asociadas.

b) Considere ahora la perturbación:

$h^{\prime}(x,y,z)= \lambda \; x^2 \cdot (y + z)$

Calcule - en primer orden de teoría de perturbaciones - las correcciones a las tres autoenergías más bajas,

c) Escriba las funciones de ondas de los estados no perturbados que son el límite cuando $\lambda$ tiende a cero de los autoestados exactos del hamiltoniano
H

+ $h^{\prime}$ , siendo H

= T + V .

15. Una partícula está confinada en un potencial tridimensional de la forma:

$V(x,y,z)=\displaystyle{\frac{1}{2}} m (\omega_x^2 x^2 + \omega_y^2 y^2 +\omega_z^2 z^2 )$

con $2 \omega_x = 2 \omega_y = \omega_z$

a) Obtenga los tres autovalores más bajos de la energía, su degeneración y la forma de las autofunciones asociadas.
b) Considere ahora la perturbación:

$v^{\prime}(x,y,z)= \lambda \; x \; y \; z^2$

Calcule - en primer orden de teoría de perturbaciones - las correcciones a las energías de los autoestados correspondientes a las tres autoenergías más bajas,

c) Halle la corrección más importante a la función de ondas del estado de energía más baja.

16. Una partícula se encuentra en el interior de un cubo de lado L (el potencial es cero dentro del cubo e infinito fuera de él). Calcular las correcciones a la energía de su estado fundamental y del primer (o primeros) estados excitados, debidas a la perturbación:

= - $\lambda$ cos( $\pi$ x/L) cos( $\pi$ y/L)

Escribir las funciones de ondas de los primeros estados excitados que son el límite cuando $\lambda$ $\rightarrow$ 0 de las soluciones exactas del problema

17. Dos electrones se hallan confinadas en una dimension. Podemos aproximar el potencial confinante mediante un oscilador armónico de frecuencia $\omega$ . Además, los electrones interaccionan débilmente mediante un potencial:

$\begin{displaymath}V^{\prime} = \displaystyle{\beta \; (x_1 - x_2)^2 \;\; (\vec{s_1}\cdot } \; \vec{s_2})\end{displaymath}$

a) Calcule las cuatro energías más bajas del sistema en primer orden de teoría de perturbaciones.

b) Escriba las funciones de onda no perturbadas que corresponden a dichas energías en el límite $\beta \rightarrow$ 0.

18. Una partícula está sometida al siguiente potencial tridimensional:

V(r)= $\infty$ si r

V(r)=0 si R

+ D

V(r)= $\infty$ si r

+ D . (R

=20Å; D=2Å)

¿ Para qué valores del momento angular se podrá tratar el término de barrera centrífuga del potencial efectivo en primer orden de teoría de perturbaciones? Calcule a dicho orden las energías de los tres estado más ligados de la partícula. Escriba las funciones de onda no perturbadas de esos estados.

19. El núcleo del deuterio está formado por un neutrón (n) y un protón (p). Ambos son partículas de espín

=1/2 y cuyas masas consideraremos iguales (m). Su interacción se puede describir mediante el potencial siguiente:

$\begin{displaymath}V = \displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega^2 (\vec{r_n} - \vec{... ...rm {con}} \:\:\: V_{ss}=\displaystyle{\frac{-\omega}{10\hbar}}\end{displaymath}$

.
a) Escriba el conjunto de observables compatibles adecuado para este sistema.

b) Obtenga los cuatro autovalores más bajos de la energía y sus correspondientes autovectores.

c) Introducimos una perturbación de la forma:

$\begin{displaymath}H^{\prime} = \displaystyle{\frac{g}{\hbar}} (s_{p,z} - s_{n,z})\end{displaymath}$

Calcule cómo se modifica la energía del estado fundamental, en los dos casos siguientes:

i) $g << \hbar\omega /10$

ii) $g >> \hbar\omega /10$

20. Dos partículas distinguibles y de igual masa se hallan confinadas en un potencial de oscilador armónico unidimensional, centrado en el origen. Interaccionan débilmente mediante un potencial:

$\begin{displaymath}V^{\prime} = \displaystyle{\beta x_1 x_2} \end{displaymath}$

a) Calcule las tres energías más bajas del sistema en primer orden de teoría de perturbaciones.

b) Escriba las funciones de onda no perturbadas que corresponden a dichas energías en el límite $\beta \rightarrow$ 0.

c) Calcule exactamente las autoenergías más bajas y deduzca los resultados perturbativos del apartado a) como límite de los valores exactos cuando hacemos $\beta \rightarrow$ 0.

21. Un electrón está confinado en un potencial de oscilador armónico, bidimensional y anisótropo:

$\begin{displaymath}V(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega^2 (x^2+4y^2)\end{displaymath}$

a) Obtenga sus tres primeras autoenergías y las autofunciones correspondientes.

b) Calcule a primer orden de teoría de perturbaciones las correcciones a dichas energías debidas al potencial:

$\begin{displaymath}v'(x,y)=\displaystyle{-\frac{\lambda}{2}} m \omega^2 x^2 \cdot y\end{displaymath}$

c) Si $\hbar \omega$ vale 1 eV, para qué valores de $\lambda$ será válida la aproximación perturbativa? (De valores numéricos en las unidades adecuadas)

d) Escriba la función de ondas del estado fundamental de la partícula teniendo en cuenta la perturbación a primer orden.

22. El hamiltoniano de una partícula sometida a la acción de un potencial armónico, bidimensional e isótropo es:

$\begin{displaymath}H_0 = \displaystyle{\frac{P_x^2}{2m}} + \displaystyle{\frac{... ...{2m}} + \displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega_0^2 (x^2 + y^2) \end{displaymath}$

a) Obtenga los tres autovalores más bajos de la energía, su degeneración y las autofunciones correspondientes.

b) Compruebe que el operador L

, se puede escribir como:

$\begin{displaymath}{\bf L}_z = i \; \hbar \; (a_x a_y^+ - a_y a_x^+) \end{displaymath}$

c) Perturbamos el sistema con una interacción V $^{\prime}$ = $\omega_1 {\bf L}_z$ , Cómo se modificarán las dos autoenergías más bajas, a primer orden en teoría de perturbaciones? Cuáles son los autoestados no perturbados que son el límite de los autoestados exactos de hamiltoniano H

+V $^{\prime}$ cuando $\omega_1 \rightarrow 0$ ?

d) En realidad, las autoenergías y los autoestados obtenidos en el apartado anterior resultan ser soluciones exactas del hamiltoniano H

+V $^{\prime}$ . Porqué?

23. Un electrón está sometido a la acción de un potencial de oscilador armónico bidimensional anisótropo:

$V(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega^2 (x^2+4y^2)$

a) Obtenga sus tres primeras autoenergías y las autofunciones correspondientes.
b) Calcule a primer orden de teoría de perturbaciones las correcciones a dichas energías debidas al potencial:

$v'(x,y)=\displaystyle{-\frac{1}{2 \lambda}} m \omega^2 x^2 \cdot y$

c) Si $\hbar \omega$ vale 1 eV, para qué valores de $\lambda$ será válida la aproximación perturbativa? (Dé valores numéricos en las unidades adecuadas)
d) Escriba la función de ondas del estado fundamental de la partícula teniendo en cuenta la perturbación a primer orden.

24. Un electrón está sometido a la accion de un potencial

$\begin{displaymath}V = \displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega_x^2 x^2 + \displays... ... \omega_y^2 y^2 + \displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega_z^2 z^2 \end{displaymath}$

con $\omega_x$ = $\omega_y$ = 2 $\omega_z$ = 2 $\omega_0$ .

Obtenga los tres autovalores más bajos de la energía y las autofunciones correspondientes.

Cómo se modificarían dichas energías si se perturbara el sistema con un potencial:

$\begin{displaymath}V^{\prime} = \displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega_1^2 (x + y ... ...displaystyle{\left( \frac {2m \omega_0} {\hbar}\right)^{1/2}} \end{displaymath}$