Descomposición en 3+1

Se consideran dos hipersuperficies las cuales se etiquetan con los nombres

Un punto en la hipersuperficie

está identificado con otro punto en la hipersuperficie

. La correspondencia entre estos se hace a través de un vector que une dichos puntos y que a su vez da la distancia entre los mismos. Para lograr esto se necesita lo siguiente:

El conocimiento de la trimétrica $g_{ij}\left( t,x,y,z\right) dx^i\,dx^j$ en la hipersuperficie la cual da la distancia entre dos puntos situados sobre ella.
La trimétrica $g_{ij}\left( t+dt,x,y,z\right) dx^i\,dx^j$ en la hipersuperficie .
Una fórmula para la distancia propia entre las hipersuperficies, la cual está dada por

$\begin{displaymath} N\left( t,x,y,z\right) dt \end{displaymath}$ (3.10)

donde es la función lapse. La expresión anterior da la longitud de un vector perpendicular a , que se extiende entre las dos hipersuperficies.
Una fórmula para la distancia (en la hipersuperficie ) a la que se encuentran los puntos que se corresponden mutuamente, que es

$\begin{displaymath} dx^i+N^i\left( t,x,y,z\right) dt \end{displaymath}$ (3.11)

donde es la función shift. El término representa el desplazamiento que se manifiesta cuando los orígenes de los sistemas de coordenadas de las hipersuperficies no están unidos por un vector ortogonal a ambas.

El intervalo invariante entre $x^{\alpha }=\left( t,x^{i}\right)$ y $%% x^{\alpha }+dx^{\alpha }=\left( t+dt,x^{i}+dx^{i}\right)$ está dado por

$\displaystyle ds^{2}$	$\textstyle =$	$\displaystyle g_{ij}\left( dx^{i}+N^{i}dt\right) \left( dx^{j}+N^{j}dx^{j}\right) -\left( Ndt\right) ^{2}$
$\displaystyle ds^{2}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \left( N_{i}N^{i}-N^{2}\right) dt^{2}+2N_{i}dx^{i}dt+g_{ij}dx^{i}dx^{j}$	(3.12)

Puede verse que en el caso de $N^{i}=0$ el elemento de línea tendrá contribuciones de la distancia sobre la hipersuperficie base

y el tiempo propio, pues la evolución de las hipersuperficies es meramente temporal. Comparando la ec. 3.12 con la métrica en cuatro dimensiones se llega a

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{cc} ^{\left( 4\right) }g_{00} & ^{\... ...N^{s}-N^{2} & N_{k} \\ N_{i} & g_{ik} \end{array} \right) \end{displaymath}$

(3.13)

En la ecuación anterior,

son las componentes contravariantes de la función shift. La relación entre las covariantes está dada por $%% N_i=g_{im}\,N^m$ . La relación inversa se expresa como $N^m=g^{ms}\,N_s,$ donde $g^{ms}$ es el inverso de $g_{ms}$ y cumplen con $g^{ms}g_{sk}=\delta _k^m.$ La cuatro-métrica contravariante correspondiente es [5]

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{cc} ^{\left( 4\right) }g^{00} & ^{\... ...m/N^2 \\ N^k/N^2 & g^{km}-N^kN^m/N^2 \end{array} \right) \end{displaymath}$

Principio variacional

Habiendo definido un nuevo conjunto de variables, se puede ahora reescribir el elemento de volumen y el escalar de curvatura con el fin de reformular la acción para el campo gravitacional, la cual está dada por la ec. 3.2. En términos de las variables ADM la acción queda de la forma

$\begin{displaymath} S=\int \int \sqrt{g}N\left( ^{\left( 3\right) }R+K_{ab}K^{a... ...eft( \Delta ^{\lambda }\right) _{;\lambda }\right) d^{3}xdt \end{displaymath}$

(3.15)

En esta ecuación se puede ver que el elemento de volumen queda ahora como

$\begin{displaymath} \sqrt{-^{(4)}g}d^{4}x=N\sqrt{g}d^{3}x\,dt \end{displaymath}$

(3.16)

y que el escalar de curvatura queda expresado en función del escalar de curvatura en tres dimensiones $^{( 3)}R,$ la curvatura extrínseca $%% K_{ab}$ y una divergencia designada por $\left( \Delta ^{\lambda }\right) _{;\lambda }.$

$\begin{displaymath} ^{\left( 4\right) }R= ^{\left( 3\right) }R+K_{ab}K^{ab}-K^{2}+2\left( \Delta ^{\lambda }\right) _{;\lambda } \end{displaymath}$

(3.17)

El cálculo detallado de estas cantidades es tratado en la referencia [9]. Es importante hacer notar el hecho de que no solamente la expresión para el lagrangiano se ha modificado, sino también hay que hacer una nueva interpretación de la acción. En la ec. 3.2 la integral es sobre todo el expacio tiempo. Esto implica que cuando se hace la variación, los términos que están evaluados en la frontera se cancelan, ya que se pide que la variación de la métrica y sus derivadas sea cero en la frontera (métrica asintóticamente minkowskiana). En la ec. 3.15 la interpretación es diferente puesto que se tienen dos integrales diferentes. La primera integral es sobre la hipersuperficie, es decir, que el lagrangiano está dado por una integral sobre la hipersuperficie de la forma

$\begin{displaymath} L=\int \sqrt{^{\left( 3\right) }g}N\left( ^{\left( 3\right)... ...}-K^2+\left( \Delta ^\lambda \right) _{;\lambda }\right) d^3x \end{displaymath}$

(3.18)

por lo que la acción está dada por una integral del lagrangiano entre un tiempo inicial y un tiempo final

$\begin{displaymath} S=\int_{t_0}^{t_1}Ldt \end{displaymath}$

(3.19)

Esto quiere decir que se está especificando la métrica sobre la hipersuperficie inicial

y sobre la final

por lo que la variación será sobre todas la hipersuperficies que conecten a las dos hipersuperficies de los extremos. La divergencia $\left( \Delta ^\lambda \right) _{;\lambda }$ que aparece en la integral se transforma en una integral sobre la frontera de la hipersuperficie. Estos términos no aportan información dinámica alguna y por lo tanto pueden despreciarse.

Formulación hamiltoniana

Hasta ahora se ha obtenido la acción gravitacional de tal manera que al hacer la variación de la misma e igualarla a cero se llega a las ecuaciones de campo en el vacío. Este procedimiento conduce a la obtención de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Si lo que se quiere es tener ecuaciones de primer orden, existen varias formas de lograrlo. Uno de ellos es tomar la acción à la Palatini. [5] El otro camino consiste en definir nuevas variables, los momentos, a partir del lagrangiano; luego tratar de reescribir el lagrangiano en términos de las variables originales y los momentos, tomándolas como variables independientes. Esto duplica el número de variables independientes e involucra la construcción de un hamiltoniano. Para esto se definen los momentos canónicamente conjugados a las seis componentes $g_{ij}$ de la forma siguiente

$\begin{displaymath} \pi ^{ij}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{g}_{ij}} \end{displaymath}$

(3.20)

Los momentos asociados a las variables

y $N^{i}$ serán iguales a cero puesto que la densidad lagrangiana no depende de sus derivadas temporales. El hamiltoniano estará dado por

$\begin{displaymath} H=\int d^{3}x\left( \pi ^{ij}\dot{g}_{ij}-\mathcal{L}\right) \end{displaymath}$

(3.21)

en función de las variables ADM, esta expresión se convierte en

$\displaystyle H$	$\textstyle =$	$\displaystyle \int N\sqrt{^{\left( 3\right) }g}\left( K_{ij}K^{ij}-K^{2}-^{\left( 3\right) }R\right) +N^a\left( 2\pi _{a\mid b}^{b}\right) d^{3}x$
$\displaystyle H$	$\textstyle \equiv$	$\displaystyle \int N\,\mathcal{H}_{0}+N^{i}\,\mathcal{H}_{i}d^{3}x$	(3.22)

donde

$\displaystyle \mathcal{H}_{0}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \sqrt{^{\left( 3\right) }g}\left( K_{ij}K^{ij}-K^{2}-^{\left( 3\right) }R\right)$	(3.23)
$\displaystyle \mathcal{H}_a$	$\textstyle =$	$\displaystyle 2\pi _{a\mid b}^{b}$	(3.24)

la barra '' $\mid$ '' representa la derivada covariante en tres dimensiones. Ahora se puede escribir el lagrangiano a partir de las ecs. 3.21 y 3.22

$\begin{displaymath} \mathcal{L}=\pi ^{ij}\dot{g}_{ij}-N\,\mathcal{H}_{0}+N^{i}\,\mathcal{H}_{i} \end{displaymath}$

(3.25)

La ec. 3.23 se puede escribir en función de los momentos $\pi ^{ij}$ de la siguiente manera

$\begin{displaymath} \mathcal{H}_{0}=-\sqrt{^{\left( 3\right) }g}\left[ ^{\left(... ...( \pi _{k}^{k}\right) ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right) \right] \end{displaymath}$

Lagrangiano de los campos de materia $\mathcal{L}_{mat}$

Al considerar las fuentes del campo gravitacional, es decir, la materia; las ecuaciones de Einstein son

$\begin{displaymath} G_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu } \end{displaymath}$

(3.27)

esta ecuación es la forma covariante de la ec. 2.38. La parte izquierda de la ec. 3.27 se construyó exclusivamene de cantidades que involucran a la geometría del espacio-tiempo. La parte derecha representa la fuente del campo gravitacional. En esta sección se obtendrá la densidad lagrangiana para campos de materia por medio del tensor de momento y energía $T_{\mu \nu }$ , y con la suposición de que esta densidad lagrangiana $\mathcal{L}_{mat}$ no contiene derivadas de la métrica; así, las variaciones de $\mathcal{L}%% _{mat}$ con respecto al tensor métrico $g^{\mu \nu }$ son dadas por derivadas parciales con respecto a la métrica. En otras palabras, el conjunto de ecuaciones diferenciales que debe satisfacer la densidad lagrangiana de materia $\mathcal{L}_{mat}$ están dadas por la siguiente relación

$\begin{displaymath} \frac{\delta \mathcal{L}_{mat}}{\delta {^{(4)}}g^{\mu \nu }}=-8\pi \mathcal{T}_{\mu \nu } \end{displaymath}$

(3.28)

donde $\mathcal{T}_{\mu \nu }=\sqrt{-{^{(4)}}g}T_{\mu \nu }$ nos representa la densidad tensorial de $T_{\mu \nu }$ . De este modo, se puede escribir estas derivadas parciales $\frac{\partial }{\partial {^{(4)}}g^{\mu \nu }}$ en términos de $\frac{\partial }{\partial N}$ , $\frac{\partial }{\partial N^{i}}$ y $\frac{\partial }{\partial g^{ij}}$ , y así construir un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales para $\mathcal{L}_{mat}$ , dependiendo únicamente de las variables $N,N^{i},g^{ij}$ , y de los campos de materia que se contemplan en el tensor $T^{\mu \nu }$ . La métrica contravariante $^{(4)}g^{\mu \nu }$ en términos de las variables ADM se expresa en la ec. 3.14 de donde se puede evaluar directamente las correspondientes derivadas parciales, como se observa a continuación [10]

$\displaystyle \frac \partial {\partial {^{(4)}}g^{00}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \left. \frac{\partial N}{%% \partial {^{(4)}}g^{00}}\right\vert ... ...}g^{00}}\right\vert _{g^{0k}g^{km}}\frac \partial {\partial {%% ^{(3)}}g^{km}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac 12N^3\frac \partial {\partial N}+N^mN^2\frac \partial {\partial N^m}+N^kN^m\frac \partial {\partial {^{(3)}}g^{km}}.$	(3.29)

Los otros términos vienen a ser $\frac \partial {\partial {^{(4)}}%% g^{0m}}$ , $\frac \partial {\partial {^{(4)}}g^{km}}$

$\displaystyle \frac \partial {\partial {^{(4)}}g^{0m}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \left. \frac{\partial N}{%% \partial {^{(4)}}g^{0m}}\right\vert ... ...}g^{0m}}\right\vert _{g^{00}g^{km}}\frac \partial {\partial {%% ^{(3)}}g^{km}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle N^2\frac \partial {\partial N^m}+2N^k\frac \partial {\partial {^{(3)}}%% g^{km}}$	(3.30)
$\displaystyle \frac \partial {\partial {^{(4)}}g^{km}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac \partial {\partial {\ ^{(3)}}g^{km}}$	(3.31)

Usando la ec. 3.28, se puede escribir las expresiones correspondientes a las ecs. 3.29, 3.30 y 3.31, quedando de la siguiente manera

$\displaystyle \frac{1}{2}N^{3}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial N}+N^{... ...ial N^{m}}+N^{k}N^{m}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial {^{(3)}}g^{km}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -8\pi \sqrt{-{^{(4)}}g}T_{00}$	(3.32)
$\displaystyle \frac{1}{2}N^{2}\frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial N^{m}}+N^{k}\frac{%% \partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial {^{(3)}}g^{km}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -8\pi \sqrt{-{^{(4)}}%% g}T_{0m}$	(3.33)
$\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}_{mat}}{\partial {^{(3)}}g^{km}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -8\pi \sqrt{-{%% ^{(4)}}g}T_{km}$