Física matemática

Cálculo tensorial

tensor tensión, también llamado tensor de tensiones o tensor de esfuerzos, es el tensor que da cuenta de la distribución detensiones y esfuerzos internos en el medio continuo.El teorema de Cauchy sobre las tensiones de un cuerpo, establece que dada una distribución de tensiones internas sobre la geometría de un medio continuo deformado, que satisfaga las condiciones del principio de Cauchy existe un campo tensorial T simétrico definido sobre la geometría deformada con las siguientes propiedades:

1. . 
2. . 
3. . 

La tercera propiedad significa que este tensor vendrá dado sobre las coordenadas especificadas por una matriz simétrica. Cabe señalar que en un problema mecánico a priori es difícil conocer el tensor tensión de Cauchy ya que este está definido sobre la geometría del cuerpo una vez deformado, y ésta no es conocida de antemano. Por tanto previamente es necesario encontrar la forma deformada para conocer exactamente el tensor de Cauchy. Sin embargo, cuando las deformaciones son pequeñas, en ingeniería y aplicaciones prácticas se emplea este tensor aunque definido sobre las coordenadas del cuerpo sin deformar (lo cual no conduce a errores de cálculo excesivo si todas las deformaciones máximas son inferiores a 0,01).

Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensor tensión de Cauchy viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes son:

La segunda forma es la forma común de llamar a las componentes del tensor tensión en ingeniería.

Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.

Los tensores de Piola-Kirchhoff T_R se introducen para evitar la dificultad de tener que trabajar con un tensor definido sobre la geometría ya deformada (que normalmente no es conocida de antemano). La relación entre ambos tensores viene dada por:

Donde F es el tensor gradiente de deformación. Este tensor sin embargo, tiene el problema de que no es simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).

Segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff[editar]

Este tensor se introduce para lograr un tensor definido sobre la geometría previa a la deformación y que además sea simétrico, a diferencia del primer tensor de Piola-Kirchhoff que no tiene por qué ser simétrico. El segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff viene dado por:

Los tensores de Piola-Kirchhoff T_R se introducen para evitar la dificultad de tener que trabajar con un tensor definido sobre la geometría ya deformada (que normalmente no es conocida de antemano). La relación entre ambos tensores viene dada por:

Donde F es el tensor gradiente de deformación. Este tensor sin embargo, tiene el problema de que no es simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).

Segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff[editar]

Este tensor se introduce para lograr un tensor definido sobre la geometría previa a la deformación y que además sea simétrico, a diferencia del primer tensor de Piola-Kirchhoff que no tiene por qué ser simétrico. El segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff viene dado por:

Componentes del tensor tensión en un punto P de un sólido deformable.

Problema tipo Nº 1 - Enunciado

La figura muestra, en cierto sistema de unidades, las componentes de tensión en las caras de un elemento diferencial que contiene al punto "P" de un sólido. Sus aristas son paralelas a los ejes coordenados como se indica. Se pide que exprese las componentes del tensor de tensiones en el punto P.

Problema tipo Nº 1 - Solución

Aplicando el convenio de signos del tensor, se tiene:

s₁₁=8; s₂₂=-10; s₃₃=-11; s₁₂=9; s₁₃=-12; s₂₃=0;

Y por simetría: s₂₁=s₁₂=9; s₃₁=s₁₃=-12; s₃₂=s₂₃=0;

Es frecuente presentar el valor de los tensores de orden uno o dos en forma de matriz columna, o de matriz cuadrada, respectivamente. En este caso:

Problema tipo Nº 2 - Enunciado

La cara izquierda del sólido rectangular de la figura, está sometida a la distribución de tensiones que se muestra. Se representan por separado las componentes normal, constante de valor 5, y tangencial, parabólica de valor máximo 4, si bien actúan ambas conjuntamente. Se pide que indique el valor de las componentes del tensor de tensiones correspondiente al punto C en el plano 1-2.

Problema tipo Nº 2 - Solución

Se trata de una cara cuya normal exterior es contraria a un eje. Aplicando el convenio de signos para este caso, tenemos:

s₁₁=5; s₁₂=-4; s₂₂= (?)

Nótese que la componente s₂₂ actúa sobre un plano de corte perpendicular a la superficie del sólido en C, por lo que el valor de dicha componente no puede precisarse con sólo saber las tensiones en la superficie. 

Problema tipo Nº 3 - Enunciado

Las figuras siguientes muestran un elemento diferencial de un sólido. En el interior de dicho elemento no actúan fuerzas puntuales concentradas, ni ninguna otra singularidad, aunque puede actuar una distribución de fuerzas de volumen. Indique cuáles de las figuras tienen dibujado un estado de tensión posible, en el sentido de no ser incompatible con el equilibrio del elemento.

Problema tipo Nº 3 - Solución

La figura (a) NO representa tensiones en equilibrio, ya que no se cumple el principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales en las esquinas superior e inferior izquierdas. Si la tensión tangencial fuese hacia arriba en la cara izquierda, sí podría estar en equilibrio.

La figura (b) NO representa tensiones en equilibrio, ya que la suma de fuerzas verticales no puede ser cero. Podría serlo si la tensión normal de la cara superior fuese de compresión, o la de la cara inferior de tracción.

La figura (c) SI puede representar tensiones en equilibrio. 

Nota.- la posible existencia de una distribución de fuerzas de volumen no afecta a las respuestas, ya que su aportación sería el de una fuerza diferencial de orden 3, mientras que las aportadas por las tensiones en las caras son de orden 2.

Problema tipo Nº 4 - Enunciado

Las figuras muestran un sólido rectangular sometido a diversas distribuciones de tensiones en su contorno derecho. Indique cuáles de ellas son posibles, en el sentido de que no violen la posibilidad de equilibrio a nivel local (de cada elemento) en el sólido.

Problema tipo Nº 4 - Solución

La idea clave es que en las esquinas debe cumplirse el principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales, ya que el elemento diferencial que está justo sobre una esquina también debe estar en equilibrio. Así pues, agrupando las figuras por categorías:

(b) y (c) no tienen tensiones tangenciales en su contorno derecho, en particular en las esquinas, lo que también sucede en los contornos horizontales. Luego el equilibrio de los elementos en ambas esquinas es posible.

(d) y (e) tienen tensiones tangenciales en su contorno derecho, pero son nulas en las esquinas, lo que también sucede en los contornos horizontales.  Luego el equilibrio de los elementos en las esquinas es posible también en estos casos.

(a) y (f) tienen también tensiones tangenciales en su contorno derecho, pero que no tienen valor cero en las esquinas. Dado que las superficies horizontales sí que tienen tensión tangencial cero puesto que no se indica que sufran ninguna acción, un elemento diferencial en la esquina no satisface la reciprocidad de las tensiones tangenciales, y por tanto no está en equilibrio. No sería un estado de carga "posible" según la acepción de la palabra que propone el enunciado.

Nota: No es que la solicitación propuesta en (a) o en (f) no sea posible en términos absolutos, sino más bien que no puede analizarse con el modelo matemático que se desarrolla en este curso. Lo que sí se puede dar por sentado cuando ocurre una situación como esta, en la que el modelo de la Elasticidad "protesta", es que algo raro (seguramente no muy deseable) ocurrirá si el caso se lleva a la práctica. Efectivamente, un análisis con herramientas matemáticas más elaboradas que las que se presentan en el curso, predicen una singularidad (un "infinito") de tensiones en la esquina si el análisis se mantiene en régimen elástico, o la aparición de una zona plástica en la esquina si el modelo permite esa posibilidad. En todo caso, lo probable es que la esquina se rompiese si nos empeñamos en reproducir una solicitación de ese tipo en la práctica.