AMIGOS PARA SIEMPRE: Aritmética

Funciones aritméticas

función de Mertens se define como:

$M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)$

donde μ(k) es la función de Möbius. Dado que la función de Möbius contempla solo las imágenes {-1,0,1} resulta obvio que la función de Mertens apenas varía en su recorrido y que no existe ningún valor de x para el cual |M(x)|>x. La conjetura de Mertens va más lejos afirmando que no hay valor para x donde el valor absoluto de la función de Mertens exceda el valor de la raíz cuadrada de x.

Algunos valores de la función de Mertens son 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2,...

En teoría de números, la función de Mertens se define como: donde μ es la función de Möbius.

Dado que la función de Möbius contempla solo las imágenes {-1,0,1} resulta obvio que la función de Mertens apenas varía en su recorrido y que no existe ningún valor de x para el cual |M|>x.

La conjetura de Mertens va más lejos afirmando que no hay valor para x donde el valor absoluto de la función de Mertens exceda el valor de la raíz cuadrada de x.

función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria.- ....................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=a4b3a17661211091416458ef35a94797c6c59f6b&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+de+M%C3%B6bius

Una función aritmética f(n)

es aquella que está definida de los enteros positivos en los reales o complejos.

Decimos que la función aritmética $f \neq 0$ es multiplicativa si para enteros positivos coprimos

cualesquiera se cumple que f(mn) = f(m)f(n)

.

Es inmediato que si f(n)

son dos funciones multiplicativas entonces la función f(n)g(n)

es multiplicativa.

Notemos que si

es multiplicativa, entonces f(1)=1

. En efecto, si

es un entero positivo tal que $f(a)\neq 0$ entonces $f(a) = f(a\cdot 1) = f(a)f(1)$ , y simplificando f(a)

se obtiene que f(1)=1

. También observemos que si $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ entonces $f(n) = f(p_1^{\alpha_1})\cdots f(p_k^{\alpha_k})$ .

Una función aritmética muy importante es la función de Möbius, $\mu :\mathbb{Z^{+}}\to \{-1,0,1\}$ definida como:
$\mu (n) = \begin{cases} 1 &\mbox{si } n=1 \\ 0 &\mbox{si } p^2 \mid n \mbox{ para algún primo } p>1 \\ (-1)^k &\mbox{si } n=p_1\cdots p_k, \mbox{ donde } p_1, \ldots , p_k \mbox{ son primos distintos} \end{cases}$ .

Se ve fácilmente que $\mu$ es multiplicativa (es simplemente aplicar la definición).

Para una función aritmética

, vamos a definir la función de suma

de manera que $F(n) = \displaystyle\sum_{d\mid n} f(d)$ .

Fórmula de Inversión de Möbius: Sea

una función aritmética y

su función de suma. Entonces

$f(n ) = \displaystyle\sum_{d\mid n} \mu(d)F\left(\dfrac{n}{d}\right)$

Demostración:

$\begin{align*} \sum_{d\mid n} \mu (d) F\left(\dfrac{n}{d}\right) &= \displaystyle\sum_{d\mid n} \mu (d) \left( \displaystyle\sum_{c\mid \frac{n}{d}} f(c) \right) \\ &= \displaystyle\sum_{d\mid n} \left( \sum_{c\mid \frac{n}{d}} \mu (d) f(c) \right) \\ &= \displaystyle\sum_{c\mid n}\left( \displaystyle\sum_{d\mid\frac{n}{c}}\mu (d)f(c) \right) \\ &= \displaystyle\sum_{c\mid n} f(c) \left( \displaystyle\sum_{d\mid \frac{n}{c}} \mu (d) \right) \\ &= f(n) \qquad \blacksquare \end{align*}$

Teorema: Sea

una función aritmética. Entonces

es multiplicativa si y sólo si su función suma

es multiplicativa.

Demostración:

Demostremos el si primero. Escribimos

$G(mn) = \displaystyle\sum_{d\mid mn} g(d) = \displaystyle\sum_{e\mid m \text{ } f\mid n} g(ef) = \displaystyle\sum_{e\mid m \text{ } f\mid n} g(e)g(f)$

$= \left(\displaystyle\sum_{e\mid m} g(e)\right)\left(\displaystyle\sum_{f\mid n} g(f)\right) = G(m)G(n)$

Ahora demostremos la vuelta. Para ello, vamos a usar la Fórmula de Inversión de Möbius:

$g(mn) = \displaystyle\sum_{d\mid mn} \mu(d)G\left(\dfrac{mn}{d}\right) = \displaystyle\sum_{e\mid m \text{ } f\mid n} \mu(ef)G\left(\dfrac{mn}{ef}\right) = \displaystyle\sum_{e\mid m \text{ } f\mid n} \mu(e)\mu(f)G\left(\dfrac{m}{e}\right)G\left(\dfrac{n}{f}\right)$

$= \left(\displaystyle\sum_{e\mid m} \mu(e)G\left(\dfrac{m}{e}\right)\right) \left( \displaystyle\sum_{f\mid n} \mu(f)G\left(\dfrac{n}{f}\right) \right) = g(m)g(n) \qquad \blacksquare$