Oersted observó que alrededor de un alambre que conduce corriente (eléctrica estacionaria) se presenta un campo magnético (estático), B desde ya llamémoslo densidad de flujo magnético. Si se siguen las líneas de campo se rodea al conductor que transporta corriente (Fig. A2.1 (a) Campo magnético alrededor de un alambre (b) Sección transversal perpendicular al alambre).
Faraday observó que si se tiene un campo B uniforme, sobre un trozo de conductor por el que circula cierta corriente se presenta una fuerza motora o motriz:
dF = B ´ I.dl (1)
La fuerza es máxima cuando la densidad de flujo magnético representada por el vector B es perpendicular a I, el producto es vectorial (debe definirse una terna de ejes en el espacio).
La ley de Biot-Savart y Laplace permite determinar la densidad de flujo magnético B debida a la corriente en un conductor.
(2)
Siendo r1 el versor de r, el producto de r1 con I.dl es vectorial, de donde integrando:
En el aire la permeabilidad es:
m 0 = 400 p 10-9 (H / m) (3)
En un medio cualquiera:
m = m relativo m 0 (4)
La densidad de flujo magnético B debida a la corriente alrededor de un alambre rectilineo infinito (Fig. A2. 2 Campo magnético creado por la corriente que circula en un elemento dx de un largo conductor rectilíneo) puede ser determinada, usando la analogía con el problema ya resuelto del conductor cargado para el que se tiene:
resulta entonces 
(5)
Entre dos conductores paralelos (infinitos) puede calcularse la fuerza (si las corrientes son en sentido contrario, de repulsión) por unidad de longitud:
(6)
La densidad de flujo magnético representada por B, (ver la analogía con el campo eléctrico y la densidad de flujo eléctrico), está dada por:
(7)
siendo Y m el flujo magnético a través del área A.
Se puede pensar en tubos de flujo magnético, a diferencia del campo eléctrico que inicia y termina en cargas, los tubos de flujo magnético son continuos, cerrados, piénsese en los tubos de flujo que rodean a una línea de corriente, o bien un anillo con corriente.
(8)
El campo magnético es solenoidal, esta es una diferencia fundamental con el campo eléctrico estático, que es laminar.
Para el flujo magnético también puede considerarse la ley de Gauss, flujo a través de una superficie cerrada.
Divergencia B = 0 (9)
El campo magnético de una espira por la que circula corriente, es un problema particularmente interesante, ya que este modelo se presenta especialmente en las máquinas eléctricas, un planteo general determina la torsión sobre la espira y aparece el concepto de momento magnético (Fig. A2.3 Espira rectangular en campo uniforme B experimenta un momento torsor que tiende a alinear su normal con B):
(10)
siendo J el ángulo entre la normal al plano de la espira y B, y L.d el área.
El momento de torsión es proporcional a la corriente en la espira y a su área.
Veamos ahora sólo casos particulares de valor de la densidad de flujo en un punto. Para una espira circular (Fig. A2.4 Campo magnético creado por un elemento dl de una espira circular de conductor que transporta corriente), sobre el centro de la espira se presenta:
(11)
siendo R el radio de la espira, I la corriente.
Si se determina la densidad de flujo dentro de una bobina solenoidal se obtiene, para el centro del solenoide (Fig. A2.5 Lámina de corriente equivalente del solenoide):
(12)
siendo N espiras, R radio, l longitud, NI lámina de corriente.
Si l >> R se tiene
(13)
Siendo K la densidad de corriente pelicular del solenoide (densidad lineal de corriente), equivalente a una sola vuelta de lámina conductora con corriente uniformemente distribuida.
Si se hace la misma determinación para el extremo del solenoide el resultado es la mitad, pueden compararse estos resultados con los dipolos eléctricos y desarrollar alguna analogía.
La inductancia de un solenoide es:
(14)
siendo L el flujo de acoplamiento total, y Y m el flujo.
Esta definición es válida para el aire, pero no es aplicable a los medios ferrosos, porque su permeabilidad no es constante, en medios no lineales se define la inductancia incremental.
Con la relación 14 se pueden resolver inductancias de geometrías simples, por ejemplo un toroide (Fig. A2.6 Toroide):
(15)
siendo r el radio de la bobina y R el radio del toro.
Para un conductor coaxial se puede determinar la inductancia por unidad de longitud (Fig. A2.7 Línea coaxil de transmisión):
(16)
siendo a el radio del conductor interno y b el radio del tubo externo.
Para dos conductores paralelos la inductancia resulta (Fig. A2.8 Línea bifilar de transmisión):
(17)
siendo a el radio de los conductores y D la distancia entre ellos.
La ley de Ampere dice que:
(18)
Esta ecuación se hace independiente del medio introduciendo el concepto de H que llamaremos propiamente campo magnético (obsérvese la analogía con el campo eléctrico, intensidad del campo eléctrico).
(19)
siendo m la permeabilidad del medio.
Se destaca que al estudiar el campo eléctrico se partió de E y se llegó a D, para el campo magnético se partió de B y se llegó a H.
La ley de Ampere puede expresarse como a continuación se indica, y se puede calcular como varía el campo dentro de un conductor, abrazando más y más corriente.
(20)
Se hace conveniente repasar similitudes y diferencias para establecer las analogías entre campos eléctrico y magnético, presentamos las fórmulas de a pares para evidenciar la correspondencia entre campo eléctrico y campo magnético:
(12)
el campo magnético no encierra ninguna corriente, la trayectoria de integración evita las corrientes.
El campo eléctrico es laminar, se deduce de una función escalar potencial V, el campo magnético no es laminar, porque sus líneas de flujo forman circuitos cerrados, pero en la región libre de corrientes (donde no encierra ninguna corriente) puede ser tratado como laminar:
Ñ V = - E Ñ U = - H (23)
El campo magnético H se puede en este caso obtener de un potencial magnetoestático escalar U, que tiene dimensiones de corriente (y se expresa en Amperes).
El campo eléctrico, cuando hay fuerzas electromotrices en la trayectoria de integración y el campo magnético (si la trayectoria encierra corriente, una o N veces, N´ I=FMM llamada también fuerza magnetomotriz) valen:
(24)
Para resolver el problema de determinar el potencial magnético del campo creado por un alambre conductor se interrumpen las trayectorias circulares alrededor del conductor (Fig. A2.9 Integral de línea de H alrededor de trayectorias cerradas (a) y (b) igual a la corriente (c) y (d) igual a cero), con un plano entre el conductor y el infinito, a un lado de este plano el potencial magnético U = 0, y al otro lado U = I, es fácil ahora encontrar los planos equipotenciales intermedios, con trayectorias de integración que no encierran corrientes.
Al insertar el plano se ha transformado el espacio en simplemente conexo, y el problema es análogo a las regiones libres de carga del campo eléctrico:
Ñ D = 0 Ñ B = 0
Ñ 2 V = 0 Ñ 2 U = 0
Cuando la región es libre de corrientes, y la trayectoria no es cerrada, el potencial magnético escalar y la fuerza magnetomotriz, son una misma cosa.
Introduzcamos ahora el concepto de celdas de campo y permeabilidad, pensemos en una línea de transmisión de dos cintas conductoras planas paralelas de ancho w separadas l , las corrientes iguales y contrarias, la inductancia es (Fig. A2.10 Línea de transmisión de cintas paralelas (a) en perspectiva (b) sección transversal (c) celda de campo magnético):
(25)
La inductancia por unidad de longitud
L1 / d = m (26)
Obsérvese la analogía con las celdas del campo eléctrico y el campo de corrientes (ver fórmulas 27 y 42 del Apéndice 1).
En la teoría de circuitos tiene sentido para una trayectoria cerrada que encierra la corriente I, la ley de Amper expresada por la fórmula (20):
Si dividimos ambos miembros por el área encerrada por el contorno, y hacemos el límite para el área tendiendo a cero, reduciendo el camino de la integral, llegamos al concepto de rotor (rotacional) y densidad de corriente J (Fig. A2.11 (a) Densidad de corriente como el límite de la razón D l a D s (b) Construcción para encontrar la componente x del rotacional de H):
Rotor H = J (27)
El rotor esta dado por el producto vectorial del operador Ñ por el vector H.
Externamente a los conductores se tiene que no hay corriente y entonces:
Rotor H = 0 (28)
Repasemos un poco las operaciones sobre escalares y vectores que se han introducido hasta ahora:
- Gradiente (Ñ ) opera sobre una función escalar y da una función vectorial.
- Divergencia (Ñ ) opera sobre una función vectorial para dar una función escalar.
- Rotor, rotacional (Ñ vectorial) opera sobre una función vectorial para dar otra función vectorial.
El campo vectorial con divergencia muestra variación a lo largo del campo (en la misma dirección), en cambio el campo vectorial con rotor muestra variación normal a la dirección del campo.
El operador Ñ es un operador vectorial, pero técnicamente no goza de las propiedades de un vector propiamente dicho, porque en rigor goza de propiedades vectoriales y diferenciales, estas últimas se manifiestan cuando el operador se aplica reiteradamente.
- La divergencia del gradiente Ñ (Ñ f) aplicada a un escalar da una función escalar y recibe el nombre de Laplaciano Ñ 2 = D
- El gradiente de la divergencia aplicado a un vector Ñ (Ñ A) da un vector, esta operación no debe confundirse con la que sigue (cuyo resultado es distinto).
- El Laplaciano aplicado a un vector D A da un vector, esta operación es análoga a aplicar el Laplaciano a las tres componentes del vector (no debe confundirse con el gradiente de la divergencia).
- La divergencia de un rotacional (de una función vectorial) es cero
Ñ (Ñ ´ A) = 0
- El rotacional del gradiente es cero
Ñ ´ (Ñ A) = 0
- Se demuestra que el rotor del rotor cumple la siguiente identidad vectorial:
Ñ ´ (Ñ ´ A) = Ñ (Ñ A) - Ñ 2 A
en palabras gradiente de la divergencia menos el Laplaciano.
Un campo vectorial cuyo rotor es nulo tiene un potencial escalar que lo genera.
Si un campo vectorial no tiene rotacional es laminar, los hilos de flujo son discontinuos, van de fuente a sumidero.
Un campo vectorial cuya divergencia es nula es un campo solenoidal, los tubos de flujo no tiene fuentes ni sumideros.
Para el campo magnético se ha visto que la divergencia de B es cero, entonces debe existir una función A cuyo rotor es B, A es el llamado potencial vectorial o vector potencial.
B = rotor A (29)
rotor de rotor de A = rotor de B = m . J
-Ñ 2 A = Ñ ´ B = m . J
Observemos además que:
Divergencia D = r
encuentra las fuentes r del campo eléctrico.
Rotor H = J
encuentra las fuentes J del campo magnético.
Partiendo del potencial vectorial A con el rotor se determina la densidad de flujo B cuyo rotor esta relacionado con m . J.
La Densidad de flujo magnético en un punto esta dada por:
siendo J ´ r1 producto vectorial
Surge de las relaciones establecidas:
Mientras que el potencial escalar V del campo eléctrico, y el potencial magnético escalar U, tienen un significado físico claro y simple, el potencial vectorial no lo tiene, se debe considerar sólo como una abstracción matemática, pero que ayuda a encontrar solución a un problema.
Se ha determinado el campo magnético debido a espiras en algunos puntos particulares, como ser el centro de la espira, el centro de la bobina, el extremo de la bobina.
Pero es de interés conocer en otros puntos del espacio la densidad de flujo B debida a una espira, o a varias espiras, y para resolver este problema se ha desarrollado un programa basado simplemente en las fórmulas que describen la ley de Biot-Savart y Laplace.
El programa se llama "CAMPOB" y desarrolla el cálculo de la densidad de flujo B debido a bobinas cilíndricas coaxiales, pensemos por ejemplo en los arrollamientos de un transformador.
La bobina o las bobinas se consideran formadas por espiras separadas paralelas al plano XY con su eje sobre el eje Z.
El plano de estudio es el XZ, suficiente por razones de simetría, y se determina la densidad de flujo B en un rectángulo definido por sus coordenadas extremas.
La bobina se divide en trozos de amplitud angular DALFA y estos trozos elementales se rectifican sobre la tangente, para lograr una representación perfeccionada el ángulo se reduce, los primeros tanteos se pueden hacer con 30 o 45 grados, luego se reduce a 10 grados que parece suficiente para una excelente aproximación.
Se describen varias espiras, con corriente, con signo ± para definir su sentido, si se representa un transformador, las espiras primarias y secundarias tendrán corrientes de sentidos opuestos, el núcleo no estará representado.
Para cada punto del plano XZ, y para cada espira se determina la densidad de flujo B (tridimensional, pero que es bidimensional por simetría cilíndrica)
El campo en el punto XZ se calcula por acumulación de valores debidos a cada trozo de espira, no olvidemos que el campo es tridimensional (y así lo calcula el programa) aunque el resultado es bidimensional.
Para cada espira, y para cada trozo que cubre el ángulo elemental se determina el producto:
DLA = RES ´ DALFA ´ COR
siendo RES el radio de la espira, DALFA el ángulo, COR la corriente, y el resultado DLA representa el trozo de conductor con corriente.
Se determina la distancia entre trozo de espira y punto espacial de cálculo RRR, su módulo y finalmente se hace el producto vectorial
DLA ´ RRR
Que debe dividirse por el modulo de RRR al cubo, obteniéndose el campo debido al trozo de conductor.
El método parece trabajoso, pero el programa es simple de entender, por lo que permite fáciles modificaciones para adaptarlo a necesidades particulares.
Se puede obtener la densidad de flujo B en un plano que pasa por el eje de las bobinas, conviene observar este campo en sus dos componentes, paralelas al eje X, radial, y paralela al eje Z, axial, un conductor con corriente normal al plano y sumergido en ese campo sufrirá fuerza axial debida al campo radial, y fuerza radial debida al campo axial.
Como es de interés determinar la fuerza que sobre una espira hacen todas las restantes, inclusive ella misma, cuando se calcula el campo en un punto debido al trozo de espira que pasa por el mismo punto este trozo se quita del modelo, ya que un trozo de espira no provoca campo que haga fuerza sobre el mismo, se evita así también el problema de cálculo numérico que aparece siendo nulo el valor de RRR.
Los resultados de estos cálculos pueden graficarse, y para esto se ha desarrollado el programa "BCAMPO", a cada punto corresponden dos valores del campo magnético, radial y axial, que dan su orientación, pudiendo graficarse el vector (observándose que decrece rápidamente al alejarse de las bobinas).
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