Ecuaciones de Einstein

Antes de hallar las ecuaciones de movimiento para los campos con el método variacional, es conveniente saber qué es lo que resulta al hacer los cálculos con la ecuación de campo de Einstein. A continuación se presentan las ecuaciones de campo para las variables del sistema

$\rho ,$

calculadas directamente de las ecuaciones de Einstein $G_{\nu }^{\mu }=8\pi G\,T_{\nu}^{\mu }.$ ^4.1

$\displaystyle G_0^0$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{e^M}4\left( 2\dot{M}\dot{U}+2M^{\prime }U^{\prime }+(\dot{U}%% )^2+4U^{\prime \prime }-3(U^{\prime })^2-(\dot{V})^2-(V^{\prime })^2\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle 8\pi G\,\rho \left( (\epsilon +1)u^0u_0+\epsilon \right) =8\pi G\,T_0^0$	(4.33)
$\displaystyle G_1^1$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{e^M}4\left( -2\ddot{M}+2M^{\prime \prime }-2\ddot{U}+(\dot{... ...V}+2U^{\prime \prime }-(U^{\prime })^2-2U^{\prime }V^{\prime }-2\ddot{V}\right.$
		$\displaystyle \left. +(\dot{V})^2+2V^{\prime \prime }-(V^{\prime })^2\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle 8\pi G\,\epsilon \rho =8\pi G\,T_1^1$	(4.34)
$\displaystyle G_2^2$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{e^M}4\left( -2\ddot{M}+2M^{\prime \prime }-2\ddot{U}+(\dot{... ...V}+2U^{\prime \prime }-(U^{\prime })^2+2U^{\prime }V^{\prime }+2\ddot{V}\right.$
		$\displaystyle \left. +(\dot{V})^2-2V^{\prime \prime }-(V^{\prime })^2\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle 8\pi G\,\epsilon \rho =8\pi G\,T_2^2$	(4.35)
$\displaystyle G_3^3$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{e^M}4\left( -2\dot{M}\dot{U}-2M^{\prime }U^{\prime }+3(\dot{U}%% )^2-4\ddot{U}-(U^{\prime })^2+(\dot{V})^2+(V^{\prime })^2\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle 8\pi G\,\rho \left( (\epsilon +1)u^3u_3+\epsilon \right) =8\pi G\,T_3^3$	(4.36)
$\displaystyle G_3^0$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{e^M}2\left( -\dot{M}U^{\prime }-M^{\prime }\dot{U}-2\dot{U}%% ^{\prime }+\dot{U}U^{\prime }+\dot{V}V^{\prime }\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle -8\pi G\,u^0u_3(\epsilon +1)\rho =8\pi G\,T_3^0$	(4.37)

En lo que sigue se estará usando unidades geometrizadas para la velocidad de la luz y constante de Newton de la gravitación, es decir se elige

, con lo cual se deberá tener cuidado al querer evaluar una variable para obtener un resultado númerico.

Ecuaciones de movimiento

Cuando se requiere obtener la información sobre que tipo de variables están involucradas en un problema de lagrangianos, se necesita obtener esa información directamente del problema mismo. Siendo esto así, se puede ver que las variables independientes para este problema en particular son

$\pi _{M},$ $\pi _{U},$ $\pi _{V},$ $\tilde{\rho}$ y $%% u_{3};$ ya que al ser consideradas como tales, se debe hacer la variación de la densidad lagrangina sobre estas variables, las cuales deben conducir a combinaciones de las ecuaciones de Einstein obtenidas anteriormente. Del análisis de la densidad lagrangiana, se observa que se trata con un objeto del tipo

$\begin{displaymath} \mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{total}\left( \eta ;\chi ;\dot{\chi};\chi _{,k};\chi _{,k,k}\right) \end{displaymath}$

(4.38)

donde $\chi =(U,V,M,\pi _M,\pi _U,\pi _V)$ , representa a todas las variables sobre las cuales se variará la densidad lagrangiana. Se puede observar que $\mathcal{L}_{total}$ depende de las segundas derivadas de las coordenadas, por lo tanto la ecuación de Euler-Lagrange para sistemas continuos esta expresada por la siguiente relación [12] [13]

$\begin{displaymath} \frac d{d\eta }\frac{\partial \mathcal{L}_{total}}{\partial... ...ht) }-\frac{\partial \mathcal{L}_{total}}{\partial \chi }=0 \end{displaymath}$

(4.39)

De este modo, al realizar las variaciones correspondientes a cada variable se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales parciales.

Variación de :

$\begin{displaymath} \dot{\pi}_M+e^{-U}\left( U^{\prime \prime }-(U^{\prime })^2\right) -8\pi \rho e^{-U-M}(\epsilon -1)=0 \end{displaymath}$ (4.40)
Variación de :

$\begin{displaymath} \dot{\pi}_V+e^{-U}\left( U^{\prime }V^{\prime }-V^{\prime \prime }\right) =0 \end{displaymath}$ (4.41)
Variación de :

$\begin{displaymath} \dot{\pi}_U+e^{-U}\left( -3U^{\prime \prime }+M^{\prime \pr... ...t( \pi _U\pi _M-\frac 12\pi _M^2-\frac 12\pi _V^2\right) =0 \end{displaymath}$ (4.42)
Variación de $\pi _M$ :

$\begin{displaymath} \dot{M}+e^U(\pi _U-\pi _M)=0 \end{displaymath}$ (4.43)
Variación de $\pi _V$ :

$\begin{displaymath} \dot{V}-e^U\pi _V=0 \end{displaymath}$ (4.44)
Variación de $\pi _U$ :

$\begin{displaymath} \dot{U}+e^U\pi _M=0 \end{displaymath}$ (4.45)

Conbinando las ecs. 4.40 y 4.45 se llega a la expresión

$\begin{displaymath} e^{U+M}\left( \frac{\partial ^{2}e^{-U}}{\partial \eta ^{2}... ...}e^{-U}}{\partial \mu ^{2}}\right) =8\pi G\rho (\epsilon -1) \end{displaymath}$

(4.46)

Esta ecuación también puede obtenerse al sumarse las ecs. 4.33 y 4.36 las cuales se obtienen directamente de las ecuaciones de Einstein. Sustituyendo las ecs. 4.43, 4.44 y 4.45 en la ecuación de constricción $H_{3}=0$ dada por

$\begin{displaymath} 2\pi _{M}^{\prime }+\pi _{M}M^{\prime }+\pi _{U}\,U^{\prime... ...i _{V}\,V^{\prime }+16\pi \tilde{\rho}(\epsilon +1)u_{3}=0 \end{displaymath}$

(4.47)

se obtiene que

$\begin{displaymath} e^{M}\left( -\dot{M}U^{\prime }-M^{\prime }\dot{U}-2\dot{U}... ...V}V^{\prime }\right) =-16\pi G\,u^{0}u_{3}(\epsilon +1)\rho \end{displaymath}$

(4.48)

este resultado no es otra cosa más que la ecuación de Einstein 4.37. Combinando las ecuaciones 4.41 y 4.44 se llega a la expresión

$\begin{displaymath} e^{-U}\left( -\dot{U}\dot{V}+\ddot{V}+U^{\prime }V^{\prime }-V^{\prime \prime }\right) =0 \end{displaymath}$

(4.49)

tal ecuación se puede obtener al restar de la ec. 4.35 la ec. 4.34, las cuales fueron obtenidas directamente de la ecuación de campo de Einstein.

Buscando la solución general del problema

La ec. 4.46 tiene la forma de una ecuación onda con fuente. El problema es que la variable independiente aparece en el lado derecho de la ecuación, lo cual hace que no se le pueda encontrar una solución exacta. Lo mismo se puede decir de la ec. 4.48, la cual es una ecuación en derivadas parciales, no homogenea y no lineal. La ec. 4.49 se puede escribir la forma

$\begin{displaymath} \frac{\partial }{\partial \eta }\left( e^{-U}\dot{V}\right)... ...ac{\partial }{\partial \mu }\left( e^{-U}V^{\prime }\right) \end{displaymath}$

(4.50)

esta ecuación manifiesta que las derivadas parciales de las expresiones entre paréntesis deben ser iguales. Esta condición se satisface si tales cantidades tiene la forma

$\displaystyle e^{-U}\dot{V}$	$\textstyle =$	$\displaystyle A_{0}f\left( \eta \pm \mu \right)$
$\displaystyle e^{-U}V^{\prime }$	$\textstyle =$	$\displaystyle A_{1}g\left( \eta \pm \mu \right)$	(4.51)

donde

son funciones arbitraria cuyo argumento debe ser de la forma $\eta \pm \mu$ , y $A_{0}$ y $A_{1}$ son constantes de integración. Conociendo la función

se podría resolver las ecuaciones anteriores para encontrar

Del tensor de energía-momentum se obtienen dos ecuaciones más. Estas provienen de la propiedad $T_{;\nu }^{\mu \nu }=0.$ La ec. 4.17 da el tensor de energía-momentum para un fluido perfecto. Al tomar la derivada covariante e igualarla a cero se obtienen las siguientes expresiones

		$\displaystyle e^{2M}\rho \left( \dot{M}\epsilon u_0^2-\dot{M}\epsilon u_3^2+\do... ...epsilon u_0^2-2\dot{U}u_0+2U^{\prime }\epsilon u_0u_3+2U^{\prime }u_0u_3\right.$
		$\displaystyle \left. +4\dot{u}_0\epsilon u_0+4\dot{u}_0u_0-2u_0^{\prime }\epsil... ...e }u_0\right) +2e^M\left( e^M\dot{\rho}\epsilon u_0^2+e^M\dot{\rho}u_0^2\right.$
		$\displaystyle \left. -\dot{\rho}\epsilon -e^M\rho ^{\prime }\epsilon u_0u_3-e^M\rho ^{\prime }u_0u_3\right) =0$	(4.52)
		$\displaystyle e^{2M}\rho \left( -M^{\prime }\epsilon u_0^2+M^{\prime }\epsilon ... ...^2+2\dot{U}\epsilon u_0u_3+2\dot{U}%% u_0u_3-2U^{\prime }\epsilon u_3^2\right.$
		$\displaystyle \left. -2U^{\prime }u_3^2-2\dot{u}_0\epsilon u_3-2\dot{u}_0u_3-2\... ...n u_3+4u_3^{\prime }u_3\right) +2e^M\left( -e^M\dot{\rho}\epsilon u_0u_3\right.$
		$\displaystyle \left. -e^M\dot{\rho}\epsilon u_0u_3-e^M\dot{\rho}u_0u_3+e^M\rho ... ...rime }\epsilon u_3^2+e^M\rho ^{\prime }u_3^2+\rho ^{\prime }\epsilon \right) =0$	(4.53)

De la condición planteada por la ec. 4.18 se obtiene que

$\displaystyle u_0u^0+u_3u^3$	$\textstyle =$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle u_0^2g^{00}+u_3^2g^{33}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle e^M\left( u_3^2-u_0^2\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle -1$	(4.54)

en base a la expresión anterior se propone que

$\displaystyle u_0$	$\textstyle =$	$\displaystyle e^{-M/2}\cosh \omega$
$\displaystyle u_3$	$\textstyle =$	$\displaystyle e^{-M/2}\sinh \omega$	(4.55)

donde $\omega$ es una nueva variable desconocida. Sustituyendo estas expresiones para

en la ec. 4.54 se tiene lo siguiente

$\begin{displaymath} \sinh ^2\omega -\cosh ^2\omega =-1 \end{displaymath}$

(4.56)

esta es una identidad que se cumple para cualquier valor real del parámetro $\omega$ . Estas ecuaciones aportan información acerca del comportamiento de los campos . Sin embargo su forma es muy compleja para poder extraer la información de ellas. Debido a esto y a la dificultad de encontrar una solución a las ecuaciones presentadas anteriormente se tratará con un problema más sencillo que el original, esto se detalla en la siguiente sección.

Solución para un caso especial

Al elegir un sistema de coordenadas co-movil, se tiene que $\omega =0$ , con lo cual, las componentes de la cuadri-velocidad son $u_0=e^{-M/2}$ y

es decir que la velocidad del fluido de materia será $u_{\nu %% }=\left( e^{-M/2},0,0,0\right) .$ Con esta simplificación, las ecs. 4.52 y 4.53 se reducen a

$\displaystyle \left( \epsilon +1\right) \left( \dot{M}+2\dot{U}\right) \rho -2\dot{\rho}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(4.57)
$\displaystyle M^{\prime }\left( \epsilon +1\right) \rho -2\epsilon \rho ^{\prime }$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(4.58)

Al resolver estas ecuaciones y despejar la densidad $\rho$ se encuentra que las soluciones son

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \rho =C\,e^{\frac{1}{2}\left( \epsilon ... ...rac{1}{2\epsilon }\left( \epsilon +1\right) M} \end{array} \end{displaymath}$

(4.59)

respectivamente, donde

es una constante arbitraria. Debido que las dos soluciones para $\rho$ deben ser equivalentes, al igualarlas se tiene que

$\displaystyle \frac{1}{2}\left( \epsilon +1\right) \left( M+2U\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{%% 2\epsilon }\left( \epsilon +1\right) M$
$\displaystyle U$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2\epsilon }M\left( 1-\epsilon \right)$	(4.60)

Esta ecuación expresa que el campo

depende en forma lineal del campo

Tomando los resultados de las ecs. 4.59 y 4.60 para luego sustituirlos en la ec. 4.46 se llega a que

$\displaystyle e^{\frac M{2\epsilon }\left( 1-\epsilon \right) +M}\left( \frac{\... ...al ^2e^{-U}}{\partial \eta ^2}-\frac{\partial ^2e^{-U}}{\partial \mu ^2}\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle 8\pi Ge^{\frac M{2\epsilon }\left( \epsilon +1\right) }\left( \epsilon -1\right)$
$\displaystyle \frac{\partial ^2e^{-U}}{\partial \eta ^2}-\frac{\partial ^2e^{-U}}{\partial \mu ^2}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 8\pi G\left( \epsilon -1\right)$	(4.61)

esta es una ecuación de onda no homogénea la cual acepta una solución exacta de la forma

$\begin{displaymath} e^{-U}=2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^2-\mu ^... ...t( \mu +\eta \right) +\allowbreak F_2\left( \mu -\eta \right) \end{displaymath}$

(4.62)

donde

son funciones arbitrarias en sus argumentos. De la ecuación anterior se obtiene la solución para la función

se expresa como

$\begin{displaymath} U=-\ln \left[ 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^... ...\eta \right) +\allowbreak F_2\left( \mu -\eta \right) \right] \end{displaymath}$

(4.63)

con lo cual, de las ec. 4.60 y la anterior se encuentra que la solución para la función

tiene la siguiente forma

$\begin{displaymath} M=\frac{2\epsilon }{\epsilon -1}\ln \left[ 2\pi G\left( \ep... ...eta \right) +\allowbreak F_2\left( \mu -\eta \right) \right] \end{displaymath}$

(4.64)

La solución para para la función

depende de la forma que tengan las funciones arbitrarias

Las condiciones de frontera se podrían escoger de tal manera que

sean funciones sencillas y con esto poder integrar las ecs. 4.51. Si se asume que la primera de las ecs. 4.51 no tiene una dependencia explícita de $\eta$ y la segunda no depende explícitamente de $\mu ,$ la ec. 4.49 queda satisfecha. Esto significa que ambas derivadas parciales son cero. En base a esto se puede proponer que $\dot{V}e^{-U}=2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( -2\mu \right)$ , expresión en la cual no aparece la variable $\eta .$ Esto se puede reescribir de la siguiente manera

$\displaystyle \dot{V}e^{-U}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left[ \left( \eta -\mu \right) -\left( \eta +\mu \right) \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \left( \frac 1{\eta +\mu }-\frac 1{\eta -\mu }\right) \left[ 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^2-\mu ^2\right) \right]$	(4.65)

La expresión que aparece entre corchetes es claramente $e^{-U},$ cuando se elige a las funciones arbitrarias

. Por lo tanto, el factor restante es $\dot{V}.$ Al integrar respecto de $\eta$ se encuentra que

$\begin{displaymath} V=\allowbreak \ln \left( \frac{\eta +\mu }{\eta -\mu }\right) +C \end{displaymath}$

(4.66)

donde

es una constante de integración. El mismo resultado se obtiene al considerar que $V^{\prime }e^{-U}=2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( 2\eta \right)$ . Se tiene entonces que la solución para este caso especial es

$\displaystyle M$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{2\epsilon }{\epsilon -1}\ln 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^2-\mu ^2\right)$
$\displaystyle U$	$\textstyle =$	$\displaystyle -\ln 2\pi G\left( \epsilon -1\right) \left( \eta ^2-\mu ^2\right)$	(4.67)
$\displaystyle V$	$\textstyle =$	$\displaystyle \ln \left( \frac{\eta +\mu }{\eta -\mu }\right) +C$

En las siguientes gráficas se muestra el comportamiento de las componentes de la métrica. La figura 1 resulta de elegir las funciones arbitrarias como $F_1\left( \eta ,\mu \right) =A\sin \left( \eta +\mu \right)$ y $F_2\left( \eta ,\mu \right) =A\sin \left( \eta -\mu \right) ,$ tomando una amplitud

Así mismo, el valor de la constante $%% \epsilon$ ha sido tomado como $\frac 13.$ En modelos cosmológicos isotrópicos, esto representa un universo dominado por radiación. Las figuras 2, 3, 4 y 5 corresponden al caso particular en que