AMIGOS PARA SIEMPRE: física matemática

Cálculo tensorial

Una densidad tensorial es una generalización del concepto de campo tensorial ordinario.

Ciertas magnitudes pueden ser modelizadas como campos tensoriales, con leyes de transformación tensorial convencionales. Pero también es útil definir magnitudes llamadas "densidades tensoriales" con transformaciones un poco más generales que las de los tensores ordinarios.

Así un tensor de densidad r y rango n o densidad tensorial se transforma como un tensor ordinario bajo transformaciones de coordenadas, excepto que también es multiplicado por el determinante del Jacobiano a la potencia r-ésima:

$\bar{A}^{i_1\dots i_n} = \frac{ \part \bar{x}^{i_1} }{\part x^{k_1}} \dots \frac{\part \bar{x}^{i_n} }{\part x^{k_n}} A^{k_1\dots k_n} \left| \frac{\part(\bar{x}^{i_1}\dots \bar{x}^{i_n})}{\part(x^{k_1}\dots x^{k_n})} \right|^r$

Aunque en este último ejemplo hemos supuesto que la densidad tensorial era del tipo

\scriptstyle \mathcal{T}_0^n

, la definición anterior se generaliza fácilmente a densidades tensoriales de tipo

\scriptstyle \mathcal{T}_r^s

con

\scriptstyle r+s = n

El concepto de densidad tensorial puede explicarse también considerando fibrados vectoriales donde el fibrado determinante del fibrado tangente es un fibrado de línea que se puede utilizar para torcer otros fibrados r veces.

SÍMBOLO ALTERNANTE DE LEVI-CIVITA: DEFINICIÓN, DETERMINANTE, PRODUCTO VECTORIAL, VOLUMEN, CONTRACCIÓN, TRANSFORMACIÓN, DENSIDAD TENSORIAL, DOBLE PRODUCTO VECTORIAL.

Posted by Adrián on julio 18, 2010 · 5 comentarios

Habiendo visto ya toda la teoría de tensores, es importante introducir el símbolo de Levi-Civita como elemento extra para simplificar la expresión de algunas operaciones no lineales como veremos en esta misma entrada.

Definición:

Pese a que el símbolo de Levi-Civita no es un tensor (como demostraremos posteriormente), podemos expresarlo como tal, de modo que sus índices siempre son completamente covariantes o completamente contravariantes, es decir, o es un “tensor” p-0, o es un “tensor” 0-q.

El símbolo de Levi-Civita se define simplemente como un elemento de rango “N” sobre un espacio de “N” grados de libertad totalmente antisimétrico y de modo que, para sus “N” componentes, se cumple:

El número de componentes independientes del símbolo se calcula a partir de la fórmula vista en la última entrada:

, donde “N” es la dimensión y “r” el rango, que en este caso son equivalentes, por lo que nos resulta:

Tan sólo existe una componente independiente en el símbolo, y es la que obtenemos de su definición. Todas las demás componentes se derivan de ella por la propiedad de la antisimetría. Así, para los símbolos de rango 2 y 3 obtenemos:

Valiendo 0 en el resto de las componentes con índices repetidos.

En resumen, el símbolo es una herramienta para seleccionar el signo de las los números a los que acompaña antisimétricamente, por lo que es fundamental su uso para definir los elementos que analizaremos a continuación.

Determinante:

El determinante de un tensor de rango 2 con un índice covariante y otro contravariante se puede expresar cómodamente con el símbolo, y para ver cómo pensemos por ejemplo en el determinante de una matriz cuadrada de dimensión 3:

, si nos fijamos, los índices superiores permanecen constantes, mientras que los inferiores varían cambiando el signo según Levi-Civita, por lo que con notación de Einstein, podemos expresar el determinante de un tensor 1-1 tridimensional como:

Si nos fijamos, al contraer los 3 índices que tenemos, el resultado va a ser un número. Podría pensarse además que va a ser un escalar, pero no es evidente a partir de aquí. Para que un número sea una magnitud escalar tiene que proceder de la contracción de tensores, pero el símbolo de Levi-Civita no es un tensor, y por tanto el determinante de un tensor 1-1 puede variar con el sistema de coordenadas si lo definimos así. Al final de esta entrada, veremos que el determinante es un invariante.

Dado que escribir una ecuación tensorial fijando 3 números como hemos hecho ahora resulta poco elegante, es más habitual expresar el determinante como una doble contracción con Levi-Civita, dividiendo entre el número de veces que aparece cada elemento repetido, que será el factorial de “N”. Así, en un espacio de “N” grados de libertad obtenemos:

Continuando con el debate sobre la invarianza del determinante, aquí se antoja evidente que es condición necesaria para que se cumpla que la contracción del símbolo de Levi-Civita consigo mismo sea un escalar.

Producto Vectorial:

El producto vectorial de vectores también es simple de expresar con notación de Einstein teniendo en cuenta que procede de un determinante. Así pues, si “u” es el producto vectorial de “v” por “w“, en la base de vectores “ei” tendremos:

, que coincide con:

El producto vectorial es una magnitud que se expresa en la base contravariante, y que depende de las componentes de los vectores “v” y “w” en su base covariante. Podemos, además, abreviar la primera expresión si queremos obtener las componentes de la base contravariante por separado:

Dado que Levi-Civita no es un tensor y nuestro resultado depende de él, el producto vectorial es una magnitud sin ningún tipo de covarianza ni contravarianza. Si queremos expresar sus componentes en la base covariante, nos vemos obligados a recurrir a la métrica:

En el caso partícular del espacio, euclídeo, como la métrica es idéntica a la delta de Kronecker, las componentes contravariantes y las covariantes son idénticas:

Abusando de la notación de índices, pues, en el espacio euclídeo tenemos:

Una vez visto todo esto, es posible generalizar el producto vectorial a espacios de “N” dimensiones como un producto de “N-1″ vectores:

Volumen:

El volumen del paralepípedo encerrado por tres vectores “v1“, “v2” y “v3” se definía, como vimos ya en los comienzos de este blog, como el producto escalar de uno de ellos con el producto vectorial de los otros dos. Pongamos por caso:

Si “u” es el producto vectorial entre “v2” y “v3” acabamos de ver que se definiría como:

Y, a su vez, el producto escalar entre “v1” y “u” lo podemos expresar como:

En conclusión, el volumen encerrado entre 3 vectores es la contracción de todos ellos con el símbolo de Levi-Civita. Podemos generalizar esto a “N” dimensiones si consideramos que para el caso bidimensional estaríamos calculando una superficie, y para valores mayores que 3 hipervolúmenes, del siguiente modo:

Como el símbolo aparece sólo una vez en la ecuación, llegamos a la paradójica conclusión de que el volumen de un cuerpo depende de la base de vectores que usemos para describirlo debido a que podríamos hacer algo así como un cambio de escala al realizar una transformación de coordenadas.

Producto Tensorial y Contracción:

Veamos ahora qué sucede si combinamos un símbolo de Levi-Civita consigo mismo parcial o completamente.

Empezaremos por el símbolo de 2 grados de libertad. Si lo multiplicamos tensorialmente por sí mismo obtenemos un tensor de rango 4, el cual, si tenemos en cuenta los distintos valores del signo, si los índices coinciden cada producto tendrá como resultado 1, y si son opuestos tendrá como resultado -1:

Si contraemos los índices “j” y “l”:

, de donde, dado que la delta vale 1 si los índices son iguales, tenemos 2 veces la delta de “i” y “k”, menos otra vez la delta debido a que para que los terminos que restan no se anulen, “i” y “k” tienen que ser iguales, y sólo se puede cumplir uno de los dos cada vez:

Y si además contraemos los índices “i” y “k”:

En el caso de que “N” valga 3, obtendríamos para el producto tensorial:

, y si contraemos “k” y “n”, por argumentos similares a los del caso bidimensional:

Contrayendo ahora “j” y “m” llegamos a:

Y, finalmente, si los contraemos por completo:

Si nos fijamos en los datos que tenemos podemos sacar las conclusiones que nos permitirán generalizar todo esto:

El producto tensorial de dos símbolos de rango “N” produce todas las combinaciones de deltas de Kronecker posibles permutando los índices superiores, cambiando de signo según el símbolo. El número de combinaciones distintas de estas deltas será el factorial de “N”.
A medida que contraemos “n” veces, las deltas se reagrupan como el producto tensorial de los símbolos de “N-n” dimensiones.
El número que multiplica a todas las deltas es el factorial de “n”.

Si recordamos la operación de antisimetrización vista en la entrada anterior, representada mediante corchetes, la n-ésima contracción de símbolos de Levi-Civita de rango “N” se expresará como:

El hecho de que todas las posibles operaciones entre dos símbolos de Levi-Civita se puede expresar como una suma de tensores (la delta de Kronecker), implica que ellas mismas son tensores. Esto quiere decir que siempre que en una ecuación se combinen dos símbolos el resultado será un invariante, y por tanto el determinante de un tensor, como veníamos anunciando, es un invariante.

Transformación:

Veamos qué sucede si cambiamos de coordenadas nuestro símbolo:

, donde al primar el nuevo símbolo expresamos la duda de que sea como siempre. Ahora podemos multiplicar todo tensorialmente por un símbolo con los índices primados arriba:

Y ahora, teniendo en cuenta que:

, llegamos a la conclusión de que:

A partir de aquí, se puede multiplicar por otro símbolo con los índices normales abajo:

Y en esta ocasión, teniendo en cuenta que:

Se llega a que:

Al cambiar de coordenadas, los valores del símbolo de Levi-Civita quedan multiplicados por el determinante de la transformación.

Dado que el volumen se definía con un símbolo de Levi-Civita, una transformación de coordenadas puede implicar un aumento o disminución de volumen idéntico al determinante de la transformación.

Debido a la aparición de este determinante, transformar el símbolo de Levi-Civita implica que deje de serlo. Si queremos que los valores del símbolo sigan siendo “1”, “-1″ y “0” después de la transformación, tenemos que dividir de nuevo entre el determinante. Así pues, como eso es incorrecto tensorialmente hablando, el símbolo de Levi-Civita no es un tensor, sino una densidad tensorial.

Densidad Tensorial:

Decimos que un elemento de rango “r” y dimensión “N” es una densidad tensorial si se transforma dividiendo por el determinante de la transformación (o multiplicando por el determinante de la transformación inversa).

Doble Producto Vectorial:

Para cerrar esta entrada, demostraremos la fórmula del doble producto vectorial en 3 dimensiones en el espacio euclídeo usando el símbolo (y mezclando notaciones con un fuerte abuso del lenguaje). Aplicando dos veces la definición de producto vectorial y expresando el segundo en la base covariante:

Ahora, podemos cambiar todos los índices arriba y abajo según nos apetezca en virtud de que en el espacio euclídeo la base covariante es idéntica a la contravariante: