sábado, 6 de junio de 2015

Física matemática

Lagrangiano de la geometría

La densidad lagrangiana para la parte de la geometría está dada por la ec. 3.25
\begin{displaymath} \mathrm{\mathcal{L}}_{geo}=\pi ^{ij}\dot{g}_{ij}+N\sqrt{^{\... ...2-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right) \right] +2N_i\pi _{\mid j}^{ij} \end{displaymath}(4.2)

de la ec. 4.1 se observa que la trimétrica está dada como
\begin{displaymath} g_{ij}=diag\left( e^{V-U},e^{-V-U},e^{-M}\right) \end{displaymath}(4.3)

y su derivada respecto del tiempo será

\begin{displaymath} \dot{g}_{ij}=diag\left( \left( \dot{V}-\dot{U}\right) e^{V-... ...( -\dot{V}%% -\dot{U}\right) e^{-V-U},-\dot{M}e^{-M}\right) \end{displaymath}


El primer término de la ec. 4.2, $\pi ^{ij}\dot{g}_{ij}$ es
$\displaystyle \pi ^{ij}\dot{g}_{ij}$$\textstyle =$$\displaystyle \pi ^{11}\left( \dot{V}-\dot{U}\right) e^{V-U}+\pi ^{22}\left( -\dot{V}-\dot{U}\right) e^{-V-U}-\pi ^{33}\dot{M}e^{-M}$ 
 $\textstyle =$$\displaystyle \left( \pi ^{11}e^{V-U}-\pi ^{22}e^{-V-U}\right) \dot{V}-\left( \pi ^{11}e^{V-U}+\pi ^{22}e^{-V-U}\right) \dot{U}$ 
  $\displaystyle -\pi ^{33}e^{-M}\dot{M}$(4.4)


esta última expresión sugiere la introducción de las siguientes variables
$\displaystyle \pi _{V}$$\textstyle =$$\displaystyle \pi ^{11}e^{V-U}-\pi ^{22}e^{-V-U}$ 
$\displaystyle \pi _{U}$$\textstyle =$$\displaystyle -\pi ^{11}e^{V-U}-\pi ^{22}e^{-V-U}$(4.5)
$\displaystyle \pi _{M}$$\textstyle =$$\displaystyle -\pi ^{33}e^{-M}$ 


sustituyendo estos nuevos momentos en la ec. 4.4 se obtiene que
\begin{displaymath} \pi ^{ij}\dot{g}_{ij}=\pi _{U}\dot{U}+\pi _{V}\dot{V}+\pi _{M}\dot{M} \end{displaymath}(4.6)

De las ecs. 4.5 se puede encontrar que los momentos originales $%% \pi ^{ij}$ en función de los nuevos momentos están dados por
$\displaystyle \pi ^{11}$$\textstyle =$$\displaystyle \frac{1}{2}e^{-V+U}\left( \pi _{V}-\pi _{U}\right)$ 
$\displaystyle \pi ^{22}$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac{1}{2}e^{V+U}\left( \pi _{V}+\pi _{U}\right)$(4.7)
$\displaystyle \pi ^{33}$$\textstyle =$$\displaystyle -e^{-M}\pi _{M}$ 


De la ec. 3.14, se obtiene que $N=\sqrt{-g_{00}},$ es decir
\begin{displaymath} N=e^{-M/2} \end{displaymath}(4.8)

El determinante de la trimétrica es igual a producto de cada uno de los elementos de la matriz diagonal $g_{ij},$ esto es
\begin{displaymath} ^{\left( 3\right) }g=e^{-2U-M} \end{displaymath}(4.9)

El escalar de curvatura $^{\left( 3\right) }R$ se calcula a partir de la ec. 2.31, sumando únicamente sobre las componentes espaciales del tensor de Ricci mixto $R_{i}^{i}$. Al hacer esto se encuentra que
\begin{displaymath} ^{\left( 3\right) }R=\frac{1}{2}e^{M}\left( -3\left( U^{\pr... ...^{\prime }M^{\prime }-\left( V^{\prime }\right) ^{2}\right) \end{displaymath}(4.10)

el cálculo detallado de $^{\left( 3\right) }R$ se puede ver en el Apéndice. Desarrollando el término $\pi _{k}^{k}$ se tiene lo siguiente
$\displaystyle \pi _{k}^{k}$$\textstyle =$$\displaystyle \pi ^{kj}g_{kj}$ 
 $\textstyle =$$\displaystyle \pi ^{11}g_{11}+\pi ^{22}g_{22}+\pi ^{33}g_{33}$(4.11)


sustituyendo $\pi ^{kj}$ por los momentos de las ecs. 4.7, así como los valores de $g_{kj}$, la expresión anterior se convierte en
\begin{displaymath} \pi _{k}^{k}=-\pi _{U}-\pi _{M} \end{displaymath}(4.12)

De la misma manera, el término $\pi ^{ij}\,\pi _{ij}$ toma la forma
$\displaystyle \pi ^{ij}\pi _{ij}$$\textstyle =$$\displaystyle \left( \pi ^{11}g_{11}\right) ^{2}+\left( \pi ^{22}g_{22}\right) ^{2}+\left( \pi ^{33}g_{33}\right) ^{2}$ 
 $\textstyle =$$\displaystyle \frac{1}{2}\pi _{V}^{2}+\frac{1}{2}\pi _{U}^{2}+\pi _{M}^{2}$(4.13)


en donde también se han utilizado las ecs. 4.7. Por último, el término $\pi _{\mid j}^{ij}$ se calcula de la siguiente manera
$\displaystyle \pi _{\mid j}^{ij}$$\textstyle =$$\displaystyle \pi _{,j}^{ij}+\Gamma _{jk}^i\pi ^{jk}$ 
 $\textstyle =$$\displaystyle \pi _{,1}^{i1}+\pi _{,2}^{i2}+\pi _{,3}^{i3}+\Gamma _{11}^i\pi ^{11}+\Gamma _{22}^i\pi ^{22}+\Gamma _{33}^i\pi ^{33}$(4.14)


debido a que $\pi ^{ij}$ depende sólo de $\eta $ y $\mu $ las derivadas con respecto a $x$ e $y$ son idénticas a cero, quedando solamente la que corresponde a $\mu ,$ es decir, $j=3.$ Además, los símbolos de Christoffel diferentes de cero son $\Gamma _{11}^3,$ $\Gamma _{22}^3$ y $%% \Gamma _{33}^3$ (ver Apéndice). De lo anterior se deduce que la única componente diferente de cero de $\pi _{\mid j}^{ij}$ es la que se obtiene cuando $i=3,$ por lo tanto
$\displaystyle \pi _{\mid j}^{3j}$$\textstyle =$$\displaystyle \pi _{,3}^{33}+\Gamma _{11}^3\pi ^{11}+\Gamma _{22}^3\pi ^{22}+\Gamma _{33}^3\pi ^{33}$ 
 $\textstyle =$$\displaystyle \frac 12e^M\left( 2\pi _M^{\prime }+U^{\prime }\pi _U+V^{\prime }\pi _v+M^{\prime }\pi _M\right)$(4.15)


en donde se ha utilizado las ecs. 4.7. Utilizando los resultados de las ecs. 4.6, 4.8, 4.9, 4.10, 4.12, 4.13 y 4.15, al sustituirlos en la ec. 4.2 se tiene que
$\displaystyle \mathcal{L}_{geo}$$\textstyle =$$\displaystyle \pi _U\dot{U}+\pi _V\dot{V}+\pi _M\dot{M}+\frac 12e^{-U}\left[ -3... ...4U^{\prime \prime }+2U^{\prime }M^{\prime }-\left( V^{\prime }\right) ^2\right]$ 
  $\displaystyle +e^U\left( \pi _U\pi _M-\frac 12\pi _V^2-\frac 12\pi _M^2\right) -N_3e^M(2\pi _M^{\prime }+U^{\prime }\pi _U+V^{\prime }\pi _v$ 
  $\displaystyle +M^{\prime }\pi _M)$(4.16)


Esta expresión es la densidad lagrangiana en el espacio vacío, es decir, la parte que involucra a la geometría del espacio.




Lagrangiano de la materia

En esta parte se obtendrá la contribución a la densidad lagrangiana cuando se tiene una fuente. Para resolver el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales 3.32, 3.33, 3.34, con el fin de obtener la densidad lagrangiana de materia, se considera un tensor de energía-momentum para un fluido perfecto [10]
\begin{displaymath}T_{\mu \nu }(x^{\alpha })=(\rho +p)u_{\mu }(x^{\alpha})u_{\nu }(x^{\alpha })+pg_{\mu \nu }\end{displaymath}(4.17)
donde $\rho (x^{\alpha })$ y $p(x^{\alpha })$ son la densidad de materia y la presión de la misma, respectivamente. Ambas cantidades son dependientes de las coordenadas. En esta ecuación, $%%u_{\nu }$ es la velocidad del fluido, la cual cumple con la condición
\begin{displaymath}u_{\nu }u^{\nu }=-1\end{displaymath}(4.18)
En este trabajo se considerará que la velocidad del fluido tiene únicamente dos componentes, que son, $u_{\nu }=(u_0,0,0,u_3)$. Partiendo de la ec. 4.18 se puede despejar una de ellas en función de la otra, para lo cual se tiene que
$\displaystyle g^{\mu \nu }\,u_{\mu }u_{\nu }$$\textstyle =$$\displaystyle -1$ 
$\displaystyle g^{00}\,u_0^2+2g^{0i}u_0u_m+g^{km}u_ku_m-1$$\textstyle =$$\displaystyle 0$(4.19)

De esta ecuación se puede encontrar $u_0$ en función de $u_3$, siendo la expresión general
\begin{displaymath}u_0=\frac{-2g^{0m}u_m\pm \left[ \left( 2g^{0m}u_m\right) ^2......0}\left(1+g^{km}u_ku_m\right) \right] ^{\frac 12}}{2g^{00}}\end{displaymath}(4.20)
y usando las expresiones para la métrica ADM dadas por la ec. 3.14 se obtiene
\begin{displaymath}u_0=N^mu_m\pm \left\{ \left( N^mu_m\right) ^2+N^2\left[ 1+\......frac{N^k\,N^m}{N^2}\right) u_ku_m\right] \right\} ^{\frac 12}\end{displaymath}(4.21)
en nuestro caso, $u_m$ significará sólo la componente 3 de la velocidad, es decir $u_m=u_3$. Al resolver la ec. 3.34, se elige la norma para las funciones como $%%N^m=0$, con lo cual la ecuación anterior se reduce a $u_0=\pm N\left(1+g^{km}u_k\,u_m\right) ^{\frac 12}$. Además, la velocidad contravariante se obtiene de la manera usual, subiendo el índice con la métrica contravariante $g^{km}$, es decir, $u^0=g^{00}\,u_0$, obteniendo que
\begin{displaymath}N\,u^0=\left( 1+g^{km}\,u_k\,u_m\right) ^{\frac 12}\end{displaymath}(4.22)
asimismo, el determinante viene dado por $\sqrt{-^{(4)}g}=N\sqrt{^{(3)}g}$. Se considera también que la ecuación de estado del fluido de materia sea tipo barotrópica, en la cual se cumple que $p=\epsilon \rho $, donde $\epsilon $ es una constante. Escribiendo explícitamente la ec. 3.34 se tiene lo siguiente
$\displaystyle \mathcal{L}_{mat}$$\textstyle =$$\displaystyle -8\pi \int \sqrt{-^{(4)}g}T_{km}d\,g^{km}$ 
 $\textstyle =$$\displaystyle -8\pi \int N\sqrt{^{(3)}g}\rho \left[ (\epsilon +1)u_{k}\,u_{m}+\epsilon\,g_{km}\right] d\,g^{km}$(4.23)

Haciendo el cambio de variable $\tilde{\rho}\equiv Nu^{0}\rho \sqrt{^{(3)}g}$ y utilizando la ec. 4.22 el primer término del integrando queda de la siguiente manera
\begin{displaymath}-8\pi (\epsilon +1)N\tilde{\rho}\int \frac{u_{k}\,u_{m}}{\left(1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{\frac{1}{2}}}\,dg^{km}\end{displaymath}(4.24)
Con el cambio de variable $\chi =\left( 1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{%%\frac{1}{2}}$, se observa que $d\chi =\frac{1}{2}\frac{u_{k}\,u_{m}dg^{km}}{%%\left( {1+g}^{km}u_{k}u_{m}\right) ^{\frac{1}{2}}}$, con lo cual esta primera integral es
\begin{displaymath}-16\pi (\epsilon +1)N\tilde{\rho}\left( 1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{%%\frac{1}{2}}\end{displaymath}(4.25)
Para el segundo integrando de la ec. 4.23, se hace uso del hecho de que la variación de un determinante con respecto a su métrica covariante cumple con la relación $\frac{\delta g}{\delta g_{km}}=g\,g^{km}$. De esto se ve que la variación $\delta \sqrt{g}=-\frac{1}{2}\sqrt{g}%%g_{km}\delta g^{km}$, de aquí se observa que el segundo integrando es el diferencial de la raíz cuadrada del determinante de la trimétrica. Con esto se llega a que el segundo término es
\begin{displaymath}16\pi \epsilon N\rho \sqrt{^{(3)}g}\end{displaymath}(4.26)
De este modo, tomando las ecs. 4.25 y 4.26, la dependencia de la densidad lagrangiana de materia con respecto a la trimétrica viene a ser
\begin{displaymath}\mathcal{L}_{mat}=-16\pi N\tilde{\rho}\left[ (\epsilon +1)\......\left(1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{-\frac{1}{2}}\right]\end{displaymath}(4.27)
Para el término de la variación de $\mathcal{L}_{mat}$ con respecto a $N$, se parte de la ec. 3.32, con la misma norma $N^{m}=0$, con esto se tiene que
\begin{displaymath}\frac{1}{2}N^{3}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial ......t{^{(3)}g}\left[ (\epsilon +1)u_{0}^{2}-N^{2}\epsilon \right]\end{displaymath}(4.28)
usando de nuevo el cambio de variable $\tilde{\rho}$, se llega de nuevo a la ec. 4.27, por lo cual la variación con respecto a $N$ no da nuevos elementos a la densidad lagrangiana. Para la variación de $N^{m}$ se toma la ecuación
\begin{displaymath}\frac{1}{2}N^{2}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial ...... (\epsilon+1)u_{k}u_{m}+\epsilon g_{km}\right] N^{k}\right]\end{displaymath}(4.29)
que se obtiene de combinar la ec. 3.34 en la ec. 3.33. Al integrar esta última ecuación, únicamente se dejan términos lineales en $N^{m}$, los términos cuadráticos o de otro orden son despreciados. La contribución a la densidad lagrangiana proveniente de la variación de los $N^{m}$ queda de la siguiente forma
\begin{displaymath}16\pi \tilde{\rho}(\epsilon +1)u_{m}N^{m}\end{displaymath}(4.30)
Finalmente, la densidad lagrangiana de la materia a considerar en este problema tiene la siguiente forma
$\displaystyle \mathcal{L}_{mat}$$\textstyle =$$\displaystyle -16\pi N\tilde{\rho}\left[ (\epsilon +1)\left(1+g^{km}\,u_{k}\,u......rac{1}{2}}-\epsilon \left(1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{-\frac{1}{2}}\right]$ 
  $\displaystyle +16\pi \tilde{\rho}(\epsilon +1)u_{m}N^{m}$(4.31)

Uniendo el resultado obtenido anteriormente con aquel de la ec. [*], se llega a que la densidad lagrangiana total para este problema es
$\displaystyle \mathcal{L}_{total}$$\textstyle =$$\displaystyle \pi _{U}\dot{U}+\pi _{V}\dot{V}+\pi _{M}\dot{M}%%+Ne^{M/2}\left...... \prime }+2U^{\prime }M^{\prime }-\left( V^{\prime }\right)^{2}\right] \right.$ 
  $\displaystyle \left. +e^{U}\left( \pi _{U}\pi _{M}-\frac{1}{2}\pi _{V}^{2}-\fra......(\epsilon +1)\left(1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{\frac{1}{2}}\right. \right.$ 
  $\displaystyle \left. \left. -\epsilon \left( 1+g^{km}\,u_{k}\,u_{m}\right) ^{-\......M}^{\prime }+U^{\prime }\pi_{U}+V^{\prime }\pi _{v}+M^{\prime }\pi _{M}\right.$ 
  $\displaystyle \left. +16\pi \tilde{\rho}(\epsilon +1)u_{3}\right)$(4.32)
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