sábado, 6 de junio de 2015

Física matemática

Cálculo tensorial

 producto tensorial, denotado por \otimes, se puede aplicar en diversos contextos a vectores, matrices, tensores yespacios vectoriales. En cada caso, el significado del símbolo es el mismo: la operación bilineal más general.
Un caso representativo de producto tensorial es el producto de Kronecker de dos matrices cualesquiera, por ejemplo:
\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3 & b_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 & a_1b_4 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 & a_2b_4 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 & a_3b_4 \end{bmatrix}
cuyo rango resultante es igual a 12, dimensión resultante es igual a 3x4.
En este ejemplo el rango denota el número de índices indispensables, mientras que la dimensión cuenta el número de grados de libertad en la matriz que resulta.- .........................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=e6345331d13fe0bca1f283b7f7552067cf6629f2&writer=rdf2latex&return_to=Producto+tensorial


producto tensorial .-...............................:http://netlizama.usach.cl/a3capituloIII.pdf




símbolos de Christoffel, así nombrados por Elwin Bruno Christoffel (1829 - 1900), son expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi-Civita derivada del tensor métrico. Se utilizan los símbolos de Christoffel siempre que se deban realizar cálculos teóricos que implican geometría, pues permiten efectuar cálculos muy complejos sin confusión. Inversamente, la notación formal (sin índices) para la conexión de Levi-Civita, es elegante y permite que los teoremas sean establecidos de un modo breve, pero son casi inútiles para los cálculos prácticos.- ...............................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=63520916acd0a08512cfcdc08f6aefa52fbafa47&writer=rdf2latex&return_to=S%C3%ADmbolos+de+Christoffel

Símbolos de Christoffel

Un vector se desplaza paralelamente cuando no se cambia su magnitud ni dirección. Cuando se desplaza paralelamente un vector en coordenadas cartesianas, las componentes de los vectores permanecen sin cambio alguno. En algunos sistemas de coordenadas esto no es así y al mover un vector paralelamente, de un punto a otro, sus componentes cambian. El símbolo de Christoffel $\Gamma _{ij}^{k}$ se define para facilitar la descripción de los desplazamientos paralelos. Si un vector $A^{i}$ es paralelamente desplazado sobre un intervalo $\delta x^{j},$ el cambio en sus componentes $%%A^{k}$ está determinado por el símbolo de Christoffel:
\begin{displaymath}\delta A^{k}=-\Gamma _{ij}^{k}A^{i}\delta x^{j}\end{displaymath}(2.16)
En forma general, los símbolos de Christoffel se pueden obtener del tensor métrico, de tal forma que
\begin{displaymath}\Gamma _{ij}^{k}=\frac{1}{2}g^{ks}\left( g_{js,i}+g_{si,j}-g_{ij,s}\right)\end{displaymath}(2.17)
donde $g_{ij,s}=\partial g_{ij}/\partial x^{s}$. La ec. 2.16 expresa el cambio en las componentes de un vector contravariante al ser desplazado paralelamente. Una expresión similar se puede encontrar para el caso en que el vector sea covariante. Considerando el hecho que el producto interior de dos vectores es un invariante, se puede decir que
\begin{displaymath}\delta \left( A_{i}B^{i}\right) =0=A_{k}\delta B^{k}+B^{i}\delta A_{i}\end{displaymath}(2.18)
sustituyendo $\delta B^{k}$ de la ec.  2.16 y despejando $\delta A_{i}$ se obtiene que
\begin{displaymath}\delta A_{i}=\Gamma _{ij}^{k}A_{k}\delta x^{j}\end{displaymath}(2.19)
Es importante observar que $\delta A^k$ y $\delta A_k$ no son vectores debido a que $\Gamma $ no es un tensor. En coordenadas cartesianas $\delta A^k$ es igual a cero pero no lo es en coordenadas polares. Un vector que es cero en un sistema de coordenadas no puede ser diferente de cero en otro sistema. El mismo argumento se aplica a los símbolos de Christoffel. En un sistema cartesiano éstos son iguales a cero, pero no lo son en coodenadas polares.

$x,$ $y,$ $z$Coordenadas cartesianas
$v,$ $\beta $Velocidad de una partícula
$t,$ $\tau $Tiempo
$x^{\prime },$ $y^{\prime },$ $z^{\prime }$Coordenadas de un sistema primado
$m,$ $m_0$Masa
$\mathbf{F,}$ $F$Fuerza
$\mathbf{a,}$ $a$Aceleración
$c$Velocidad de la luz
$s^2$Intervalo invariante
$ds^2$Intervalo invariante infinitesimal o métrica
$^{\left( 4\right) }g_{\mu \nu },$ $g_{\mu \nu }$Tensor métrico en 4 dimensiones
$dx^{\mu}$Desplazamiento infinitesimal contravariante en 4 dimensiones
$dx_{\mu}$Desplazamiento infinitesimal covariante en 4 dimensiones
$\eta _{\mu \nu }$Tensor de Lorentz
$x^i$Coordenada contravariante en 3 dimensiones
$x_i$Coordenada covariente en 3 dimensiones
$^{\left( 3\right) }g_{ij},$ $g_{ij}$Tensor métrico en 3 dimensiones
$\delta _{ij}$Delta de Kroneker
$x^{\mu}$Coordenada contravariante en 4 dimensiones
$x_{\mu}$Coordenada covariante en 4 dimensiones
$p$Momentum lineal, presión
$g$Aceleración de la gravedad, determinante del tensor métrico
$\gamma $Factor de Lorentz
$\kappa $Constante
$\Phi $Potencial gravitacional
$\nabla ^2$Operador laplaciano
$G$Constante universal de gravitación
$\rho $Densidad, densidad de carga
$a_{i^{\prime }}^i$Coeficientes de transformación de coordenadas
$\Gamma _{ij}^k$Símbolos de Christoffel
$A_{,i}$Derivada respecto de $x^i$
$\delta $Variación, derivada
$D$Derivada covariante
$\nabla _{\mu}$, $A_{;\mu }$Derivada covariente respecto de $%% x^{\mu}$
$R_{\beta \mu \nu }^{\alpha}$Tensor de Riemann
$R_{\alpha \beta \mu \nu }$Tensor de curvatura
$R_{\mu \nu }$Tensor de Ricci
$R$Escalar de curvatura
$G^{\mu \nu }$Tensor de Einstein
$\phi $Potencial electrostático
$\epsilon _0$Constante de permitivida en el vacío
$\mathbf{j}$Densidad de corriente eléctrica
$\chi $Constante
$T^{\mu \nu }$Tensor de momentum y energía
$T$Traza del tensor de momentum y energía
$\mathcal{L}$Densidad lagrangiana
$S$Acción
$N$Función de desplazamiento (shift)
$N^i$Función de intervalo (lapse)
$K_{ij}$Tensor de curvatura extrínseca
$\mathcal{H}$Densidad hamiltoniana
$\pi ^{ij}$Momentos canónicos conjugados a $g_{ij}$
$\dot{M}$Derivada de $M$ respecto del tiempo
$M^{\prime }$Derivada de $M$ respecto de $z$
$^{\left( 3\right) }R$Escalar de curvatura en 3 dimensiones
$K$Escalar de curvatura extrínseca
$L$Lagrangiano
$H$Hamiltoniano
$A_{\mid k}$Derivada covariante respecto de $x^k$ en 3 dimensiones
$\mathcal{T}_{\mu \nu }$Densidad tensorial de momentum y energía
$M,$ $U,$ $V$Campos
$u_{\nu}$Velocidad de un fluido
$\epsilon $Constante
$\tilde{\rho}$Densidad
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