Constantes físicas
constante física el valor de una magnitud física cuyo valor, fijado un sistema de unidades, permanece invariable en los procesos físicos a lo largo del tiempo. En contraste, una constante matemática representa un valor invariable que no está implicado directamente en ningún proceso físico.- ..............................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=cc5bfafc8c86e606f6eacb4a405f48490f61f467&writer=rdf2latex&return_to=Constante+f%C3%ADsica
La experiencia de Cavendish
La masa de la Tierra se puede determinar una vez que se conoce el valor de la constante G.
 | En primer lugar, la fuerza de atracción de una distribución esférica de masa de radio R y masa M sobre una partícula de masa m situada fuera de la esfera, es equivalente al de una partícula cuya masa sea la de la esfera situada en su centro. |
Aplicamos la segunda ley de Newton a un cuerpo de masa m que cae libremente, sabiendo que su aceleración de caída, en las proximidades de la superficie de la Tierra es g.
Como el radio R de la Tierra es conocido y g también puede ser medido mediante varias experiencias, una de las más simples es la medida del tiempo t que tarda en caer un cuerpo una determinada altura h, h=gt2/2.
Si la aceleración de la gravedad medida es g=9.8 m/s2 y el radio de la Tierra, supuesta esférica es R =6.37·106 m tenemos que la masa de la Tierra es
Podemos calcular también la densidad media de la Tierra dividiendo la masa M entre el volumen de una esfera de radio R, resultando ρ=5506.5 kg/m3=5.5 g/cm3.
Para “pesar la Tierra” necesitamos determinar el valor de G, mediante una experiencia similar a la efectuada por Cavendish.
La balanza de gravitación es un instrumento muy sensible que permite demostrar la atracción entre dos masas y determinar el valor de la constante G.
 | El péndulo de torsión consta de un hilo de torsión cuya constante K es del orden 10-8 N·m. Por su extremo inferior sujeta a una varilla horizontal de masa despreciable que tiene dos pequeñas esferas de m=20 g de masa cada una y de 7.5 mm de radio. La distancia del hilo de torsión al centro de cada una de las esferas es d=50 mm. |
El péndulo oscila con un periodo de aproximadamente, 10 minutos.
Estas pequeñas esferas son atraídas por dos esferas fijas de M=1.5 kg de masa y de 32 mm de radio.
Para determinar la constante G, mediante la balanza de gravitación es necesario medir la posición inicial y la final de equilibrio y el movimiento oscilatorio amortiguado entre estas dos posiciones. El ángulo entre estas posiciones de equilibrio es una medida de la fuerza de atracción. Para medir el ángulo, se dispone de un haz LASER que incide sobre un espejo cóncavo. La oscilación del péndulo, se observa indirectamente mediante el movimiento de la marca luminosa producida por el rayo reflejado en una regla graduada situada a L=4.425 m de distancia.
Posición inicial de equilibrio
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En la posición inicial de equilibrio, debido a la fuerza de atracción de las dos esferas grandes sobre las pequeñas, el péndulo gira un ángulo –α/2. El ángulo que forma el rayo incidente y reflejado es α. La regla marca la posición x0=0.
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Oscilaciones del péndulo
Una vez que el péndulo se mantiene estable en la posición inicial de equilibrio, las esferas grandes se mueven rápidamente a la posición diametralmente opuesta. El péndulo empieza a oscilar con un periodo
donde 2md2 es el momento de inercia de la varilla de masas despreciable y de las dos esferas consideradas como masas puntuales, y K es la constante de torsión del hilo.
Se mide el periodo P de las oscilaciones tal como se muestra en la figura, el tiempo que trascurre entre dos máximos de la amplitud.
La constante de amortiguamiento es pequeña, de modo que el péndulo oscila durante bastante tiempo antes de alcanzar la posición final de equilibrio
Posición final de equilibrio
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La fuerza de atracción entre la esfera grande y la pequeña es
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El momento del par de fuerzas debido a la atracción entre las esferas, respecto del eje de oscilación, hace que el péndulo gire un ángulo α/2. El ángulo que forma el rayo incidente y reflejado es α. La regla marca la posición xf.
2Fd=Kα/2
La posición xf de la marca luminosa sobre la regla distante L del espejo cóncavo es
ya que α es un ángulo pequeño
Despejamos la constante G
Ejemplo:
- El periodo del péndulo es el intervalo de tiempo entre dos máximos, en la gráfica x-t de la oscilación, P=10.8 min=648 s
- Posición final de equilibrio en la regla, xf=17.3 cm
- Distancia del espejo de la balanza de torsión a la regla, L=4.425 m
- Masa de la esfera grande, M=1.5 kg
- Distancia entre los centros de la esfera grande y de la esfera peqeña en la posición de equilibrio es b=0.047 m
- Distancia de la pequeña esfera al eje de oscilación d=0.05 m
Actividades
El programa interactivo, genera aleatoriamente, un valor de la constante K de torsión dentro de ciertos límites.
Se pulsa el botón titulado Inicio
El péndulo de torsión se sitúa en la posición inicial de equilibrio
Se pulsa el botón titulado Empieza
Las esferas grandes se sitúan en posición diametralmente opuesta
El péndulo de torsión comienza a oscilar, hasta que al cabo de un cierto tiempo medido en minutos, se para en la posición final de equilibrio.
Se mide el periodo P de la oscilación y la posición xf final de equilibrio. Se calcula la constante G de la ley de la Gravitación Universal.
Otra forma de medir G
 | Una partícula de masa M describe un movimiento circular de radio R con velocidad angular constante ω. Un péndulo está hecho con un largo hilo inextensible de longitud l del que cuelga una partícula de masa m, está inicialmente en su posición de equilibrio. La fuerza de atracción entre las dos partículas hace que la partícula de masa m se mueva describiendo una trayectoria en forma de espiral cuando se cumple una determinada condición. |
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son:
La fuerza F1 restauradora, que se produce cuando el péndulo está desviado un pequeño ángulo θ con respecto de la posición de equilibrio. La componente tangencial del peso valemg·senθ, tal como se indica en la parte derecha de la figura. Si el ángulo θ es pequeño, podemos escribir
F1≈ mg·senθ=mgr/l
Las componentes de esta fuerza son (véase la figura más abajo)
F1x=-F1·x/r=-mgx/l
F1y=-F1·y/r=-mgy/l
F1y=-F1·y/r=-mgy/l
La fuerza F2 de atracción entre la partícula de masa m y la partícula de masa M, tiene por módulo
Las componentes de esta fuerza son
La ecuación del movimiento de la partícula de masa m es
max=F1x+F2xmay=F1y+F2y
Si consideramos que el desplazamiento r del péndulo respecto de la posición de equilibrio es pequeño frente al radio R de la partícula de masa M, las componentes F2x y F2y se expresarán
Las ecuaciones del movimiento se escriben en forma de ecuación diferencial
o bien
Se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, dx/dt=0, dy/dt=0, es decir, la partícula de masa m parte del origen con velocidad nula.
- Solución de la primera ecuación diferencial
La solución particular de la primera ecuación diferencial es x1=K·cosωtIntroduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante K.La solución completa de la ecuación diferencial esx=x1+A·senω0t+B·cosω0tLas condiciones iniciales t=0, x=0, dx/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B.
- Solución de la segunda ecuación diferencial
La solución particular de la segunda ecuación diferencial es y1=K·senωtIntroduciendo esta solución en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante K.La solución completa de la ecuación diferencial esy=y1+A·senω0t+ B·cosω0tLas condiciones iniciales t=0, y=0, dy/dt=0 determinan los valores de las constantes A y B.
Caso particular
Cuando ω≈ω0 tenemos para la solución de la primera ecuación diferencial
La solución de la primera ecuación diferencial se convierte en
Para la solución de la segunda ecuación diferencial
La solución de la segunda ecuación diferencial se convierte en
La distancia r de la partícula de masa m al origen es
La distancia r se incrementa proporcionalmente al tiempo t, la partícula describe una espiral que parte del origen.
Tenemos que diseñar nuestro experimento simulado de modo que la frecuencia
coincida con gran aproximación con la velocidad angular ω de rotación de la partícula de masa M.
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