área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. El área es un concepto métrico que requiere que el espacio donde se define se haya definido una medida.
Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puedetriangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).- ............................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=47fe53c5844f8899b8c2f4b74e4087f2c1f87a47&writer=rdf2latex&return_to=%C3%81rea
cuadratura de la lúnula se debe al matemático griego Hipócrates de Quíos, nacido en la isla de Quíos. No debe ser confundido con Hipócrates de Cos, el padre de la medicina griega y precursor del juramento hipocrático, nacido en la Isla de Cos, cerca de Quíos.
Su cuadratura de la lúnula, es un caso especial de lúnula, formada por dos círculos, el diámetro de uno de los cuales es uno de los lados del cuadrado inscrito en el primero de ellos.
Tal y como demostró, el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado inscrito, que corresponde a un triángulo.
La cuadratura del triángulo ya era conocida, con lo que cuadrar la lúnula (es decir, medianteregla y compás) era posible.
Las lúnulas de Hipócrates
Introducción
Hipócrates de Quíos fue un matemático griego que vivió en el siglo V a.c. Es famoso en la historia de la geometría por los siguientes hechos:
- Proclo en el llamado sumario de Eudemo dice que fue el primero en escribir unosElementos.
- Redujo el problema de la duplicación del cubo al problema de hallar dos medias proporcionales.
- Redujo el problema de la cuadratura del círculo al problema de cuadrar determinadas lúnulas y demostró que determinadas lúnulas son cuadrables.
Una lúnula es la superficie que queda al quitar de un segmento de círculo otro con la misma base, es decir la superficie entre dos arcos de circunferencia cuando éstos están situados formando una figura no convexa. Llamamos arco exterior al arco de mayor longitud.
Las proposiciones y demostraciones de Hipócrates nos han llegado a través de la transcripción por Simplicio de pasajes de Eudemo de Rodas y Alejandro de Afrodisias. Esos resultados son los expuestos a continuación, sin las demostraciones (y con una lúnula añadida):
Lúnulas con arco exterior igual a una semicircunferencia
Alejandro de Afrodisias expone los siguientes resultados.
Figura 1. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a la cuarta parte del cuadrado.
Figura 2. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a la sexta parte de la diferencia entre el hexágono y un círculo cuyo diámetro es uno de los lados del hexágono.
Lúnulas con arco exterior mayor que una semicircunferencia
Eudemo de Rodas, después de la lúnula 1 anterior, nos da la siguiente:
Figura 3. Construimos un trapecio con razón 
entre la base y los otros lados. Circunscribimos una circunferencia al trapecio y sobre la base construimos un segmento de círculo semejante a los segmentos sobre los otros lados. Entonces la lúnula que resulta es igual al trapecio.
Figura 4. Este caso no aparece en Simplicio. La lúnula obtenida al reflejar sobre un lado uno de los segmentos del círculo circunscrito a un triángulo equilátero es la tercera parte del la suma del círculo y dos veces el triángulo.
Lúnulas con arco exterior menor que una semicircunferencia
El fragmento de Eudemo concluye con la exposición de los resultados de Hipócrates sobre dos lúnulas con arco exterior menor que una circunferencia.
Figura 5. Sea una circunferencia con centro B y radio BA. Trazamos por el punto medio de BA una perpendicular GD y por A una recta que corte a esa perpendicular en D y a la circunferencia en C de forma que 
.Sea E el simétrico de C respecto a GD.
La lúnula que se obtiene formando los arcos CBAE, CDE es igual a la figura pentagonal rectilínea ABCDEA.
Figura 6. Sean M,L,N vértices consecutivos de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de centro O. Prolongamos ON hasta OS de forma que 
. Prolongamos OM, OL hasta U, T, en la circunferencia de centro O y radio OS.
Construimos sobre US un segmento de círculo semejante al segmento ML del círculo circunstrito.
. Prolongamos OM, OL hasta U, T, en la circunferencia de centro O y radio OS.Construimos sobre US un segmento de círculo semejante al segmento ML del círculo circunstrito.
La lùnula entre el arco UTS y ese segmento es igual al triángulo UTS más el hexágono MLN menos el círculo circunscrito a ese hexágono.
Conclusiones e historia posterior
Las lúnulas 1,3,5 son equivalentes a figuras rectilíneas construibles. (Con regla y compás, aunque la figura 5 es construida por Hipócrates como se ha expuesto).Y como las figuras rectilíneas son cuadrables, existen lúnulas cuadrables.
Por otro lado las lúnulas 2,4,6 son la suma o diferencia de un círculo y figuras rectilíneas. Por tanto si podemos cuadrar una de esas lúnulas podemos cuadrar el círculo, y viceversa. Podemos llamar a esas lúnulas cuadradoras. (De éstas, el fragmento de Eudemo solo atribuye a Hipócrates la lúnula 6)
Hoy sabemos que no puede haber una lúnula a la vez cuadradora y cuadrable, como pudo pensarse hace más de 2400 años.
El comentario de Simplicio con los resultados de Hipócrates pasó desapercibido hasta 1870 y solo se conocía de Hipócrates la lúnula de la figura 1.
En el siglo XVIII se redescubrieron las lúnulas de las figuras 3 y 5 y otras dos lúnulas cuadrables, haciendo un total de 5 lúnulas cuadrables, descritas en “Recreations in Mathematics…” de Montucla-Ozanam, o en Mathpages
Y finalmente en el siglo XX se demostró que esas 5 son las únicas lúnulas cuadrables.
Cuádrame esta lúnula.
En una ocasión, hablamos de los ingenuos trisectores de ángulos.Llamábamos así a estas personas empeñadas en demostrar lo imposible. Existe una fauna muy variada de personajes de este pelo; en cuestiones físicas se agolpan alrededor del mito de la máquina de movimiento continuo, y en matemáticas alrededor de tres problemas imposibles: laduplicación del cubo, la trisección de un ángulo cualquiera y lacuadratura del círculo .
Decíamos entonces que la imposibilidad de estas tres construcciones se debe a resultados que provienen de la teoría de Galois, y que se resumen en dos proposiciones, ambas perfectamente consolidadas, demostradas y admitidas por la comunidad matemática desde hace muchísimo tiempo:
1.- Todos los números de Q son construibles.
2.- Un número real es construible si y solo si es solución de una ecuación de grado potencia de dos en Q
La cuadratura del círculo implica al número pi, que no es solución de ningún polinomio en Q, la duplicación del cubo implica la construcción de la raíz cúbica de dos, que es solución de un polinomio de grado tres (no es potencia de dos), y la trisección del ángulo de 60º implica la construcción de otro número solución de una ecuación de grado tres, y por lo tanto las tres son imposibles. Pueden existir métodos para trisecar un ángulo concreto (el del ángulo recto es trivial), pero nunca, NUNCA el de 60º.
Sucede que existen ciertos problemas parecidos en apariencia a los tres anteriores, que sí son posibles, y vamos a ocuparnos de uno de ellos: la cuadratura de la lúnula de Hipócrates .
Una lúnula es la porción de plano comprendida entre dos arcos de circunferencia. En la figura tienen una lúnula de Hipócrates , que es una lúnuna con las proporciones dadas por las dimensiones de un cuadrado ABDC. Uno de los dos arcos es el ABC, con centro en 0 y radio r = OA. El otro es el APC, con centro en D y radio R = AD.
El área de la lúnula es la diferencia entre el semicírculo de centro en O y radio OA y el sector circular APC
Llamemos AL al área de la lúnula; As al área del semicírculo y At al área del sector antes citados.
Tenemos AL = As - At
Y desarrollando podemos escribir:
Así pues, el área de la lúnula es r 2, y como r 2=R2/2, tenemos que el área de la lúnula es la mitad del área del cuadrado ABCD, o lo que es lo mismo: es igual al área del triángulo ABC, todo ello perfectamente construible con regla y compás a partir de la lúnula.
¿A que es sorprendente un área de una figura limitada por arcos de circunferencias en la que no aparece pi?
Y es que la resta de dos números irracionales ( o en este caso lo que es aún peor: transcendentes) bien puede ser un número racional.
En el fondo no hay misterio alguno: la explicación radica en la igualdad de dos áreas: el área As del semicírculo ABC, y el área del cuadrante de círculo de centro en D y radio R. Llamemos X a dicho área.
El área de la lúnula es igual a la diferencia entre As y At. La primera vale Xy la segunda vale (X -Q) siendo Q el área del triángulo ADC.
Por ello, el área buscada vale
AL = X - (X -Q) = Q.
Tanto (X -Q) como X son trascendentes, no así Q, que es un número bien racional.
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