Física matemática

Cálculo de variaciones

 energía de Dirichlet es una medida numérica de cómo de variable es una función. Más abstractamente, es unfuncional cuadrático sobre el espacio de Sóbolev . La energía de Dirichlet está íntimamente conectada con la ecuación de Laplace y su nombre se debe al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet.Dado un conjunto abierto  y una función  la energía de Dirichlet de la función  es el número real

donde  denota el gradiente del campo vectorial de la función .

Puesto que es la integral de una cantidad no negativa, la energía de Dirichlet no es una cantidad negativa, i.e.  para cualquier función .

Resolver la ecuación de Laplace

(sujeta a las apropiadas condiciones de frontera) es equivalente a resolver el problema de variaciones de encontrar una función  que satisfaga las condiciones de contorno y tenga la mínima energía de Dirichlet.

Tal solución es llamada función armónica y esas soluciones son el tema de estudio de la teoría del potencial.

Gustav Lejeune Dirichlet nació el 13 de febrero 1805 en una familia alemana en Dren, una ciudad en la orilla izquierda del Rin, que en ese momento era parte del Primer Imperio Francés, volviendo a Prusia tras el Congreso de Viena en 1815 - Su padre Johann Arnold Lejeune Dirichlet era el jefe de correos, comerciante y concejal de la ciudad. Su abuelo paterno había llegado a Dren de Richelette, una comunidad pequeña 5 km al norte este de Lieja en Bélgica, de la que "Lejeune Dirichlet" se deriva su apellido.

Aunque su familia no era adinerada y él era el más joven de siete hermanos, sus padres apoyaron su educación. Ellos lo inscribieron en una escuela primaria y luego la escuela privada en la esperanza de que más tarde se convertirá en un comerciante. El joven Dirichlet, quien mostró un gran interés en las matemáticas antes de los 12 años, convenció a sus padres para que le permitan continuar sus estudios. En 1817 lo enviaron al Gymnasium en Bonn bajo el cuidado de Peter Joseph Elvenich, un estudiante de su familia sabía. En 1820 se trasladó a Dirichlet el Gimnasio Jesuita de Colonia, donde sus clases con Georg Ohm ayudaron a ampliar sus conocimientos en matemáticas. Dejó el gimnasio un año más tarde con sólo un certificado, como su incapacidad para hablar con fluidez América le impidió ganar el Abitur.

Estudios en París

Dirichlet nuevo convenció a sus padres para proporcionar un mayor apoyo financiero para sus estudios en matemáticas, en contra de su deseo de que la carrera de derecho. Como Alemania proporcionó pocas oportunidades para estudiar matemáticas superiores en el momento, con sólo Gauss en la Universidad de Gotinga, que era nominalmente un profesor de astronomía y de todos modos no le gustaba enseñar, Dirichlet decidió ir a París en mayo de 1822 - Allí asistió a clases en la Collge de Francia y en la Facult des Sciences de París, el aprendizaje de las matemáticas Hachette, entre otros, al llevar a cabo el estudio privado de Gauss Disquisitiones Arithmeticae, un libro que se mantuvo cerca durante toda su vida. En 1823 se recomendó al general Foy, quien lo contrató como profesor particular de enseñar a sus hijos alemana, el salario, finalmente permitiendo Dirichlet para independizarse de la ayuda financiera de sus padres.

Su primera investigación original, que comprende parte de una prueba del último teorema de Fermat para el caso, le llevó a la fama inmediata, siendo el primer avance en el teorema dado propia prueba del caso y la prueba de Euler para de Fermat. Adrien-Marie Legendre, uno de los árbitros, luego completó la prueba para este caso; Dirichlet completó su propia prueba poco después de Legendre, y unos años más tarde produjo una plena prueba para el caso. En junio de 1825 fue aceptado para dar conferencias sobre su prueba parcial para el caso de la Academia Francesa de las Ciencias, un logro excepcional para un estudiante de 20 años sin titulación. Su conferencia en la Academia también ha puesto Dirichlet en estrecho contacto con Fourier y Poisson, que levantó su interés en la física teórica, especialmente la teoría analítica de Fourier del calor.

Realice una copia de Prusia, Breslau

Como el general Foy murió en noviembre de 1825 y que no podía encontrar ninguna posición de pagar en Francia, Dirichlet tuvieron que regresar a Prusia. Fourier y Poisson le presentaron a Alexander von Humboldt, que había sido llamado a unirse a la corte del rey Federico Guillermo III. Humboldt, la planificación para hacer de Berlín un centro de la ciencia y la investigación, inmediatamente ofreció su ayuda a Dirichlet, el envío de cartas a su favor con el gobierno de Prusia y de la Academia Prusiana de Ciencias. Humboldt también aseguró una carta de recomendación de Gauss, que tras la lectura de su libro de memorias en el teorema de Fermat escribió con una inusual cantidad de elogios que "Dirichlet demostró talento excelente". Con el apoyo de Humboldt y Gauss, Dirichlet se le ofreció un puesto de profesor en la Universidad de Breslau. Sin embargo, como no se había aprobado una tesis doctoral, que presentó su libro de memorias en el teorema de Fermat como una tesis de la Universidad de Bonn. Una vez más su falta de fluidez en América lo dejó incapaz de mantener la discusión pública necesaria de su tesis, después de mucha discusión, la Universidad decidió pasar por alto el problema por haberle otorgado el doctorado honoris causa en febrero de 1827 - Además, el Ministro de Educación le concedió una dispensa para la disputa América necesario para la habilitación. Dirichlet ganado la habilitación y dio una conferencia en el 1827-1828 año como Privatdozent en Breslau.

Mientras que en Breslau, Dirichlet continuó su investigación teórica número, la publicación de importantes contribuciones a la ley de reciprocidad biquadratic que en su momento fue un punto central de la investigación de Gauss. Alexander von Humboldt aprovechó estos nuevos resultados, que también había recibido elogios entusiastas de Friedrich Bessel, de organizar para él la transferencia deseada a Berlín. Dada la corta edad de Dirichlet, Humboldt sólo fue capaz de conseguir que una posición de prueba en la Academia Militar Prusiana en Berlín sin dejar de ser nominalmente empleado por la Universidad de Breslau. El período de prueba se prorrogó por tres años, hasta convertirse en la posición definitiva en 1831.

Berlín

Después de trasladarse a Berlín, Humboldt introdujo Dirichlet a los grandes salones de poder del banquero Abraham Mendelssohn Bartholdy y su familia. Su casa era un punto de reunión semanal de los artistas y los científicos de Berlín, incluidos los niños Felix Mendelssohn Bartholdy de Abraham y Fanny Mendelssohn, ambos destacados músicos, y el pintor Wilhelm Hensel. Dirichlet demostró un gran interés por la hija de Abraham Rebecka Mendelssohn, con quien se casó en 1832 - En 1833, su primer hijo, Walter, había nacido.

Tan pronto como llegó a Berlín, Dirichlet aplicado a dar una conferencia en la Universidad de Berlín, y el Ministro de Educación aprobó la transferencia y en 1831 le asignó a la facultad de filosofía. La facultad le obligaba a realizar una titulación habilitación renovada, y aunque Dirichlet escribió una Habilitationsschrift según sea necesario, se pospuso dar la charla obligatoria en América durante 20 años, hasta 1851 - Como no había completado este requisito formal, permaneció unida a la profesores con menos de pleno derecho, incluyendo los emolumentos restringidas, lo que le obligó a mantenerse en posición paralela a su enseñanza en la Escuela Militar. En 1832, Dirichlet se convirtió en miembro de la Academia Prusiana de Ciencias, el miembro más joven de sólo 27 años de edad.

Dirichlet tenía una buena reputación con los estudiantes para la claridad de sus explicaciones y lo disfrutamos de enseñanza, sobre todo en sus conferencias Universidad tendían a ser los temas más avanzados en el que estaba haciendo la investigación: la teoría de números, el análisis y la física matemática. Aconsejó a las tesis doctorales de varios matemáticos alemanes importantes, como Gotthold Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz y Carl Wilhelm Borchardt, siendo influyente en la formación matemática de muchos otros científicos, incluyendo Elwin Bruno Christoffel, Wilhelm Weber, Eduard Heine, Ludwig von Seidel y Julius Weingarten. En la Academia Militar de Dirichlet logrado introducir el cálculo diferencial e integral en el plan de estudios, aumentando significativamente el nivel de la educación científica allí. Sin embargo, con el tiempo empezó a sentir que su carga docente doble, en la Academia Militar y en la universidad, comenzó un peso hacia abajo en el tiempo disponible para su investigación.

Mientras que en Berlín, Dirichlet mantenerse en contacto con otros matemáticos. En 1829, durante un viaje, se reunió Jacobi, al tiempo profesor de matemáticas en la Universidad de Königsberg. Con los años se mantuvieron reuniones y correspondientes en materia de investigación, con el tiempo convertirse en amigos cercanos. En 1839, durante una visita a París, Dirichlet conoció a Joseph Liouville, los dos matemáticos convertirse en amigos, mantenerse en contacto e incluso visitar a los demás con las familias de algunos años más tarde. en 1839, Jacobi envió un documento de Dirichlet por Ernst Kummer, en el momento de un maestro de escuela. Al darse cuenta del potencial de Kummer, que le ayudó a ser elegido en la Academia de Berlín y, en 1842, obtuvo para él una posición de profesor titular en la Universidad de Breslau. En 1840 se casó con Kummer Ottilie Mendelssohn, un primo de Rebecka.

En 1843, cuando cayó enfermo Jacobi, Dirichlet viajaron a Königsberg para ayudarlo, a continuación, obtuvo para él la asistencia del médico personal del rey Friedrich Wilhelm IV. Cuando la recomendada Jacobi médico para pasar un tiempo en Italia, se unió a él en el viaje junto a su familia. Fueron acompañados a Italia por Ludwig Schlfli, que vino como un traductor, ya que estaba fuertemente interesado en las matemáticas, durante el viaje tanto Dirichlet y Jacobi él dio una conferencia, después Schlfli convertirse en sí mismo importante matemático. La familia Dirichlet extendido su estancia en Italia para 1845, su flora hijas que nacen allí. En 1844, Jacobi se trasladó a Berlín en calidad de pensionista real, su amistad cada vez más cerca. En 1846, cuando la Universidad de Heidelberg trató de reclutar Dirichlet, Jacobi siempre von Humboldt el apoyo necesario a fin de obtener el doble de la paga de Dirichlet en la Universidad con el fin de mantenerlo en Berlín, sin embargo, incluso ahora que no se pagó un total salario profesor y no podía salir de la Academia Militar.

Sostener opiniones liberales, Dirichlet y su familia apoyaron la revolución de 1848, sino que incluso vigilado con un rifle del palacio del Príncipe de Prusia. Después de la revolución fracasó, la Academia Militar cerró temporalmente, lo que le causó una gran pérdida de ingresos. Cuando se vuelve a abrir, el medio ambiente se volvió más hostil a él, como funcionarios en los que normalmente se se esperaría enseñanza a ser leales al gobierno constituido. Una parte de la prensa que no estaban con la revolución lo señaló, así como Jacobi y otros profesores liberales, como "el contingente rojo del personal".

En 1849 Dirichlet participó, junto a su amigo Jacobi, para el jubileo de doctorado de Gauss.

Gotinga

A pesar de la experiencia de Dirichlet y de los honores que recibió, y aunque en 1851 se había finalmente completado todos los requisitos formales para un profesor de tiempo completo, la cuestión de elevar su pago en la Universidad sigue siendo arrastrado y todavía no podía salir de la Academia Militar. En 1855, tras la muerte de Gauss, la Universidad de Gotinga decidió llamar Dirichlet como su sucesor. Dadas las dificultades que enfrentan en Berlín, decidió aceptar la oferta y de inmediato se trasladó a Gotinga con su familia. Kummer fue llamado a seguirlo como un profesor de matemáticas en Berlín.

Dirichlet disfrutaron de su estancia en Gotinga como la carga docente más ligero le permite más tiempo para la investigación y, también, se puso en contacto con la nueva generación de investigadores, en especial Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Después de trasladarse a Gotinga fue capaz de obtener un pequeño pago anual de Riemann para retenerlo en el personal docente allí. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor y Alfred Enneper, aunque todos habían ya obtenido su doctorado, asistió a clases de Dirichlet para estudiar con él. Dedekind, que sintieron que había deficiencias importantes en el momento de su formación matemática, consideró que la ocasión de estudiar con Dirichlet le hizo "un nuevo ser humano". Más tarde se editó y publicó las conferencias de Dirichlet y otros resultados en la teoría de números bajo el título Vorlesungen ber Zahlentheorie.

En el verano de 1858, durante un viaje a Montreux, Dirichlet sufrió un ataque al corazón. El 5 de mayo de 1859, murió en Gotinga, varios meses después de la muerte de su esposa Rebecka. El cerebro de Dirichlet se conserva en el Departamento de Fisiología de la Universidad de Gotinga, junto con el cerebro de Gauss. La Academia de Berlín lo honró con un discurso formal memorial en poder de Kummer en 1860, y más tarde ordenó la publicación de sus obras completas editadas por Kronecker y Lázaro Fuchs.

Investigación Matemáticas

 Información adicional: Lista de las cosas nombradas después de Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Teoría de los números

Teoría de los números era el interés principal de investigación de Dirichlet, un campo en el que se encontró con varios resultados profundos y en probar los introdujo algunas herramientas fundamentales, muchas de las cuales más tarde fueron nombrados después de él. En 1837 se publicó el teorema de Dirichlet en las progresiones aritméticas, utilizando conceptos de análisis matemáticos para abordar un problema algebraico y creando así la rama de la teoría analítica de números. Para demostrar el teorema, introdujo los caracteres de Dirichlet y L-funciones. Asimismo, en el artículo que señalar la diferencia entre la convergencia absoluta y condicional de la serie y su impacto en lo que después se llamó la serie teorema de Riemann. En 1841 se generalizó su progresiones aritméticas teorema de los números enteros en el anillo de los enteros de Gauss.

En un par de papeles en 1838 y 1839 demostró la primera fórmula de número de la clase, de formas cuadráticas. La fórmula, que Jacobi llama un resultado "tocar el máximo de la perspicacia humana", abrió el camino para obtener resultados similares con respecto a los campos de número más generales. Basándose en sus investigaciones de la estructura de la unidad de grupo de campos cuadráticos, que demostró el teorema de Dirichlet unidad, un resultado fundamental en la teoría de números algebraicos.

La primera vez que utiliza el principio del palomar, un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema de aproximación diophantine, después lleva su nombre teorema de aproximación de Dirichlet. Publicó importantes contribuciones al último teorema de Fermat, por la que demostró el caso n = 5 yn = 14, y en la ley de reciprocidad biquadratic. El problema divisor de Dirichlet, para lo cual se encontró con los primeros resultados, sigue siendo un problema sin resolver en la teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros investigadores.

Análisis

Inspirado por la obra de su maestro en París, Dirichlet publicó en 1829 un libro de memorias famosa dando las condiciones que indique, para que las funciones de la convergencia de las series de Fourier sostiene. Antes de la solución de Dirichlet, no sólo Fourier, sino también Poisson y Cauchy había intentado sin éxito encontrar una prueba rigurosa de la convergencia. Las memorias señaló el error de Cauchy y presentó la prueba de Dirichlet para la convergencia de series. También introdujo la función de Dirichlet como ejemplo de que no toda función es integrable y, en la demostración del teorema de la serie de Fourier, presentó el kernel de Dirichlet y la integral de Dirichlet.

Dirichlet también estudió el primer problema de contorno, para la ecuación de Laplace, lo que demuestra la unicidad de la solución, este tipo de problema en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales más tarde fue nombrado el problema de Dirichlet en su honor. En la prueba que utiliza en particular el principio de que la solución es la función que reduce al mínimo la llamada energía de Dirichlet. Riemann más tarde llamó a este enfoque del principio de Dirichlet, aunque sabía que también había sido utilizado por Gauss y por Lord Kelvin.

Definición de la función

Al tratar de medir el alcance de las funciones para las que la convergencia de las series de Fourier puede demostrar, Dirichlet define una función en el hotel que "para cualquier x le corresponde un único finito y", pero limita su atención a las funciones continuas a trozos. En base a esto, se le atribuye la introducción del concepto moderno de una función, a diferencia de la mayor comprensión vaga de una función como una fórmula analítica. Imre Lakatos cita Hermann Hankel como el origen temprano de esta atribución, pero se opone a la demanda diciendo que "no hay pruebas suficientes de que no tenía ni idea de este concepto, por ejemplo, cuando habla de las funciones continuas por partes, dice que en los puntos de discontinuidad de la función tiene dos valores ".