sábado, 6 de junio de 2015

Física matemática

Métrica del espacio-tiempo

En el espacio tridimensional, se puede expresar las coordenadas cartesianas $%% x,$ $y,$ $z$ como función de otras coordenadas generales $x^{i},$ de modo que las primera son función de éstas últimas. De esta manera, en forma general, se obtiene que el tensor métrico es
\begin{displaymath} g_{ij}=\frac{\partial x}{\partial x^{i}}\frac{\partial x}{\... ...partial z}{\partial x^{i}}\frac{\partial z}{\partial x^{j}} \end{displaymath}(1.9)

En un espacio plano o euclideano $g_{ij}=\delta _{ij},$ donde $\delta _{ij}=1 $ si $i=j$ y $\delta _{ij}=0$ si $i\neq j.$ En este caso la métrica es $ds^2=\left( dx^1\right) ^2+\left( dx^2\right) ^2+\left( dx^3\right) ^2.$ Este concepto se puede extender al espacio-tiempo de cuatro dimensiones sin ningún problema, utilizando coordenadas $x^{\mu}$ para describir los eventos. En cuatro dimensiones el tensor métrico tendrá 16 componentes, de las cuales 10 son independientes en virtud de que este tensor es simétrico, es decir, $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }.$ Es importante notar que en el espacio euclideano tridimensional, $g_{ij}$ simpre puede ser reducido a $\delta _{ij}$ en todo el espacio. En el espacio-tiempo generalmente es posible hacer lo mismo, aunque sólo localmente; es decir, reducir $g_{\mu \nu }$ a $\eta _{\mu \nu }.$ Por lo tanto, en presencia de un campo gravitacional no es posible cubrir todo el espacio con un único marco inercial. Además en el espacio euclideano la distancia que separa a dos puntos siempre es mayor que cero. Esto no sucede en el espacio-tiempo, en donde la distancia entre dos eventos puede ser positiva, negativa o cero. Una separación positiva expresa la posibilidad de que los dos eventos estén conectados causalmente y se puede encontrar un marco de referencia en el cual los eventos ocurran en el mismo lugar. Si la separación es negativa, los eventos no están conectados causalmente y uno no puede influir en el otro. Se puede encontrar un marco de referencia en donde estos eventos sean simultáneos. El caso en que la separación entre eventos sea cero se satisface sólo para una señal electromagnética o un pulso de luz, que viaje entre los dos eventos.


Sistemas uniformemente acelerados

La relatividad especial se puede utilizar para describir los eventos tal como son vistos por un observador en un marco de referencia acelerado. Para este propósito se considera que el sistema $S$ se mueve con una partícula de masa $m_0$ a lo largo del eje $x$ positivo del sistema $%% S^{\prime }$. La partícula se somete a una fuerza $F=m_0g$ en dirección del eje $x$. La ecuación de movimiento para dicha partícula será
$\displaystyle \frac{dp_{x^{\prime }}}{dt^{\prime }}$$\textstyle =$$\displaystyle m_0g$ 
$\displaystyle \frac d{d\tau ^{\prime }}\left( \gamma m_0\beta \right)$$\textstyle =$$\displaystyle m_0\frac g{c^2}$(2.1)
$\displaystyle d\left( \gamma \beta \right)$$\textstyle =$$\displaystyle \frac g{c^2}d\tau ^{\prime }$ 


en donde $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, $\tau ^{\prime }=ct^{\prime }$ y $%% \beta =v/c$ corresponde a la velocidad instantánea entre $S$ y $%% S^{\prime }$. La última de las ecs. 2.1 se puede integrar directamente. En el primer miembro la variable es la velocidad $\beta ,$ la cual se valúa desde cero hasta un valor $\beta .$ En el segundo miembro la variable $\tau ^{\prime }$ se valúa, de igual manera, desde cero a un tiempo $\tau ^{\prime }.$ Con esto se llega a que2.1
$\displaystyle \gamma \beta$$\textstyle =$$\displaystyle \frac g{c^2}\tau ^{\prime }$ 
$\displaystyle \frac \beta {\sqrt{1-\beta ^2}}$$\textstyle =$$\displaystyle \frac g{c^2}\tau ^{\prime }$ 
$\displaystyle \beta$$\textstyle =$$\displaystyle \frac{\kappa \tau ^{\prime }}{\sqrt{\left( \kappa \tau ^{\prime }\right) ^2+1}}$(2.2)


Sustituyendo $\beta =dx^{\prime }/d\tau ^{\prime }$ en la ecuación anterior e integrando sobre $x^{\prime }$ desde una posición $%% x_0^{\prime }$ hasta $x^{\prime }$ y sobre el tiempo desde cero hasta $\tau ^{\prime }$ se obtiene
\begin{displaymath} \kappa x^{\prime }-\kappa x_0^{\prime }=\sqrt{1+\left( \kappa \tau ^{\prime }\right) ^2}-1 \end{displaymath}(2.3)

lo cual se puede escribir como
\begin{displaymath} \kappa x^{\prime }=\sqrt{1+\left( \kappa \tau ^{\prime }\right) ^2}+\kappa x_P^{\prime } \end{displaymath}(2.4)

donde $\kappa x_P^{\prime }=\kappa x_0^{\prime }-1$ y $\kappa =g/c^2$. La ecuación anterior expresa la posición de la partícula como función del tiempo en el sistema $S^{\prime }$. De las ecs. 2.1 y 2.4 se puede deducir que las ecuaciones de transformación entre un sistema acelerado y un sistema inercial son
$\displaystyle x^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac 1\kappa +\left( x+\frac 1\kappa \right) \cosh {\kappa \tau }$ 
$\displaystyle \tau ^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle \left( x+1/\kappa \right) \sinh {\kappa \tau }$(2.5)


De estas ecuaciones se puede obtener el tensor métrico para el sistema acelerado, el cual es
\begin{displaymath} g_{\mu \nu }=\left( \begin{array}{cc} -\left( 1+\kappa x\right) ^{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{displaymath}(2.6)

con esto, la métrica se escribe de la forma
\begin{displaymath} ds^{2}=-\left( 1+\kappa x\right) ^{2}d\tau ^{2}+dx^{2} \end{displaymath}(2.7)

Es importante observar algunos hechos implícitos en esta métrica. Por ejemplo, si $ds^2=0$ se tiene que
$\displaystyle dx^2$$\textstyle =$$\displaystyle \left( 1+\kappa x\right) ^2d\tau ^2$ 
$\displaystyle \beta$$\textstyle =$$\displaystyle 1+\kappa x$(2.8)


es decir, que la velocidad de la luz depende ahora de la posición. Es más, cuando $x=-1/\kappa ,$ se tiene que $\beta =0.$ El evento en $%% x=-1/\kappa $ nunca será observado porque la luz nunca escapa de allí, justo como en la superficie de un agujero negro. Estos hechos parecen contradecir los principios de la relatividad especial pero en realidad no es así, puesto que estos principios se aplican a observadores en marcos de refencia inercial. Las consecuencias de la ec. 2.8 serán verificadas para un observador en un marco acelerado, para el cuál, los principios de la relatividad especial ya no son válidos.


Gravedad y relatividad especial

En el desarrollo de la relatividad especial no se asume la presencia de campos gravitacionales. Existen problemas al tratar de introducir la gravedad en las ecuaciones de la relatividad especial. Por ejemplo, la formulación newtoniana de la gravedad sostiene que
$\displaystyle \frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}}$$\textstyle =$$\displaystyle -\frac{\partial \Phi }{\partial x^{i}}$(2.9)
$\displaystyle \nabla ^{2}\Phi$$\textstyle =$$\displaystyle 4\pi G\rho$(2.10)

En la forma en que están, estas ecuaciones no pueden ser introducidas en la relatividad especial. La ec. 2.9 está en forma tridimensional y tendría que ser modificada a una forma cuadridimensional $d^2x^{\mu}/d\tau ^2$. La ec. 2.10 no es un invariante de Lorentz, ya que aparece el operador tridimensional laplaciano en lugar del operador cuadridimensional d'Alembertiano. Esto significa que el potencial $\Phi $ responde instantáneamente a cambios en la densidad $\rho $ a largas distancias, es decir, que el campo newtoniano se propaga con velocidad infinita. Se ha intentado corregir estos problemas proponiendo que el potencial gravitacional sea un escalar, luego un vector y por último, un tensor simétrico. A pesar de esto, las teorías desarrolladas tienen limitaciones y no concuerdan con las observaciones experimentales. La mejor de las tres es la del tensor simétrico, aunque internamente es inconsistente y no admite soluciones exactas. Estas dificultades han sido estudiadas por Feynman, Weinberg y Deser entre otros. Ellos muestran cómo la teoría del tensor en espacio-tiempo plano puede ser modificada usando la teoría de campos relativista. Al seguir este camino ellos consiguen eliminar la inconsistencias, llegando a la teorí a de la relatividad general de Einstein. Lo anterior implica que no se puede formular una teoría de la gravitación en un espacio-tiempo plano y que ésta misma es una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Para poder describir las propiedades de los espacios curvados, Einstein introdujo en la física los conceptos matemáticos desarrollados por Riemann, los cuales se describen a continuación.


Tensores

Se tiene un sistema de coordenadas primado y uno no primado, tal que $%% x^{i}=x^{i}\left( x^{i^{\prime }}\right) $; la cual es una función real, univaluada y sus derivadas existen. En forma diferencial las ecuaciones son
\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} dx^{i}=a_{i^{\prime }}^{i}dx^{i^{\prime... ... & dx^{i^{\prime }}=a_{i}^{i^{\prime }}dx^{i} \end{array} \end{displaymath}(2.11)

donde
\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} a_{i^{\prime }}^{i}=\frac{\partial x^{i... ...frac{\partial x^{i^{\prime }}}{\partial x^{i}} \end{array} \end{displaymath}(2.12)

$a_{i^{\prime }}^{i}$ y $a_{i}^{i^{\prime }}$ son los coeficientes de transformación y cumplen con la propiedad $a_{i^{\prime }}^{i}a_{j}^{i^{\prime }}=\delta _{j}^{i}$. Un sistema de coordenadas es una manera de identificar puntos en el espacio. Su propósito es nombrar puntos, el de la métrica es conectarlos geométricamente. En el caso de un espacio plano, la distancia entre dos puntos $\left( x^{1},y^{1}\right) $ y $\left( x^{2},y^{2}\right) $ la distancia es $\left[ \left( x^{1}-x^{2}\right) ^{2}+\left( y^{1}-y^{2}\right) ^{2}\right] ^{1/2}$; así, el espacio tiene asignada una métrica. La métrica puede ser asignada diferencialmente mediante $%% g_{ij}$, el tensor métrico. Si en un sistema de coordenadas el tensor métrico es $g_{i^{\prime }j^{\prime }},$ se cumple que $ds^2=g_{i^{\prime }j^{\prime }}dx^{i^{\prime }}dx^{j^{\prime }}.$ El tensor métrico se puede transformar con ayuda de la ec. 2.12. Al hacer esto resulta que
$\displaystyle ds^2$$\textstyle =$$\displaystyle g_{i^{\prime }j^{\prime }}a_i^{i^{\prime }}dx^ia_j^{j^{\prime }}dx^j$ 
$\displaystyle ds^2$$\textstyle =$$\displaystyle g_{ij}dx^idx^j$(2.13)


es decir,
\begin{displaymath} g_{ij}=a_i^{i^{\prime }}a_j^{j^{\prime }}g_{i^{\prime }j^{\prime }} \end{displaymath}(2.14)

En forma general, un tensor se tranforma de esta manera. Si una cantidad dada se transforma de acuerdo a la ec. 2.14, entonces esa cantidad es un tensor. [3] Este tipo de transformaciones se conoce comotransformaciones lineales. La ec. 2.13 puede escribirse así:
\begin{displaymath} ds^{2}=dx_{i}dx^{i} \end{displaymath}(2.15)

donde $dx_{i}=g_{ij}dx^{j}.$ De esta manera se dice que $dx^{i}$ es un intervalo contravariante y $dx_{i}$ es un intervalo covariante . Se puede observar que mediante el tensor métrico es posible subir o bajar (como en este caso) los índices de un vector o un tensor.
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