Leyes de conservación

El teorema de Noether es un resultado central en física teórica. Expresa que cualquier simetría diferenciable, proveniente de un sistema físico, tiene su correspondiente ley de conservación. El teorema se denomina así por la matemática Emmy Noether, quien lo formuló. Además de permitir aplicaciones físicas prácticas, este teorema constituye una explicación de por qué existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian a lo largo de la evolución temporal de un sistema físico.- ..................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=12ea6407ada89ec3c3d0d03b71f91e34c0d1f5fb&writer=rdf2latex&return_to=Teorema+de+Noether

TEOREMA DE NOETHER

Introducción

En el contexto de la teoría de campos, e influenciada por su formación matemática en teoría de invariantes, Emmy Noether (1882-1935), propuso en 1918 el que probablemente es uno de los teoremas más bellos de la física-matemática. Viene a ser en el contexto continuo el análogo a las comentadas coordenadas cíclicas y cantidades conservadas en Mecánica.

Para el desarrollo de este teorema utilizaremos un principio que veremos en muchas ocasiones a lo largo de estos apuntes, consistente en suponer ciertas condiciones generales que deben cumplir las leyes físicas. Este principio, llamado de covariancia o invarianza de forma, afirma que las leyes de la naturaleza deben tener la misma forma en todos los sistemas de referencia equivalentes. Esta es la formulación más general del principio y en cada teoría el experimento nos dará el conjunto de sistemas de referencia que en efecto son equivalentes, que en general estarán relacionados unos con otros por las transformaciones debidas a las simetrías del sistema.

Teorema

Teorema (Noether). A toda transformación continua de las coordenadas o/y los campos que deje invariante la acción en un volumen cuadridimensional le corresponde una corriente conservada j^μ en la evolución que cumple D_μj^μ=0.

Dem: Si consideramos el conjunto de transformaciones de punto y de campo:

en donde ponemos subíndice o a la variación del campo en un punto particular. Inducida se tiene la variación correspondiente de la lagrangiana:

Si suponemos la covarianza del lagrangiano, éste presentará la misma forma funcional para las cantidades transformadas que para las cantidades originales, es decir:

Otra de las suposiciones del teorema es la invarianza de escala, es decir, que la magnitud de la integral de acción sea invariante ante la transformación:

estas dos últimas condiciones reflejan las propiedades de simetría para coordenadas cíclicas ya vistas con anterioridad.

Combinando las dos últimas ecuaciones se tiene:

o bien, como la x' será muda:

que, haciendo simbólicamente Ω'=Ω+δx , se puede poner como:

que en primer orden se convierte en:

Por las ecuaciones de transformación podemos poner en primer orden:

como el subíndice o representa un cambio en un punto fijo va a conmutar con la derivación espacial, y tenemos:

o utilizando las ecuaciones de campo de Lagrange:

con lo que la condición de invariancia queda:

que tiene la forma de una ecuación de corriente conservada. Si definimos:

Con lo que el teorema de Noether se expresa en primer orden como:

o bien aplicando el teorema de Gauss, para campos que satisfagan las ecuaciones de Euler-Lagrange, la variación general de la integral de acción en primer orden se reduce a una integral de superficie:

o bien directamente en su forma diferencial, la llamada ley de conservación:

Hay que hacer notar que la corriente j^μ no está unívocamente definida ya que es posible sumarle una corriente C^μ(x) conservativa trivial de forma que D_μ C^μ(x)=0.

Estas relaciones generales puramente matemáticas nos permitirán en lo que sigue obtener resultados físicos de gran interés.

Teorema de Noether

Es un resultado central en física teórica. Expresa que cualquier simetría diferenciable, proveniente de un sistema físico, tiene su correspondiente ley de conservación El teorema se denomina así por la matemática Emmy Noether, quien lo formuló. Además de permitir aplicaciones físicas prácticas, este teorema constituye una explicación de por qué existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian a lo largo de la evolución temporal de un sistema físico.

El teorema de Noether relaciona pares de ideas básicas de la física: una es la invariancia de la forma que una ley física toma con respecto a cualquier transformación (generalizada) que preserve el sistema de coordenadas (aspectos espaciales y temporales tomados en consideración), y la otra es la ley de conservación de una magnitud física.

Informalmente, el teorema de Noether se puede establecer como: A cada simetría (continua) le corresponde una ley de conservación y viceversa. El enunciado formal del teorema deriva una expresión para la magnitud física que se conserva (y, por lo tanto, también la define) de la condición de invariancia solamente. Por ejemplo:

la invariancia con respecto a la (dirección del eje de) rotación da la ley de conservación del momento angular.
la invariancia de sistemas físicos con respecto a la traslación (dicho simplemente, las leyes de la física no varían con la localización en el espacio) da la ley de conservación del momento lineal.
la invariancia con respecto a (la traslación en) el tiempo da la ley de conservación de la energía.

Al subir a la teoría cuántica de campos, la invariancia con respecto a la transformación general de gauge da la ley de la conservación de la carga eléctrica, etc. Así, el resultado es una contribución muy importante a la física en general, pues ayuda a proporcionar intuiciones de gran alcance en cualquier teoría general en física, con sólo analizar las diversas transformaciones que harían invariantes la forma de las leyes implicadas.

Rotaciones y momento angular

Cuando el lagrangiano de un sistema físico presenta simetría rotacional, es decir, existe un grupo de transformaciones isomorfo a un subgrupo unidimensional del grupo de rotaciones o grupo especial ortogonal entonces existe una magnitud física conservada llamada momento angular que tiene un valor constante a lo largo de la evolución temporal. Es decir, dicha magnitud no cambia de valor a medida que el sistema evoluciona, razón por la cual dicha magnitud se llama constante del movimiento o magnitud conservada.

Traslaciones y momento lineal

Análogamente si el lagrangiano de un sistema físico es invariante bajo cierto grupo uniparamétrico de traslaciones entonces existe una componente del momento lineal paralela a dichas traslaciones que no varía con el tiempo, a medida que el sistema evoluciona. Es decir, a pesar de que el estado de movimiento de una partícula o el estado físico del sistema varíe, dicha magnitud física siempre mantiene el mismo valor, por complicada que sea la evolución del sistema.

Invariancia temporal y energía

De modo similar al caso anterior, la independencia del tiempo del lagrangiano, puede ser vista como una invariancia frente a “traslaciones temporales”. En este caso la magnitud conservada es el Hamiltoniano o la integral de Jacobi – Painlevé. En un sistema natural si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo se tiene que la energía se conserva. Es decir, en cualquier evolución temporal del sistema la energía no cambia de valor.

El teorema Nöther

Cada simetría de la acción lleva asociada una cantidad conservada.

Desde el punto de vista matemático una simetría es una variación de los campos y por tanto del Lagrangiano que determina la teoría que dejan invariantes las ecuaciones del movimiento (la acción o los paréntesis de Poisson).

Un ejemplo antes de la situación general

Supongamos que tenemos un campo $\varphi$ que depende de las coordenadas espaciotemporales $x^\mu$ . Nuestra Lagrangiana (densidad Lagrangiana) como es usual dependerá del campo y sus primeras derivadas: $\mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi)$

Ahora efectuemos un desplazamiento pequeño y arbitrario de las coordenadas espaciotemporales $a^\mu$ :

$x^\nu\rightarrow x^\nu+a^\mu$

Esto induce una variación en el campo:

$\varphi(x)\rightarrow \varphi(a)\rightarrow \varphi(x)+a^\mu\partial_\mu\varphi$

En general un campo sometido a una variación pequeña tiene la expresión:

$\varphi\rightarrow \varphi+\delta\varphi$

Comparando ambas expresiones tenemos:

$\delta\varphi=a^\mu\partial_\mu\varphi$

En general, cuando sometemos el Lagrangiano a una variación obtenemos:

$\delta\mathcal{L}=\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi}\delta\varphi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta(\partial_\mu\varphi)$

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange: $\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)$

Entonces podemos escribir:

$\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)\delta\varphi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta(\partial_\mu\varphi)$

Teniendo en cuenta que $\delta(\partial_\mu\varphi)=\partial_\mu(\delta\varphi)$ :

De esta forma podemos entender esta expresión como una derivada total:

$\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta\varphi\right)$

Ahora introducimos $\delta\varphi=a^\mu\partial_\mu\varphi=a^\nu\partial_\nu\varphi$ , donde hemos empleado que tenemos índices mudos para renombrarlos:

$\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi\right)a^\nu$

El parámetro de desplazamiento espaciotemporal $a^\nu$ es constante y por lo tanto sale de la derivada.

Por otro lado uno podría haber escrito la variación de la Lagrangiana directamente de la variación de las coordenadas:

$\mathcal{L}=\mathcal{L}+\partial_\mu\mathcal{L}a^\mu$

Esto implica que la variación de la Lagrangiana es:

$\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\mathcal{L}a^\mu=\delta^\mu_\nu\partial_\mu\mathcal{L}a^\nu$

Las dos variaciones tienen que ser iguales:

$\delta^\mu_\nu\partial_\mu\mathcal{L}a^\nu=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi\right)a^\nu$

Uniendo todos los términos en un único término obtenemos:

$\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi-\delta^\mu_\nu\mathcal{L}\right)a^\nu=0$

Dado que la variación en las coordenadas es arbitraria en esta expresión lo único que puede anularse es:

$\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi-\delta^\mu_\nu\mathcal{L}\right)=0$

A este bicho que es muy importante le asignamos un símbolo:

$T^\mu_\nu=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi-\delta^\mu_\nu\mathcal{L}$

Y recibe el nombre de tensor energía-momento. Este objeto, como veremos, contiene la información de la energía contenida en el campo y de su momento.

Dado que su derivada se anula $\partial_\mu T^\mu_\nu=0$ vemos que es una cantidad conservada (no hay variaciones con las derivadas, es decir, ni espacial ni temporalmente).