Derivada covariante

Se considera que $A^i=a_{i^{\prime }}^iA^{i^{\prime }}.$ Tomando la derivada ordinaria se tiene

$\begin{displaymath} dA^i=d\left( a_{i^{\prime }}^i\right) A^{i^{\prime }}+a_{i^{\prime }}^idA^{i^{\prime }} \end{displaymath}$

(2.20)

si las componentes no cambian, entonces $dA^{i^{\prime }}=0$ y

es debido sólo al desplazamiento paralelo; por lo tanto $d\left( a_{i^{\prime }}^i\right) A^{i^{\prime }}=\delta A^i.$ Entonces,

$\displaystyle a_{i^{\prime }}^idA^{i^{\prime }}$	$\textstyle =$	$\displaystyle dA^i-\delta A^i$
$\displaystyle dA^{i^{\prime }}$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right)$	(2.21)

para un sistema estrellado, $dA^{i^{\prime }}=a_{i^{*}}^{i^{\prime }}\left( dA^{i^{*}}-\delta A^{i^{*}}\right)$ que al igualarlos da

$\displaystyle a_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_{i^{}}^{i^{\prime }}\left( dA^{i^{}}-\delta A^{i^{*}}\right)$
$\displaystyle a_{i^{\prime }}^ja_i^{i^{\prime }}\left( dA^i-\delta A^i\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_{i^{\prime }}^ja_{i^{}}^{i^{\prime }}\left( dA^{i^{}}-\delta A^{i^{*}}\right)$
$\displaystyle \left( dA^i-\delta A^i\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_{i^{}}^j\left( dA^{i^{}}-\delta A^{i^{*}}\right)$	(2.22)

de esta última ecuación, se ve que la magnitud entre paréntesis se transforma como un vector, por lo tanto es un vector, designado como

$\begin{displaymath} DA^i=dA^i-\delta A^i \end{displaymath}$

(2.23)

Esta diferencia da el cambio en el vector debido a las características curvilíneas del sistema de coordenadas, dejando el cambio real en el vector. La ec. 2.23 se puede escribir como [3]

$\begin{displaymath} DA^i=\left( \frac{dA^i}{dx^j}+\Gamma _{jk}^iA^k\right) dx^j \end{displaymath}$

(2.24)

la cantidad entre paréntesis es un tensor mixto llamado derivada covariante. La ec. 2.24 puede escribirse de la forma siguiente:

$\begin{displaymath} A_{;j}^i=A_{,j}^i+\Gamma _{jk}^iA^k \end{displaymath}$

(2.25)

donde el punto y coma representa la derivada covariante. De la misma forma, para un vector covariante se tiene

$\begin{displaymath} A_{i;j}=A_{i,j}-\Gamma _{ij}^kA_k \end{displaymath}$

(2.26)

Todos los conceptos anteriores se pueden generalizar fácilmente para la geometría del espacio-tiempo, simplemente haciendo las sumatorias sobre cuatro dimensiones.

Tensor de Riemann, tensor de Ricci y escalar de curvatura

El tensor de Riemann se obtiene de la siguiente expresión

$\begin{displaymath} \left[ \nabla _{\nu },\nabla _{\mu }\right] A_{\beta %% }\equiv R_{\beta \mu \nu }^{\alpha }A_{\alpha } \end{displaymath}$

(2.27)

donde $\nabla _{\nu }$ es la derivada covariante respecto de $x^{\nu }$ y $\left[ \nabla _{\nu },\nabla _{\mu }\right]$ $%% =\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }$ . El tensor de Riemann $R_{\beta \mu \nu }^{\alpha}$ se puede interpretar como una medida de la no conmutatividad de la derivada covariante. Este tensor puede ser obtenido a partir de los símbolos de Christoffel y sus derivadas [5]

$\begin{displaymath} R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \delta ,\... ...-\Gamma _{\mu \delta }^{\alpha }\Gamma _{\beta \gamma }^{\mu} \end{displaymath}$

(2.28)

Al bajar el índice contravariante del tensor de Riemann se obtiene el tensor de curvatura, dado como

$\begin{displaymath} R_{\sigma \beta \gamma \delta }=g_{\sigma \alpha }R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha } \end{displaymath}$

(2.29)

El tensor de Riemann tiene 256 componentes pero no todas son independientes debido a las simetrías que presenta este tensor. Algunas de ellas son $%% R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }=-R_{\beta \delta \gamma }^{\alpha }$ y $R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }+R_{\gamma \delta \beta }^{\alpha }+R_{\delta \beta \gamma }^{\alpha }=0$ El tensor de Ricci de encuentra contrayendo en tensor de Riemann de la siguiente manera

$\begin{displaymath} R_{\mu \nu }=R_{\mu \alpha \nu }^{\alpha } \end{displaymath}$

(2.30)

La elección del índice covariante a contraer no es fija. En este trabajo se toma la definición dada en la ecuación anterior. [5] Otra forma de expresar la curvatura del espacio-tiempo es mediante el escalar de curvatura, que es

$\begin{displaymath} R=R_{\alpha }^{\alpha }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu } \end{displaymath}$

(2.31)

en donde $g^{\mu \nu }$ es el tensor métrico contravariante y satisface la relación $g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }.$

Identidades de Bianchi

El principio, Einstein supuso que el tensor de Ricci se debía igualar al tensor de materia; de esta manera la materia sería la fuente de la gravedad. Esto no funcionó ya que la divergencia del tensor de materia se hace cero y la del tensor de Ricci no siempre lo es. Para encontrar un tensor que cumpliera con la condición anterior se recurre a las identidades de Bianchi, que son satisfechas por la derivada covariante del tensor de curvatura

$\begin{displaymath} R_{\mu \nu \rho \sigma ;\tau }+R_{\mu \nu \sigma \tau ;\rho }+R_{\mu \nu \tau \rho ;\sigma }=0 \end{displaymath}$

(2.32)

Estas identidades forman un conjunto de 1024 ecuaciones de la cuales la mayoría no dice nada. Esencialmente son 24 identidades que no son triviales. Multiplicando la ec. 2.32 por $g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }$ y usando la difinición del tensor de Ricci y de escalar de curvatura, junto con las propiedades de simetría del tensor de Riemann se llega a que [6]

$\displaystyle R_{;\tau }-R_{\tau ;\mu }^\mu -R_{\tau ;\nu }^\nu$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left( Rg_\tau ^\nu -2R_\tau ^\nu \right) _{;\nu }$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(2.33)

lo cual define el tensor de Einstein $G^{\mu \nu }=R^{\mu \nu }-\frac 12g^{\mu \nu }R.$ Por igualdad, este tensor satisface la condición de divergencia $G_{;\nu }^{\mu \nu }=0.$

Tensor de momentum y energía

El postulado de Einstein para el espacio vacío establece que

$\begin{displaymath}R^{\mu \nu }=0\end{displaymath}$

(2.34)

esta ecuación describe el campo gravitacional en ausencia de materia. Para poder considerar la fuente del campo gravitacional es necesario incluir a la materia en las ecuaciones. En electrostática, se cumple la ecuación de Laplace para el campo eléctrico en el vacío, esto es $\nabla ^2\phi =0.$ Cuando se considera una distribución de carga la ecuación de Laplace se convierte en la ecuación de Poisson, $\nabla^2\phi =\rho /\varepsilon _0.$ Además, la carga cumple con la ecuación de continuidad dada por [7]

$\begin{displaymath}\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0\end{displaymath}$

(2.35)

la cual expresa la conservación de la carga. Para introducir la materia en la ec. 2.34, se utiliza la identidad de Bianchi dada por la ec. 2.32, de la cual se obtiene el tensor de Einstein $G^{\mu \nu }.$ Por analogía con la electrostática, se postula que

$\begin{displaymath}G^{\mu \nu }=\chi T^{\mu \nu }\end{displaymath}$

(2.36)

donde $\chi$ es una constante y $T^{\mu \nu }$ es el tensor de momentum y energía. En la sección anterior se vio que el tensor de Einstein cumple que $G_{;\nu }^{\mu \nu }=0,$ por lo tanto, el tensor de momentum y energía también cumple la misma propiedad, es decir,

$\begin{displaymath}T_{;\nu }^{\mu \nu }=0\end{displaymath}$

(2.37)

esta ecuación es el análogo a la ecuación de continuidad 2.35. Es importante notar que la ec. 2.37 no se hubiera obtenido de la ec. 2.34 y es consecuencia de la ec. 2.32. Si en la ec. 2.36 se hace que la constante de proporcionalidad sea igual a $8\pi G,$ donde

es la constante de gravitación universal; se obtiene

$\begin{displaymath}G^{\mu \nu }=8\pi GT^{\mu \nu }\end{displaymath}$

(2.38)

esta es la forma más general de la ecuación de campo de Einstein y muestra la relación entre la materia y la curvatura del espacio-tiempo. [6] Otra forma alternativa de escribir 2.38 y que involucre al tensor de Ricci es

$\begin{displaymath}R^{\mu \nu }=8\pi G\left( T^{\mu \nu }-\frac 12g^{\mu \nu }T\right)\end{displaymath}$