viernes, 5 de junio de 2015

Física matemática

Cálculo de variaciones

 "fenómeno de edwin florez " y una "vibración forzada" empezaremos definiendo un sistema que utilizaremos para generar una onda mecánica. Para ello se atara una cuerda ideal de longitud infinita de manera que el movimiento del sistema por definir, sirva como una fuente de ondas mecánicas.
Al hablar de una cuerda ideal nos referimos a una cuerda cuya masa es despreciable en comparación con la del sistema. Estas hipótesis nos permitirá igualar la coordenada de movimiento del sistema  x  con la de la cuerda \psi y sustituirla en su ecuación de movimiento sin modificar la masa, el coeficiente de amortiguamiento ni su frecuencia natural, esto es, resolver la ecuación de movimiento del sistema equivaldrá a tener una expresión para el movimiento que sigue la cuerda.
Una vez hecho esto realizaremos un análisis de forma gráfica y analítica de dicha expresión.
Sea A un sistema de masa m sujeto a un resorte ideal que obedece la ley de Hooke. Si el sistema se encuentra inmerso en un medio resistente que ejerce una fuerza de amortiguamiento proporcional a la primera potencia de la velocidad y si además se ejerce sobre él una fuerza de la forma:
f(x)=f_{0}cos\left( w_{0}t\right)
entonces por segunda ley de Newton tenemos que:
-\propto\dot{x}-kx+f_{0}cos\left( w_{0}t\right)=m\ddot{x}
o bien como:
m\ddot{x}+\propto\dot{x}+kx=f_{0}cos\left( w_{0}t\right)
definiendo:
\beta\equiv\frac{\propto}{2m}, w\equiv\frac{k}{m}, F_{0}\equiv\frac{f_{0}}{m}
obtenemos la siguiente ecuación diferencial:
\ddot{x}+2\beta\dot{x}+wx=F_{0}cos\left( w_{0}t\right)
Ahora bien fijamos sobre el sistema una cuerda ideal de longitud l de manera que:
x = \psi
obtenemos:
\ddot{\psi}+2\beta\dot{\psi}+w_{0}\psi=F_{0}cos\left( w_{0}t\right)
Cuya solución es la suma de la ecuación:
\psi_{general}=\psi_{homogenea}+\psi_{particular}

\ddot{\psi}_{c}+2\beta\dot{\psi}_{c}+w_{0}\psi_{c}=F_{c}
\psi_{c}=\psi_{0}e^{iw_{0}t}
\dot{\psi_{c}}=i\psi_{0}we^{iw_{0}t}
\ddot{\psi_{c}}=-\psi_{0}w^{2}e^{iw_{0}t}
(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi_{0}e^{iw_{0}t} = F_{c}
(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi_{c}= F_{c}
\psi_{c} = \frac{F_{0}e^{iwt}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}
\psi_{c} \equiv \frac{F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}
\psi_{c}=\frac{F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}\frac{(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}=\frac{F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta^{2}w^{2}}
\psi_{c}=\frac{F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2})}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta^{2}w^{2}}-i\frac{F_{0}2\beta w}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta^{2}w^{2}}=\psi_{0}e^{i\propto}
\psi_{0}(w)=\frac{1}{\sqrt{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta^{2}w^{2}}}
\propto(w)=ArcTan(\frac{-2\beta w}{w_{0}^{2}-w^{2}})







La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativa en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra linealsobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional.
A continuación se introduce la formulación débil en general, se dan algunos ejemplos y se presenta el principal teorema de la formulación débil: el teorema de Lax-Milgram, que permite asegurar la existencia y unidad de una amplia clase de problemas en forma débil.- .....................................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Formulaci%C3%B3n_d%C3%A9bil_de_una_ecuaci%C3%B3n_diferencial&printable=yes


resolución numérica .- ...........................................:http://mate.dm.uba.ar/~rduran/slides/UMA2007.pdf


formulación variacional .- ...........................:http://matematicas.uis.edu.co/~integracion/Ediciones/vol28N2/V28N2-4Collantes.pdf
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