martes, 23 de junio de 2015

Aritmética

Funciones aritméticas

 función indicatriz de Jordan J_k(n) de un entero positivo n es el número de k-tuplas de enteros positivos todos menores o iguales a n que forman una (k + 1)-tupla coprima junto con n. Esta es una generalización de la función φ de Euler, que es J1. La función se llaman en honor de Camille Jordan.- ..............................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=23e4f7f7874b84786e287ca4fbc6024681b5e4a9&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+indicatriz+de+Jordan







 función psi de Dedekind es la función multiplicativa sobre los enteros positivos definida por
\psi(n) = n \prod_{p|n}\left(1+\frac{1}{p}\right),
donde el producto es tomado sobre todos los números primos p que dividen a n (por convención, ψ(1) es el producto vacío y tiene el valor 1). La función fue introducida por Richard Dedekind en conexión con las funciones modulares.
El valor de ψ(n) para los primeros enteros n es:
1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (sucesión A001615 en OEIS).
ψ(n) es mayor que n para todo n mayor que 1, y es par para todo n mayor que 2. Si n es un Entero libre de cuadrados entonces ψ(n) =σ(n).
La función ψ puede también ser definida mediante la propiedad ψ(pn) = (p+1)pn-1 para potencias de cualquier primo p, y luego extender la definición a todos los enteros por multiplicabilidad. Esto también permite una demostración de la función generadora en términos de lafunción zeta de Riemann, que es
\sum \frac{\psi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-1)}{\zeta(2s)}.
Esto también es una consecuencia del hecho de que se puede escribir como una convolución de Dirichlet \psi= n * \epsilon_2 , donde \epsilon_2  es lafunción característica de los cuadrados.

La generalización a grandes órdenes usando ratios de indicatrices de Jordan es
\psi_k(n)=\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}
donde la serie de Dirichlet
\sum_{n\ge 1}\frac{\psi_k(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s)\zeta(s-k)}{\zeta(2s)}.
Es también la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius,
\psi_k(n) = n^k * \mu^2(n).
Si
\epsilon_2 = 1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots
es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet permite la generalización de la función σ,
\epsilon_2(n) * \psi_k(n) = \sigma_k(n).







 función suma de divisores es una función que es una suma sobre la función divisor. Se utiliza con frecuencia en el estudio del comportamiento asintótico de la función zeta de Riemann. Varios de los estudios sobre el comportamiento de la función divisor son a veces llamados problemas del divisor.- ..................................................:
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=834c5eeff1c70363f97bb7641df1f3126ee76b81&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+suma+de+divisores





 función de Liouville, denotada por λ(n) y atribuida a Joseph Liouville, es una importante función en teoría de números.
Si n es un entero positivo, entonces λ(n) es definido como:
\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)},\,\!
donde la función Ω(n) es el número de factores primos de n, contados con multiplicidad. Véase la (sucesión A008836 en OEIS).
λ es una función completamente multiplicativa dado que Ω(n) es una función aditiva. Debido a que Ω(1) = 0 tenemos que λ(1) = 1. La función de Liouville satisface la siguiente identidad:
\sum_{d|n}\lambda(d)=1\,\!  si n es un cuadrado perfecto, y:
\sum_{d|n}\lambda(d)=0\,\!  de otro modo.

La serie de Dirichlet para la función de Liouville en términos de la función zeta de Riemann tiene la forma
\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.
La serie de Lambert para la función de Liouville es
\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = \frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right),
donde \vartheta_3(q) es la función theta de Jacobi.

La conjetura de Pólya es una conjetura formulada por George Pólya en 1919, esta establece que:
L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0
para n > 1. Esta conjetura resultó ser falsa. El contraejemplo más pequeño es n = 906150257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980. Se desconoce si L(n) cambia de signo infinitamente.
Definiendo la suma
M(n) = \sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}{k},
se especula que en algún momento M(n) ≥ 0 para n ≥ n0 suficientemente grande (esta conjetura es ocasionalmente -pero incorrectamente- atribuida a Pál Turán). Esta fue refutada por Haselgrove en 1958 (véase la referencia), él mostró que M(n) toma valores negativos infinitas veces. De ser verdad esta conjetura, esta se puede ver como una prueba de la hipótesis de Riemann, como lo mostró Pál Turán.
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