Física matemática

Cálculo de variaciones

El principio de mínima acción, principio de acción estacionaria o principio de Hamilton es un presupuesto básico de la mecánica clásica y la mecánica relativista para describir la evolución a lo largo del tiempo del estado de movimiento de una partícula como de un campo físico. También en mecánica cuántica Feynman y Kac intentaron formulaciones inspiradas en el principio.- ...................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=e5aa2c8b00930b3fb0266432a9988ee32ce7a040&writer=rdf2latex&return_to=Principio+de+m%C3%ADnima+acci%C3%B3n

El principio de mínima acción

La acción es una cantidad matemática que depende de la masa, la velocidad y la distancia recorrida por una partícula. También esta asociada con la forma en que la energía es transportada de un lugar a otro por una onda.

En cualquier punto a lo largo de la trayectoria que recorre la partícula es posible calcular la energía cinética y la energía potencial de esta, La suma de estas dos cantidades debe ser siempre la misma según lo establece la ley de conservación de la energía. Sin embargo, al restar la energía potencial de la energía cinética, se obtiene un valor diferente en cada uno de los diferentes puntos de la trayectoria. Al integrar esta función de la energía cinética y la energía potencial para la trayectoria total de la partícula se obtiene la acción que constituye una propiedad de la trayectoria seguida por la partícula es decir, cada diferente trayectoria tiene un valor de acción específico.

En la naturaleza los objetos que siguen trayectorias siempre lo hacen considerando el camino que tiene la mínima acción. Para ir de un punto a otro se presentan infinitos caminos pero siempre la partícula escogiera la trayectoria de mínima acción. Este principio es conocido como elPrincipio de Mínima Acción.

De Broglie planteó que la luz, que se creía que estaba formada por partículas participa de la naturaleza de las ondas. Se abolió para siempre la división entre materia y energía. Materia y energía es lo mismo. Un avance muy importante para la ciencia.

 La naturaleza ondulatoria de la materia

En su tesis doctoral de 1925, Louis de Broglie (1892-1987) planteó que una partícula de masa m y velocidad v tendría una longitud de onda asociada a ella, de acuerdo a la siguiente ecuación

donde h es la ya conocida constante de Planck.

De Broglie sugirió esta idea pensando que si la luz tenía propiedades de partículas era posible que las partículas tuvieran propiedades ondulatorias.

La hipótesis desarrollada por de Broglie se aplica a toda la materia. Para objetos de tamaño ordinario, como una pelota de beisbol o una bala, la onda asociada a su movimiento es de una longitud tan pequeña que está fuera de toda observación posible. Esto no sucede con las partículas como los electrones o los neutrones debido a que tienen una masa muy pequeña.

En 1927, dos años después de haber sido formulada la ecuación de Louis de Broglie, Davisson y Germer, de la Bell Telephone Laboratory, demostraron la difracción de electrones mediante un cristal de níquel. La difracción es un fenómeno típico de las ondas y demuestra lo anticipado por el genial científico francés.

La difracción de electrones se utiliza hoy para estudiar las características de objetos muy pequeños. Así como en el microscopio óptico se utilizan las propiedades ondulatorias de la luz para la observación del mundo microscópico, el microscopio electrónico utiliza las propiedades ondulatorias de la materia para observar fenómenos que ocurren a niveles de 10 nanómetros (1x10-8 metros). 

Principio de mínima acción de Hamilton

13 de diciembre de 2007 Publicado por Martín

  Hamilton a partir de la reformulación de la mecánica de Lagrange, propuso nuevas ideas para mejorarla creando la también llamada mecánica de Hamilton. Sobre ésta trataremos en otro post, sobre lo que vamos a hablar aquí es sobre el famoso principio de Hamilton.

Todo sabemos como ocurren todos los sucesos en la naturaleza; por ejemplo si tiro una piedra desde la altura de un primer piso, ésta caerá en línea recta, no describiendo curvas; o que de todas las posibles trayectorias entre 2 cargas positivas, éstas elegirán siempre la línea recta. Pues gracias a Hamilton (1835), sabemos cuál es la ecuación que rige todo estos sucesos. Cabe decir que Maupertius en el año 1747 se acercó mucho al concepto que vamos a explicar, pero no lo consiguió del todo ya que fue incapaz de conseguir una ecuación para demostrarlo y atribuyó todo a la sabiduría infinita de Dios.
Como ya expliqué anteriormente la lagrangiana es : L=T-V siendo T la energía cinética y V la potencial. Pues se define la acción como: 
Así, el principio de Hamilton dice: “De todas las posibles evoluciones de un sistema, éste va a seguir la que hace mínima la acción ”
Para que la acción sea mínima:

Este principio será de gran ayuda en física cuántica o óptica. Ahora sabemos cómo actúa la naturaleza, pero seguimos sin saber porque lo hace de esta manera, sigue siendo un misterio.

principio de mínima acción .- ..............................................:http://ffn.ub.es/luisnavarro/presentaciones_archivos/Euler_IMUB.pdf