EL ESPACIO PREHILBERTIANO

Introducción

Esta introducción sin recurrir al lenguaje matemático de matrices ni tensores, hace la deducción de la reconocida ecuación de la relatividad Especial para identificar, el punto esencial donde entendemos se confundió Einstein. Además, este trabajo pretende terminar de justificar los anteriores trabajos de la masa gravitacional aparente y las nuevas ecuaciones de la energía cinética y cantidad de movimiento.

Un cuadrivector es la representación matemática en forma de vector de cuatro dimensiones de una magnitud vectorial en teoría de la relatividad. Los trabajos de Lorentz, Poincaré, Einstein y Minkowski sobre el electromagnetismo clásico llevaron a la idea de que no es posible definir un tiempo absoluto que transcurre de manera idéntica para todos los observadores con independencia de su estado de movimiento. La no existencia de un tiempo absoluto, requería que existiera una medida de tiempo para cada observador. Así el conjunto de eventos (puntos del espacio-tiempo) llevaban de manera natural a definir vectores de cuatro dimensiones:

(1)

Donde E es el espacio vecorial y las cuatro componentes anteriores representando a las tres coordenadas espaciales del sitio en el cual ocurre algo y el instante en que sucede. Pues c es simplemente la velocidad de la luz que aparece multiplicada por el tiempo propio del evento para traducir el tiempo relativo de un observador.

La relatividad especial usa tensores y cuadrivectores para representar un espacio pseudo-euclídeo. Este espacio, sin embargo, es similar al espacio euclídeo tridimensional en muchos aspectos y es relativamente fácil trabajar en él. El tensor métrico que da la distancia elemental (ds) en un espacio Euclídeo se define como:

(2)

Donde dx, dy, dz son diferenciales de las tres coordenadas cartesianas espaciales y dses el diferencial resultante.

En la geometría de la relatividad especial, para mostrar el carácter pseudoeuclídeo de la geometría espacio-temporal, se añade una cuarta dimensión de luz contraída dada en el producto jcdt, donde t es el tiempo, c la velocidad de la luz y j la unidad de contracción. Siendo además consecuente con esa cuarta dimensión que se agrega en el planteo de este artículo, se le debe considerar siempre en sentido ortogonal a la dirección resultante de las tres coordenadas cartesianas espaciales. El cuadrivector resultante es la diferencial del espacio luz y queda el intervalo relativista, en forma diferencial, de la siguiente manera:

(3)

Donde dc es el diferencial del espacio luz o cuadrivector, dx, dy, dz son los diferenciales de las tres coordenadas cartesianas espaciales y jcdt es el cuarto vector añadido.

De la misma manera que la velocidad en mecánica newtoniana es la derivada temporal de la posición respecto al tiempo, en la teoría especial de la relatividad la cuadrivelocidad es la derivada temporal del cuadrivector posición respecto al tiempo propio de la partícula. La cuadrivelocidad es una magnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de la teoría de la relatividad, que es también tangente a la trayectoria de dicha partícula a través del espacio-tiempo cuatridimiensional. Por esto, partiendo de la anterior ecuación número tres (3) y trasladando términos equivalentes obtenemos la cuadrivelocidad de la siguiente manera:

(4)

(5)

En la anterior ecuación número cinco (5) de la cuadrivelocidad, se puede observar todavía el producto jc que aun perdura justamente de la cuarta dimensión inicialmente añadida. Esa unidad j de contracción o coeficiente de contracción es precisamente el elemento matemático que aporta el substrato fijo de la relatividad general, que aparece de manera relacional entre dos acontecimientos del espacio tiempo ya que el vacío es dependiente de la trayectoria del observador en el espacio tiempo. Exactamente, j es igual al cociente de la relación entre masas, nosotros asumimos la masa gravitacional aparente y la masa propia e invariante de una partícula que se mueve con respecto a un observador además, esa misma unidad de contracción j, también es igual a la contracción de Lorentz tal como se describe en la siguiente relación:

(6)

Donde j es el coeficiente de contracción, mo es en nuestros cálculos la masa gravitacional aparente y m es la masa propia e invariante de la partícula.

Podemos tomar a cualquiera de los dos valores equivalentes de j expresados en la anterior relación seis (6), para remplazarlo en la ecuación número cinco (5) de este trabajo, ya sea que utilicemos la relación entre las masas que en nuestro caso siempre lo hacemos entre la masa gravitacional aparente e invariante o, tomemos la contracción de Lorentz como al parecer fue la opción y camino que siguieron los cálculos de Einstein tal como se expresa en las siguientes relaciones:

(7)

Remplazando y trasladando matemáticamente la contracción de Lorentz en toda la ecuación, nos queda la anterior relación número siete de la siguiente manera:

(8)

Aquí es el momento cuando Einstein involucra la masa como un simple escalar a través de utilizar la misma definición de cantidad de movimiento de Newton, ya que toda la relación y cuadrivector anterior es multiplicada por la misma masa escalar invariante m, quedando la relación número seis de la siguiente manera:

(9)

(10)

Entonces se distingue el concepto de masa inercial aparente o llamada también masa relativista de la siguiente manera:

(11)

Donde mi es la masa inercial aparente o masa relativista, m es la masa invariante y la reconocida contracción de Lorentz.

(12)

(13)

Esta relación anterior nos lleva finalmente a la siguiente, reconocida y famosa ecuación de la relatividad especial:

(14)

(15)

Donde mi es la masa inercial aparente o masa relativista, m es la masa invariante y p es la cantidad de movimiento, v es la velocidad de la partícula y c es la velocidad de la luz.

2. Desarrollo del Tema.

Se puede ver con facilidad como Einstein adoptando a la masa invariante y propia como un simple escalar, entonces multiplicada por todo el cuadrivector como escalar, resulta cómodamente la relación número nueve (9) siguiente:

(9)

Pero nosotros nos vamos a ir mucho más antes en este artículo precisamente en la ecuación número cinco (5) de este trabajo, que la traemos a colación en la siguiente expresión:

(5)

En esta anterior ecuación vemos el cuadrivector velocidad o cuadrivelocidad, representada en la siguiente relación a quien no se le incluye a j por que es un factor de contracción de masas equivalente a la contracción de Lorentz quien tampoco se utiliza:

(16)

Considerando a la masa no como un escalar, por que entonces nos tocaría hacer lo mismo que hizo Einstein, a la masa la vamos a considerar como un vector representado en la siguiente relación:

(17)

(18)

Esta anteriores relaciones o número 17 y 18 es la masa en forma de un cuadrivector donde están involucradas tres tipos diferentes de masas, m que podría ser la masa invariante del cuadrivector, mv/c es la masa inercial aparente y mo es una masa complementaria que convencionalmente si se quiere podría ser la masa invariante como hizo Einstein o la gravitacional aparente.

Entonces tenemos a la vista dos cuadrivectores y sus componentes, el cuadrivector velocidad o cuadrivelocidad y el cuadrivector masa y sus componentes en las siguientes relaciones:

(5)

(17)

Aquí en este momento debemos identificar un espacio vectorial normado y prehilbertiano, a quien le podemos aplicar el producto escalar entre los dos cuadrivectores, es decir entre el cuadrivector masa de la anterior ecuación diecisiete y 18, con el cuadrivector velocidad de la relación cinco y 16. Además el ángulo θ entre ellos es de cero grados:

(18)

(19)

(20)

(21)

3. Conclusiones.

A)-La primera conclusión es la confirmación mediante este trabajo del carácter vectorial de la masa. Donde mv/c es la masa inercial aparente o mi y mo es la masa gravitacional aparente.

(17)

B)-La segunda conclusión es la nueva formulación matemática que resulta de esta manera en la energía cinética:

Donde mi es la masa inercial aparente, Ec es la energía cinética, m es la masa invariante, v es la velocidad de la partícula y c es la velocidad de la luz.

C)-La tercera conclusión es la presentación de la nueva formulación matemática de la cantidad de movimiento:

Donde mi es la masa inercial aparente, p es la Cantidad de movimiento, m es la masa invariante, v es la velocidad de la partícula y c es la velocidad de la luz.

D)-La cuarta conclusión es la nueva formulación de la masa inercial aparente que es directamente proporcional a la velocidad:

Donde mi es la masa inercial aparente y m es la masa invariante.

E)-La quinta y última Gran conclusión es sobre la formulación matemática de la masa Gravitacional aparente, que es de acuerdo al movimiento de la partícula. Quiere esto decir que la masa invariante y la masa gravitacional aparente se intercambiaran las posiciones en el vector de acuerdo al movimiento de la partícula, si una se sitúa en un lugar, de inmediato la otra se ubica en el otro y viceversa, pero jamás estarán juntas permaneciendo en la misma posición, ni ocuparan el sitio fijo de la masa inercial aparente y cantidad de movimiento. La ubicación dependería de que si el movimiento de la partícula se hace hacia campos de menor gradiente gravitacional o, el movimiento se hace hacia campos de mayor gravedad, con respecto al observador: