sábado, 6 de junio de 2015

Física matemática

CÁLCULO DEL ESCALAR DE CURVATURA

Dada la trimétrica $ds^2=e^{-U+V}dx^2+e^{-U-V}dy^2+e^{-M}d\mu ^2,$ se procede a obtener los símbolos de Christoffel, dados por la siguiente ecuación
\begin{displaymath} \Gamma _{ij}^k=\frac 12g^{ks}\left( g_{js,i}+g_{si,j}-g_{ij,s}\right) \end{displaymath}(A.1)

De los 27 $\Gamma _{ij}^k$, aquellos que son diferentes de cero son
$\displaystyle \Gamma _{13}^1$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 12U^{\prime }+\frac 12V^{\prime }$ 
$\displaystyle \Gamma _{31}^1$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 12U^{\prime }+\frac 12V^{\prime }$ 
$\displaystyle \Gamma _{23}^2$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 12U^{\prime }-\frac 12V^{\prime }$ 
$\displaystyle \Gamma _{32}^2$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 12U^{\prime }-\frac 12V^{\prime }$(A.2)
$\displaystyle \Gamma _{11}^3$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 12\left( U^{\prime }-V^{\prime }\right) e^{M-U+V}$ 
$\displaystyle \Gamma _{22}^3$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 12\left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) e^{M-U-V}$ 
$\displaystyle \Gamma _{33}^3$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 12M^{\prime }$ 
    
    


Con lo anterior se puede encontrar el tensor de Riemann mediante la expresión
\begin{displaymath} R_{\beta \gamma \delta }^\alpha =\Gamma _{\beta \delta ,\ga... ...mu -\Gamma _{\mu \delta }^\alpha \Gamma _{\beta \gamma }^\mu \end{displaymath}(A.3)

Las componentes diferentes de cero son las siguientes
$\displaystyle R_{212}^1$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 14\left( -U^{\prime }+V^{\prime }\right) \left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) e^{M-U-V}$ 
$\displaystyle R_{221}^1$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 14\left( -U^{\prime }+V^{\prime }\right) \left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) e^{M-U-V}$ 
$\displaystyle R_{313}^1$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 12U^{\prime \prime }-\frac 12V^{\prime \prime }-\frac 14(U^... ...14(V^{\prime })^2+\frac 14M^{\prime }U^{\prime }-\frac 14M^{\prime }V^{\prime }$ 
$\displaystyle R_{331}^1$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 12U^{\prime \prime }+\frac 12V^{\prime \prime }+\frac 14(U... ...14(V^{\prime })^2-\frac 14M^{\prime }U^{\prime }+\frac 14M^{\prime }V^{\prime }$ 
$\displaystyle R_{112}^2$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 14\left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) \left( U^{\prime }-V^{\prime }\right) e^{M-U+V}$ 
$\displaystyle R_{121}^2$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 14\left( U^{\prime }+V^{\prime }\right) \left( U^{\prime }-V^{\prime }\right) e^{M-U+V}$ 
$\displaystyle R_{323}^2$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 12U^{\prime \prime }+\frac 12V^{\prime \prime }-\frac 14(U^... ...14(V^{\prime })^2+\frac 14U^{\prime }M^{\prime }+\frac 14V^{\prime }M^{\prime }$(A.4)
$\displaystyle R_{332}^2$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 12U^{\prime \prime }-\frac 12V^{\prime \prime }+\frac 14(U... ...14(V^{\prime })^2-\frac 14U^{\prime }M^{\prime }-\frac 14V^{\prime }M^{\prime }$ 
$\displaystyle R_{113}^3$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 14e^{M-U+V}\left( -U^{\prime }M^{\prime }+V^{\prime }M^{\pr... ...{\prime \prime }+(U^{\prime })^2-2U^{\prime }V^{\prime }+(V^{\prime })^2\right)$ 
$\displaystyle R_{131}^3$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 14e^{M-U+V}\left( -U^{\prime }M^{\prime }+V^{\prime }M^{\p... ...{\prime \prime }+(U^{\prime })^2-2U^{\prime }V^{\prime }+(V^{\prime })^2\right)$ 
$\displaystyle R_{223}^3$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 14e^{M-U-V}\left( -U^{\prime }M^{\prime }-V^{\prime }M^{\pr... ...{\prime \prime }+(U^{\prime })^2+2U^{\prime }V^{\prime }+(V^{\prime })^2\right)$ 
$\displaystyle R_{232}^3$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 14e^{M-U-V}\left( -U^{\prime }M^{\prime }-V^{\prime }M^{\p... ...{\prime \prime }+(U^{\prime })^2+2U^{\prime }V^{\prime }+(V^{\prime })^2\right)$ 


Con lo anterior se calcula el tensor de Ricci, que se encuentra contrayendo el tensor de Riemann, esto es
\begin{displaymath} R_{\mu \nu }=R_{\mu \alpha \nu }^\alpha \end{displaymath}(A.5)

esta ecuación da el siguiente resultado
$\displaystyle R_{11}$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 14e^{M-U+V}\left( -2(U^{\prime })^2+2U^{\prime \prime }-2V^... ... }+2U^{\prime }V^{\prime }+U^{\prime }M^{\prime }-V^{\prime }M^{\prime }\right)$ 
$\displaystyle R_{22}$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 14e^{M-U-V}\left( -2(U^{\prime })^2+2U^{\prime \prime }+2V^... ... }-2U^{\prime }V^{\prime }+U^{\prime }M^{\prime }+V^{\prime }M^{\prime }\right)$(A.6)
$\displaystyle R_{33}$$\textstyle =$$\displaystyle U^{\prime \prime }-\frac 12(U^{\prime })^2-\frac 12(V^{\prime })^2+\frac 12U^{\prime }M^{\prime }$ 


Finalmente, el escalar de curvatura está dado por
$\displaystyle R$$\textstyle =$$\displaystyle g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ 
$\displaystyle R$$\textstyle =$$\displaystyle \frac 12e^M\left( -3(U^{\prime })^2+4U^{\prime \prime }+2U^{\prime }M^{\prime }-(V^{\prime })^2\right)$
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