martes, 23 de junio de 2015

Aritmética

Funciones aritméticas

Función de Von Mangoldt es una función aritmética, muy importante en teoría de números, que debe su nombre al matemático alemán Hans von Mangoldt.- .....................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=f9d713d9133c7fdc8415ec02d37451e1004f3e2d&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+de+von+Mangoldt

La función de von Mangoldt \ Scriptstyle M (n) \, , también llamada la función lambda \ Scriptstyle Lambda (n) \ \, , es la función de los números enteros positivos \ Scriptstyle n \, definidos por
\ Lambda (n) = \ begin {casos} \ log (p) y \ mbox {si} n = p ^ k \ mbox {para algunos prime} p \ mbox {y} entero k \ ge 1, \\ 0 & \ mbox {lo contrario.} \ end {casos}
que de este modo da la secuencia trascendental
{ \ Scriptstyle 0, \ log (2), \ log (3), \ log (2), \ log (5), 0, \ log (7), \ log (2), \ log (3), 0, \ log (11), 0, \ log (13), 0, 0, \ log (2), \ log (17), 0, \ log (19), 0, 0, 0, \ log (23), 0, \ log (5), 0, \ log (3), 0, \ log (29), 0, ... \,}


A014963 exponencial de la función de von Mangoldt M (n): a (n) = 1 si n es una potencia principal o primer cuando un (n) = que prime.
{1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, 23, 1, 5 , 1, 3, 1, 29, 1, 31, 2, 1, 1, 1, 1, 37, 1, 1, 1, 41, 1, 43, 1, 1, 1, 47, 1, 7, 1 , 1, 1, 53, 1, 1, 1, ...}
que viene dada por la fórmula
e ^ {\ lambda (n)} = \ frac {LCM (1,2, ..., n)} {LCM (1,2, ..., n-1)}, \,
donde \ Scriptstyle LCM (1,2, ..., n) \,es el mínimo común múltiplo función.
El GCD de todas las células del interior de la TH fila de triángulo de Pascal da la exponencial de la función de von Mangoldt . ( [1] ) \ Scriptstyle n \,

Función de generación de Dirichlet

Ya que tenemos la serie de Dirichlet identidad
{\ Bigg [\ log \ bigg (\ frac {1} {\ zeta (s)} \ bigg)} \ bigg] ^ '= - {\ grande [\ log \ grande (\ zeta (s) \ grande)} \ grande] ^ '= - \ frac {\ zeta ^' (s)} {\ zeta (s)} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ lambda (n)} {n ^ s} , \ \ Re (s)> 1, \,
la función de generación de Dirichlet de la función de von Mangoldt es entonces
D _ {\ {\ lambda (n) \}} (s) = {\ bigg [\ log \ bigg (\ frac {1} {\ zeta (s)} \ bigg)} \ bigg] ^ '= - {\ grande [\ log \ grande (\ zeta (s) \ grande)} \ grande] ^ '= - \ frac {\ zeta ^' (s)} {\ zeta (s)}. \,
D _ {\ {\ mu (n) \}} (s) = \ frac {1} {\ zeta (s)}, \,
así tenemos la siguiente relación entre la función de generación de Dirichlet de la función de von Mangoldt y la función de generación de Dirichlet de la función de Möbius
D _ {\ {\ lambda (n) \}} (s) = {\ grande [\ log \ grandes (D _ {\ {\ mu (n) \}} (s) \ grande)} \ grande] ^ '\ ,


Segunda función de Chebyshov y función de Von Mangoldt
\psi(x) \equiv \ln(m([x])), donde m(n) es el mínimo común múltiplo de los números naturales entre 1 y n. Si hacemos una descomposición de m([x]) en factores primos, encontramos que los únicos números entre 1 y [x] que contribuyen son los de la forma de un número primo elevado a un exponente, porque los demás son compuestos de estos y no contribuyen al mínimo común múltiplo. Podemos sumar la contribución de cada número mediante la función de von Mangoldt \Lambda(n) definida como
\Lambda(n) \equiv \displaystyle \bigg\{ \begin{array}{l} \ln p \quad \mbox{si} \ n = p^e \ \mbox{para p primo y} \ e \in \mathbb{N} \\ 0 \quad \mbox{en caso contrario} \end{array}
Entonces,
\displaystyle \psi(x) = \sum_{n=1}^{[x]} \Lambda(n). (3.7)
Sea la función 1(x) = 1, es fácil ver que
1 \star \Lambda(n) = \ln(n) (3.8)
para valores de n enteros y positivos.
Otra forma de calcular \psi(x) es considerar que solo contribuyen los números primos, en este caso para cada primo p tendremos que multiplicar \ln p por un exponente que será el mayor entero e tal que \displaystyle p^e \le x, esto es \displaystyle e = \bigg[\frac{\ln x}{\ln p}\bigg]. De modo que
\displaystyle \psi(x) = \sum_{p \in P_x} \ln p \bigg[\frac{\ln x}{\ln p}\bigg], (3.9)
donde P_x es el conjunto de los números primos menores o iguales que x.
Dado que para y \ge 1,
\displaystyle [y] \le y \le 2 [y],
tenemos que
\displaystyle \frac{\psi(x)}{\ln x} \le \pi(x) \le 2 \frac{\psi(x)}{\ln x} . (3.10)
Factorial
El factorial de un número es un buen punto de partida porque su comportamiento es conocido y su desarrollo en factores primos lo pondrá en relación con \psi. Para el cálculo asintótico del logaritmo del factorial tenemos la fórmula de Stirling.
\displaystyle \ln([x]!) = x \ln x - x + O(\ln x). (3.11)
Ahora le sacaremos jugo a las propiedades de la convolución, más específicamente de las fórmulas (3.3) y (3.8).
\displaystyle \ln([x]!) = \sum_{n \le x} \ln n = \sum_{n \le x} 1 \star \Lambda(n) = \sum_{n \le x} \Lambda(n) \Big[\frac{x}{n}\Big] = \sum_{n \le x} \psi\Big(\frac{x}{n}\Big). (3.12)
Cotas para \psi(x)
Chebyshov logró acotar la función \psi(x) utilizando su relación con el factorial y las conocidas relaciones asintóticas de este último.
Teorema 3.1 \exists x_0 tal que \forall x>x_0
C_1 x < \psi(x) < C_2 x, (3.13)
para valores C_1 = 0,921 y C_2 = 1,106.
La demostración se lleva a cabo mediante el cálculo de funciones derivadas de T(x) = \ln([x]!). Para ilustrar la metodología primero utilizaré una función sencilla que llega a unas cotas menos ajustadas y luego, mediante una función más complicada se llega a las cotas del enunciado.
La primera función es \displaystyle T_2(x) = T(x) - 2 T(x/2) = \ln\bigg( \frac{[x]!}{([x/2]!)^2}\bigg).
A partir de (3.11), la tendencia asintótica de T_2(x) cuando x \to \infty es x \ln 2 + O( \ln x).
A partir de (3.12)
\displaystyle T_2(x) = \psi(x) - \psi(x/2) + \psi(x/3) - \psi(x/4) + \cdots
= \psi(x) - \{\psi(x/2) - \psi(x/3)\} - \{\psi(x/4) - \psi(x/5)\} - \cdots.
Como la función \psi(x) es no decreciente,
\psi(x) \ge T_2(x) = x \ln 2 + O( \ln x).
Por otra parte,
T_2(x) \ge \psi(x) - \psi(x/2),
y de aquí obtenemos que
\psi(x) = \{ \psi(x) - \psi(x/2) \} + \{ \psi(x/2) - \psi(x/4) \} + \{ \psi(x/4) - \psi(x/8) \} + \cdots \le T_2(x) + T_2(x/2) + T_2(x/4) + T_2(x/8) + \cdots = 2 \ln(2) \ x + O( \ln^2 x)
ya que el número términos distintos de cero en la sucesión T_2(x/2^k) es del orden de \ln x.
En resumen
\ln(2) \ x + O(\ln x) \le \psi(x) \le 2 \ln(2) \ x + O( \ln^2 x).
Dado que \ln 2 es aproximádamente 0,69, las cotas son más pobres que las que demostró Chebyshov.
Para mejorar las cotas utilizaremos una función que ideó Chebyshov.
T_5(x) = T(x) - T(x/2) - T(x/3) - T(x/5) + T(x/30).
La tendencia asintótica de \displaystyle T_5(x) es C x + O( \ln x), con
\displaystyle C = \bigg( \frac{\ln 2}{2} + \frac{\ln 3}{3}+ \frac{\ln 5}{5} - \frac{\ln 30}{30} \bigg).
En cuanto al desarrollo de la ecuación (3.12)
\displaystyle T_5(x) = \sum_{k=1}^\infty \psi\bigg(\frac{x}{k}\bigg) - \psi\bigg(\frac{x}{2 k}\bigg) - \psi\bigg(\frac{x}{3 k}\bigg) - \psi\bigg(\frac{x}{5 k}\bigg) + \psi\bigg(\frac{x}{30 k}\bigg) =
\psi(x) - \psi(x/6) + \psi(x/7) - \psi(x/10) + \psi(x/11) - \psi(x/12) + \psi(x/13) - \psi(x/15) + \psi(x/17) - \psi(x/18) + \psi(x/19) - \psi(x/20) + \psi(x/23) - \psi(x/24) + \psi(x/29) - \psi(x/30) + \cdots
Para el resto de los términos del tipo \psi(x/n) que aparecen en la continuación de la última expresión, n es congruente módulo 30 con alguno de los denominadores que aparece en la expresión, y tienen el mismo signo. Como antes, los signos más y menos se van alternando, de modo que podemos asegurar que
\displaystyle \psi(x) - \psi(x/6) \le T_5(x) \le \psi(x),
y
\displaystyle \psi(x) \le T_5(x) + T_5\bigg(\frac{x}{6}\bigg) + T_5\bigg(\frac{x}{6^2}\bigg) + \cdots = \frac{6}{5} C x + O( \ln^2 x).
Esto supone
C x + O(\ln x) \le \psi(x) \le \frac{6}{5} C x + O( \ln^2 x), (3.14)
o dado que C_1 < C y C_2 > \frac{6}{5} C,
\exists x_0 tal que \forall x>x_0, \quad C_1 x \le \psi(x) \le C_2 x. \clubsuit
Cotas para \pi(x)
Una vez acotada \psi(x), se puede establecer una relación entre \psi(x) y \pi(x) que automáticamente proporciona cotas para \pi(x).
Teorema 3.2
\displaystyle \pi(x) = \frac{\psi(x)}{\ln x} \bigg( 1 + O(\frac{1}{\ln x}) \bigg). (3.15)
De la ecuación (3.10),
\displaystyle \ln x \ \pi(x) - \psi(x) \ge 0.
Por otra parte,
\displaystyle \ln x \ \pi(x) - \psi(x) = \sum_{p \in P_x} \ln x - \sum_{p \in P_x} \ln p \bigg[ \frac{\ln x}{\ln p} \bigg] \le \sum_{p \le \sqrt x} \ln x + \sum_{\sqrt x < p \le x} \ln \bigg(\frac{x}{p} \bigg) = \sum_{p \in P_x} \ln \bigg(\frac{x}{p} \bigg) + O(\sqrt x \ln x)
Utilizando (3.6), (3.10) y (3.13),
\displaystyle \ln x \ \pi(x) - \psi(x) \le \int_{2}^x dt \ \frac{\pi(t)}{t} + O(\sqrt x \ln x) \le 2 \int_{2}^x dt \ \frac{\psi(t)}{t \ln t} + O(\sqrt x \ln x) \le
\displaystyle 2 C_2 \int_{2}^x \frac{dt}{\ln t} + O(\sqrt x \ln x) = O(\frac{x}{\ln x}) = O(\frac{\psi(x)}{\ln x}) . \clubsuit
Como corolario de los dos últimos teoremas se establecen cotas asintóticas para \pi(x).
Corolario 3.3 \exists x_0 tal que \forall x>x_0 ,
\displaystyle C_1 \frac{x}{\ln x} < \pi(x) < C_2 \frac{x}{\ln x} , (3.16).
para valores C_1 = 0,921 y C_2 = 1,106.
Es una consecuencia del teorema anterior y la ecuación (3.14). \clubsuit
Si existe el límite…
La relación entre \pi(x), \psi(x) y \ln(x!) permite establecer que si existe el límite (3.1), su valor solo puede ser la unidad.
Teorema 3.4 Si existe el límite \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x}, su valor es 1.
Sea L  el valor del límite, a partir de (3.15) sabemos que
\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\psi(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x} \bigg\{ 1 + O\Big(\frac{1}{\ln x}\Big) \bigg\} = \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x} = L
Sea \epsilon > 0, \exists x_0 tal que \displaystyle \forall x > x_0, \frac{\psi(x)}{x} > L - \epsilon.
\displaystyle \ln([x]!) = \sum_{m=1}^{x} \psi(x/m) = \sum_{m=1}^{x/x_0} \psi(x/m) + \sum_{m=x/x_0}^{x} O(1) \ge (L-\epsilon) x \ln \frac{x}{x_0} + O(x).
Por otra parte \displaystyle \ln([x]!) = x \ln x + O(x), por lo tanto, \displaystyle L \le 1 + \epsilon, \forall \epsilon>0, de modo que L \le 1.
Del mismo modo, con la cota \displaystyle \frac{\psi(x)}{x} < L + \epsilon se llega a L \ge 1. \clubsuit
Chebyshov pudo acotar los límites superior e inferior de la expresión \displaystyle \frac{\pi(x)}{x / \ln x} cuando x \to \infty obteniendo unos valores cercanos a la unidad y demostrar que si existe un límite de la expresión, su valor es uno. Sin embargo todavía habrían de pasar más de 40 años y abrir un camino completamente diferente antes de que Hadamard y de la Vallée Poussin demostrasen que el límite efectivamente existe. La historia no ha hecho más que empezar y todavía falta un largo camino.
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