Física matemática

Cálculo tensorial

convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra griega sigma - ). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916.¹ Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a lafísica. El convenio se aplica sólo a sumatorios sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribUn índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas:

y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:³

en cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en 

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo:⁴

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre.²

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

ir explícitamente los signos de sumatorios.

Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner superíndices para representar elementos en una columna y subíndices para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces,

representa 1 x n vector fila y

representa n x 1 vector columna.

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores columna representan vectores covariantes.

Empleando la notación estándar, se puede generar una matriz M × N denominada A mediante multiplicación de vectores columna u por vectores fila v:

En la notación de Einstein, se tiene que:

Como i y j representan dos índices diferentes y en este caso con dos rangos diferentes M y N respectivamente, los índices no son eliminados en la multiplicación. Ambos índices sobreviven a la multiplicación para llegar a crear una nueva matriz A.

CONVENIO DE LA SUMA DE EINSTEIN

El convenio de la suma de Einstein es una herramienta muy utilizada en el cálculo tensorial, en geometría diferencial y en la teoría de la relatividad general. Fue introducido por Einstein en el desarrollo de dicha teoría para abreviar las continuas y repetitivas sumas que incluian una y otra vez los cuatro ejes de coordenadas ( x ,y,z,ct ).

El convenio de la suma de Einstein se expresa en tres reglas formales:

•  Cuando exista un índice repetido, se entenderá que se realiza una suma para todos los valores de ese índice de 1 a n, salvo indicación en sentido contrario.

•  Un índice no puede aparecer más de dos veces en un producto o división. Así ai·xi ·zi no tendrá sentido, pero si lo tendría

ai ( xi +y i ).

Convenio de Sumación de Einstein

Consiste en entender un sumatorio siempre que tengamos un índice duplicado en un subindice, por ejemplo la combinación lineal

∑ni=1aixi=a1x1 + ... + anxn

Se escribe simplemente como aixi

También, el endomorfismo dado por la matriz A dado por la ecuación

xj=∑ni=1Ajivi

con el Convenio de Sumación de Einstein esto se escribe como xj=Ajivi 

Convención de Einstein

La convención de suma de Einstein o convención de Einstein, fue introducida por este famoso científico en 1916. Es una aplicación bastante útil que nos ahorra cierto tiempo y nos hace la vida mucha más fácil y no está demás decir que realmente es una herramienta muy poderosa.

El concepto es bastante sencillo, ya que solo es una abreviación del ya conocido símbolo de sumatoria (Σ), el cual suprime este símbolo para solo trabajar con los índices. “la expresión abreviada se obtiene eliminando los signos de sumatorio y entendiendo que los índices repetidos en la expresión resultante indican suma sobre todos los posibles valores del índice´´ (wiki pedía). Debo añadir a este concepto sacado de wiki pedía, que esta convención es útil para cualquier elemento que lleve varias variables, desde vectores hasta tensores.

El numero de índices libres depende del tipo de objeto que estemos representando, 1 índice indica que el objeto es un vector y a partir de 2 índices el objeto se considero un tensor, ya sea un tensor de 2 índices de 3, 4,5, etc. quiero aclarar que un objeto con 0 índice es un escalar pero esto es solo como para completar, ya que tal definición no se usa.

Ahora ya con este pequeño concepto es suficiente, veamos cómo se usa, lo trabajare con vectores porque todos conocemos vectores.

En vectores el índice hace la función de las componentes del vector, como también puede ser asociada con una pila de vectores.

Sea el vector Ā (discúlpenme la notación, la raya arriba define una flecha, como se denota un vector), donde Ā es cualquier vector en el espacio, ahora en notación de índices el vector Ā se rescribiría de la siguiente manera

Ā= Ai ēi

Donde Ai representa las componentes del vector Ā y los ēi representan la base del sistema coordenado (puede ser un espacio curvilíneo o normal, cualquier plano coordenado), debo aclarar que en este post trabajare con el sistema cartesiano.

Al descomponer la notación, hay que darle valores a la i es decir que i barre los valores 1,2,3, quedando el vector de la siguiente manera.

Ā= A1 ē1 + A2 ē2 + A3 ē3

Al ver esto no es muy difícil notar que el numero de valores que se le den a i denota el numero de dimensiones, es decir si i vale 1,2,3 significa que es un vector en 3 dimensiones y si i=1,2,3,4 es un vector de 4 dimensiones y así sucesivamente y quedaria de la siguiente manera.

Ā= A1 ē1 + A2 ē2 + A3 ē3 + A4 ē4

Otro ejemplo es el vector Ē puede ser definido como:

Ē= Ei ēi

De nuevo Ei representan las componentes del vector Ē y los ēi representan la base en que se proyectan estas componentes.

Nota: en general la posición de los índices importa si es arriba o abajo, o como se le llama índices covariantes y contravariantes respectivamente. Esto quiere decir que

Ai ēi ≠ Ai ēi

Pero en el plano cartesiano no importa, en el futuro podría explicar si así Uds. lo piden.

Sabiendo cómo se define un vector podemos definir nuevas operaciones, por ejemplo el producto punto o escalar.

Ā.Ē= Ai ēi .Ej ēj

ya que Ai y Ej son escalares(recuerden que son las componentes) pueden salir del producto punto.

Ā.Ē= Ai Ej ēi. ēj

Ahora nos queda el producto punto de los vectores bases es decir

ēi. ēj

Como dije anteriormente este objeto no puede ser otra cosa que un tensor de 2 índices ya que los índices no se repiten y quedan 2 índices libres. Bueno introduciré la definición de este objeto sin dar muchas explicaciones ya que esa es otra clase.

ēi. ēj = δij

A este objeto se le llama métrica del espacio euclidio y esta definida de la siguiente manera

δij= 1 sí i=j

δij = 0 sí i≠j

De esta forma al resolver nos queda una matriz diagonal con solamente 1 en su diagonal, es decir

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Retomando la ecuación anterior

Ā.Ē= Ai Ej ēi. ēj

Ā.Ē= Ai Ej δij

Ahora ya el producto punto toma forma ya que como es de esperarse no hay índices libres pueden ver que hay dos i y dos j, en general cuando un índice se repite significa que esta sumado, ya veremos

Al descomponer la notación tenemos

A1 E1 δ11 + A1 E2 δ12+ A1 E3δ13

A2 E1 δ21 + A2 E2 δ22 + A2 E3 δ23

A3 E1 δ31 + A3 E2 δ32 + A3 E3 δ33

Recordemos que según la definición de la métrica del espacio euclidiano, vale 0 para cuando i≠j es decir que los índices δ12, δ13, δ21, δ23, δ31, δ32 =0

entonces solo sobreviven los términos de la diagonal, y volviendo a recordar que cuando i=j vale 1 es decir que los términos δ11, δ22, δ33 =1.

Al sustituir nos queda lo que esperábamos del producto punto

Ā.Ē= A1 E1 + A2 E2 + A3 E3

Un gran resultado, aunque no reflaja al maximo las mejores habilidades de esta convención, hay que recordar que esto fue solo un pequeño ejemplo  muy sencillo para todos poder entender de que se trata esta convencion y lo util que puede ser.