sábado, 6 de junio de 2015

Física matemática


Cálculo de variaciones

 problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie mínima con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimentó con películas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la teoría geométrica de la medida.La generalización del problema de Plateau formulado consiste en lo siguiente:
Se da una curva cerrada (de Jordan) en el espacio. Hallar la superficie que contiene esta curva y tal que el área abarcada por la curva sea mínima.
Se dan dos puntos P_1(x_1 , y_1) y P_2(x_2 , y_2) del plano xy. Sea x_1<\;x_2. Supongamos que y=y(x) es la ecuación de una curva que une los puntos P_1 y P_2, es decir,
y=y(x_1), y=y(x_2).
La curva gira alrededor del eje x barriendo cierta superficie de revolución. Se pregunta: ¿cuál es la superficie de rotación que tiene la menor área posible? De este modo se llega al problema de la elección de la función y(x) para la que la integral
S=2\pi\ \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{'2}}\, dx
(área de la superficie de revolución) es mínima. Estas superficies de revolución mínimas, bajo ciertas restricciones adicionales sobre los puntos P_1 y P_2, se denominan catenoides.



El Problema de Plateau y Las Superficies Minimales

¿Qué formas puede adquirir una película de agua jabonosa?

Hay dos tipos de superficies que pueden formarse con jabón: las pompas, que son las que no encierran aire dentro, y las burbujas, que encierran aire en su interior.
La película jabonosa, por la fuerza de cohesión interna de las moléculas que la forman, tiende a tener el área mínima posible.
 Una pompa tiene la menor área posible.
Éste es el motivo por el que a las superficies que obtenemos como pompas de jabón se las ha dado el nombre desuperficies minimales.

El Problema de Plateau

Joseph Plateau se dedicó a estudiar en detalle las propiedades de las pompas de jabón, por lo que al problema de encontrar qué pompa de jabón tiene por borde una curva dada se le conoce con el nombre de problema de Plateau.
La resolución matemática del problema, tardó mucho tiempo en llegar y no fue hasta mediados de los años 70 que las tesis de Plateau fueron demostradas.
Estas fueron sus conclusiones:
  • Es imposible que cuatro láminas de jabón se encuentren formando ángulos de 90º.
  • Si varias láminas de jabón se cortan, lo hacen de tres en tres y formando ángulos de 120º.
  • Si varias láminas de jabón se encuentran en un punto, lo hacen de seis en seis y formando ángulos “triedros” iguales. Los ángulos triedros son los ángulos tridimensionales, y se entienden como los formados en el vértice de un prisma y no se pueden medir, tal y como se hace con los ángulos de planos.
  • Una pompa tiene área menor que cualquier otra superficie cercana a ella.

Superficies Minimales

Catenoide: es una especie de cilindro más angosto en el centro que en los extremos.
Helicoide: Se llama así porque su borde exterior es una hélice.
Fueron encontradas en 1776-1785.
Durante más de 200 años se creyó que las únicas superficies minimales sin auto intersecciones y que se prolongan infinitamente eran el plano, el catenoide y el helicoide. En las últimas décadas se han encontrado multitud de ejemplos de superficies minimales.



problema de transporte es un caso particular de problema de programación lineal en el cual se debe minimizar el coste del abastecimiento a una serie de puntos de demanda a partir de un grupo de puntos de oferta —posiblemente de distinto número—, teniendo en cuenta los distintos precios de envío de cada punto de oferta a cada punto de demanda.
Se disponen n \in \mathbb{N} puntos de oferta o factorías con una producción determinada (representada mediante un vector, F) y m \in \mathbb{N}puntos de demanda o mercados de demanda determinada (vector M):
F \in \mathbb{R}^n;\; F = (F_1, F_2, F_3, \cdots, F_n)
M \in \mathbb{R}^m;\; M = (M_1, M_2, M_3, \cdots, M_m)
Además se dispone como dato de una matriz de precios, C, de forma que C_{i j} es el precio de envío por unidad desde la factoría F_i al mercado M_j:
C \in \mathcal{M}_{n \times m}(\mathbb{R})
El objetivo es calcular una nueva matriz, X, de forma que X_{i j} sea el número de unidades que se envían de la factoría F_i al mercado M_j.
X \in \mathcal{M}_{n \times m}(\mathbb{R})
Con estos datos podemos formular las condiciones que se han de cumplir:
\sum_{i = 1}^{n} X_{i j} \geq M_j \;\; \forall j \in \mathbb{N} / 1 \leq j \leq m
\sum_{j = 1}^{m} X_{i j} \leq F_i \;\; \forall i \in \mathbb{N} / 1 \leq i \leq n
X_{i j} \geq 0 \;\; (i, j \in \mathbb{N}; 1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq m)
El precio total a pagar por el transporte, C_T, que se ha de minimizar, se determinará por la suma de los productos del precio de cada unidad por el coste de envío por unidad de cada fábrica a cada mercado:
C_T = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} X_{i j} \cdot C_{i j}
\min \; C_T

Se dice que el problema está balanceado cuando se cumple que:
\sum_{i = 1}^{n} F_i = \sum_{j = 1}^{m} M_j
(o, abreviadamente, \sum F = \sum M, es decir, la oferta es igual a la demanda).
En caso de que \sum F > \sum M, se incorporaría un mercado adicional al problema, el mercado artificial, M_a, de forma que su demanda sea el excedente y el coste de envío a este mercado sea nulo:
C_{i a} = 0 \;\; \forall i \in \mathbb{N} / 1 \leq i \leq n.

Para que un problema de transporte pueda ser resuelto a través de éste método debe cumplir con las características que se mencionarán. Si no es posible, se deben resolver por el método simplex.
  • Ser un problema balanceado.
  • Contar con (n+m-1) variables de decisión, siendo n los puntos de demanda y m los puntos de oferta.
  • Crear tabla de transporte
Proveedor 1Proveedor 2Proveedor m
Punto de oferta 1costo(i, j)costo(i, j+1)costo(i, j+m)Oferta 1
Punto de oferta 2costo(i+1,j)costo(i+2,j+1)costo(i+n, j+m)Oferta 2
Punto de oferta ncosto(i, j)costo(i+1,j+1)costo(i+n, j+m)Oferta n
Demanda 1Demanda 2Demanda m
  • Establecer solución inicial
Existen varios métodos para hacer esto: Noreste y sus variaciones(Suroeste, Suroeste, etc), y Costo mínimo. Para el de costo mínimo:
    • Ordenar los costos de mayor a menor
    • En la celda (i, j) asignar el mínimo entre la demanda j, y la oferta i
    • Restar a la oferta j y la demanda i el valor asignado
    • repetir los últimos dos pasos hasta que la oferta y la demanda de todas las filas y columnas sea igual a 0
  • Calcular índices de mejora
Todos los lugares que no contienen un valor se les considera agua y los valores asignados piedras los índices se calculan para todos los lugares que contienen agua, de tal forma que se busca moverse por fila y columna hasta generar un circuito, se multioplican los costos por +1,-1...
  • Si existe una mejora realizarla y volver al paso de calcular los índices de mejora
Si se encuentra un índice negativo en los circuitos, se busca el de los -1 el menor y se le suma o resta según el signo a todo los circuitos.
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