Aritmética

Funciones aritméticas

 función de Chebyshov es alguna de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshov ϑ(x) o θ(x) se expresa como:

con el sumatorio comprendiendo todos los números primos p menores que x. La segunda función de Chebyshov  se define como:

donde  es la función de von Mangoldt. Se usa frecuentemente la función de Chebyshov en pruebas relacionadas con los números primos, ya que es más fácil de usar que la función contadora de primos, . Ambas funciones son asintóticas a , lo cual equivale alteorema de los números primos.- .....................................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=115cfe0c01b4928a674198bf5bcdc33350f929f5&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+de+Chebyshov

Polinomios de Chebyshev

Definimos un conjunto de polinomios T_n(x)=cos(nθ) de grado n, donde cosθ=x en el intervalo -1≤x≤1.

Para determinar la forma de estos polinomios recordaremos la fórmula cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

{cos((n+1)θ)=cos(nθ)cosθ−sin(nθ)sinθcos((n−1)θ)=cos(nθ)cosθ+sin(nθ)sinθcos((n+1)θ)+cos((n−1)θ)=2cos(nθ)cosθTn+1(x)+Tn−1(x)=2xTn(x)

Los primeros polinomios son:

T₀(x)=cos(0)=1
T₁(x)=cosθ=x;

El resto de polinomios se obtiene empleando la relación de recurrencia:

T_n+1(x)=2xT_n(x)-T_n-1(x)

T₂(x)=cos(2θ)=2x²-1
T₃(x)=cos(3θ)=2x(2x²-1)-x=4x³-3x
T₄(x)= cos(4θ)=2x(4x³-3x)-( 2x²-1)=8x⁴-8x²+1
T₅(x)= cos(5θ)=2x(8x⁴-8x²+1)-(4x³-3x)=16x⁵-20x³+5x
T₆(x)= .....

Creamos una función recursiva que nos devuelve el valor del polinomio T_n(x) de grado n para valores dados de x.

function y=chebyshev(n,x)
    if n==0
        y=ones(1,length(x));
    elseif n==1
        y=x;
    else
        y=2*x.*chebyshev(n-1,x)-chebyshev(n-2,x);
    end
end

Otra forma equivalente de crear una función que nos devuela el valor del polinomio T_n(x) de grado n para valores dados de x es la siguiente:

function T=chebyshev(n,x)
    m=length(x);
    T=zeros(1,m);
    T1=ones(1,m);
    T2=x;
    for j=2:n
        T=2*x.*T2-T1;
        T1=T2;
        T2=T;
    end    
end

Mediante el siguiente script, representamos gráficamente los polinomios T₁(x), T₂(x), T₃(x), T₄(x) y T₅(x)

x=-1:0.01:1;
color=['b' 'g' 'r' 'm' 'k'];
hold on
for n=1:5
    y=chebyshev(n,x);
    plot(x,y,color(n),'displayName',num2str(n))
end
title('Polinomios de Chebyshev')
xlabel('x')
ylabel('y')
legend('-DynamicLegend','location','Best')
grid on
hold off 

Se puede obtener los polinomios de Chebyshev T₀(x), T₁(x), T₂(x), T₃(x), T₄(x) para valores de x mediante el siguiente código.

n=5;    
x=-1:0.01:1; %vector de valores de x
m=length(x);
T=zeros(m,n);
T(:,1)=ones(1,m);  %T0(x)
T(:,2)=x;          %T1(x)
hold on
for j=3:n           %de T2(x) a T4(x)
    T(:,j)=2*x'.*T(:,j-1)-T(:,j-2);
end

Creamos una función que nos devuelve el vector de los coeficientes, [a₁,a₂,...a_n,a_n+1], (de mayor a menor grado) del polinomio T_n(x).

function p=chebypoly(n) %n es grado 0,1,2...
    p=zeros(n+1,1);
    p1=[1];
    p2=[1 0];
    if n==0
        p=p1;
     elseif n==1
       p=p2;
    else
       for i=2:n
            p=2*[p2 0]-[0 0 p1];
            p1=p2;
            p2=p;
        end   
    end       
end

La función poly2sym de Math Symbolic convierte los coeficientes del polinomio en la expresión algebraicaa₁xⁿ+a₂x^n-1+...a_nx+a_n+1. La función ezplot representa gráficamente los polinomios

hold on
color=['b' 'g' 'r' 'm' 'k'];
for n=1:5
     Tk=poly2sym(chebypoly(n));
     hg=ezplot(Tk,[-1,1]);
     set(hg,'color',color(n))
end
hold off
title('Polinomios de Chebyshev')
xlabel('x')
ylabel('y')
grid on

Propiedades de los polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev están definidos en el intervalo [-1,1].

Simetría

Los polinomios de índice par son funciones pares f(x)=f(-x) y los polinomios de índice impar son funciones impares f(x)=-f(-x)

Raíces

Las raíces del polinomio T_n(x), se obtienen igualando cos(nθ)=0

nθ=(2k−1)π2 k=1,2,3....nθ=(2k−1)π2n k=1,2,3....nxk=cos((2k−1)π2n) k=1,2....n

Observamos que

x1=cos(π2n)xn=cos((2n−1)π2n)=cos(π−π2n)=−x1x2=cos(3π2n)xn−1=cos((2(n−1)−1)π2n)=cos(π−3π2n)=−x2xk=−xn+1−k

Obtenemos las raíces del polinomio T₅(x) de tres formas distintas:

• Mediante la fórmula que hemos deducido anteriormente,
• Mediante la función roots de MATLAB, si disponemos del vector de los coeficientes del polinomio, que calculamos mediante la función chebypoly
• Mediante la función solve de Math Symbolic que nos proporciona las raíces exactas del polinomio

>> k=1:5;
>> cos((2*k-1)*pi/(2*5))
ans =    0.9511    0.5878    0.0000   -0.5878   -0.9511

>> roots(chebypoly(5))
ans =
         0
   -0.9511
   -0.5878
    0.9511
    0.5878

>> T5=poly2sym(chebypoly(5))
T5 =16*x^5 - 20*x^3 + 5*x
>> r=solve(T5)
r =
                        0
  (5^(1/2)/8 + 5/8)^(1/2)
  (5/8 - 5^(1/2)/8)^(1/2)
 -(5^(1/2)/8 + 5/8)^(1/2)
 -(5/8 - 5^(1/2)/8)^(1/2)
>> double(r)
ans =
         0
    0.9511
    0.5878
   -0.9511
   -0.5878

Las raíces del polinomio de grado 5, T₅(x), las representamos mediante puntos de color rojo a lo largo del eje X

n=5;
k=1:n;
ang=(2*k-1)*pi/(2*n);
xk=cos(ang);
yk=sin(ang);
hold on
plot(cosd(1:180),sind(1:180),'b')
for i=1:length(xk)
    line([0,xk(i)],[0,yk(i)])
    hg=line([xk(i),xk(i)],[0,yk(i)]);
    set(hg,'linestyle','--');
end
line([-1,1],[0,0])
plot(xk,0,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
hold off
axis equal
title('Raíces')

Máximos y mínimos

Los extremos (máximo o mínimo) del polinomio T_n(x)=cos(nθ) donde cosθ=x son 1 y -1, respectivamente.

dTn(x)dx=−nsin(nθ)dθdx=nsin(nθ)sinθ

se producen cuando sin(nθ)=0, es decir nθ=kπ, k=1,2…n-1. En las posiciones.

x′k=cos(kπn) k=1,2...n−1

Se excluye k=0 y k=n por que

limθ→0,πsin(nθ)sinθ=n

>> k=1:4;
>> cos(k*pi/5)
ans = 0.8090    0.3090   -0.3090   -0.8090

>> T5=poly2sym(chebypoly(5)) 
T5 =16*x^5 - 20*x^3 + 5*x
>> dT5=diff(T5) %calcula la derivada
dT5 =80*x^4 - 60*x^2 + 5
>> r=solve(dT5)
r =
   5^(1/2)/4 + 1/4
   5^(1/2)/4 - 1/4
   1/4 - 5^(1/2)/4
 - 5^(1/2)/4 - 1/4
>> y=subs(T5,x,r); %valor del polinomio T5 para cada una de las raíces r.
>> simplify(y) 
ans =
 -1
  1
 -1
  1
>> double(r)
ans =
    0.8090
    0.3090
   -0.3090
   -0.8090

Relaciones entre dos polinomiosT_i(x) y T_j(x),

∫−11Ti(x)Tj(x)1−x2−−−−−√dx=⎧⎩⎨⎪⎪0 i≠jπ i=j=0π2 i=j≠0

>> syms x;
>> T5=poly2sym(chebypoly(5))
T5 =16*x^5 - 20*x^3 + 5*x
>> T4=poly2sym(chebypoly(4))
T4 =8*x^4 - 8*x^2 + 1
>> f=T4*T5/sqrt(1-x^2);
>> int(f,x,-1,1)
ans =0
 
>> f=T5*T5/sqrt(1-x^2);
>> int(f,x,-1,1)
ans =pi/2
 
>> f=1/sqrt(1-x^2);
>> int(f,x,-1,1)
ans =pi

Relación de ortogonalidad

Como hemos visto, las raíces del polinomio de grado n, T_n(x) son

xk=cos((2k−1)π2n) k=1,2....n

Sean dos polinomios, T_i(x) y T_j(x), i,j vamos a comprobar que se cumple la siguiente relación que es importante para la aproximación de funciones f(x)

∑k=1nTi(xk)Tj(xk)=⎧⎩⎨⎪⎪0 i≠jn i=j=0n2 i=j≠0

Esta es una relación análoga a la existente en las series de Fourier

n=7;
k=1:n;
xk=cos((2*k-1)*pi/(2*n));
y5=chebyshev(5,xk);
y4=chebyshev(4,xk);
suma=sum(y5.*y4)
suma=sum(y5.*y5)
suma=sum(y4.*y4)

En la ventana de comandos obtenemos el siguiente resultado

suma = -2.4980e-015
suma =    3.5000
suma =    3.5000

De otra forma, mediante la función chebpoly

>> n=7;
>> k=1:n;
>> xk=cos((2*k-1)*pi/(2*n));
>> T5=chebypoly(5);
>> T4=chebypoly(4);
>> suma=sum(polyval(T5,xk).*polyval(T4,xk))
suma = -1.2768e-015
>> suma=sum(polyval(T5,xk).*polyval(T5,xk))
suma =    3.5000
>> suma=sum(polyval(T4,xk).*polyval(T4,xk))
suma =    3.5000

Utilizando Math Symbolic obtenemos valores exactos

>> syms x;
>> T5=poly2sym(chebypoly(5));
>> T4=poly2sym(chebypoly(4));
>> n=sym('7');  %raices del polinomio T7
>> k=1:n;
>> xk=cos((2*k-1)*pi/(2*n));
>> suma=sum(subs(T5,x,xk).*subs(T4,x,xk))
suma =0 
>> suma=sum(subs(T5,x,xk).*subs(T5,x,xk));
>> simplify(suma)
ans =cos(pi/7) - cos((2*pi)/7) + cos((3*pi)/7) + 3
>> double(ans)
ans =    3.5000  %que es n/2
>> suma=sum(subs(T4,x,xk).*subs(T4,x,xk));
>> simplify(suma)
ans =cos((2*pi)/7) - cos(pi/7) - cos((3*pi)/7) + 4
>> double(ans)
ans =    3.5000 %que es n/2