sábado, 6 de junio de 2015

Física matemática


Primeras ideas de relatividad

Un sistema de referencia inercial se define como aquel en el cual se cumple la primera ley de Newton. Esta ley establece que un cuerpo sobre el cual actúe una fuerza externa neta igual a cero se moverá con velocidad constante. La relación existente entre las coordenadas de dos sistemas inerciales en movimiento relativo está dada por las transformaciones de Galileo para el movimiento en una dimensión
$\displaystyle x^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle x-vt$ 
$\displaystyle y^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle y$ 
$\displaystyle z^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle z$(1.1)
$\displaystyle t^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle t$ 


Una de las particularidades de este tipo de transformaciones es que el parámetro $t$ es el mismo en cualquier sistema de coordenadas. De estas ecuaciones se deriva que la aceleración de una partícula medida en ambos sistemas es la misma. En física clásica, el movimiento del sistema de referencia no influye en la masa de la partícula. Por lo tanto, la cantidad $m\mathbf{a}$ es igual para todos, es decir, $\mathbf{F=}m\mathbf{a}$ y $\mathbf{F}^{\prime }{=}m\mathbf{a}^{\prime }.$De esto se concluye que $\mathbf{F}^{\prime }=\mathbf{F}.$ Las leyes newtonianas del movimiento y las ecuaciones de movimiento de una partícula son exactamente iguales en todos los sistemas inerciales. Lo mismo se puede decir de los principios de conservación, puesto que son derivables de las leyes de Newton. Esto significa que las leyes de la mecánica clásica son iguales en todos los sistemas inerciales. Lo anterior implica que ningún experimento mecánico efectuado dentro de un sistema inercial, puede indicarle al observador cuál es el movimiento de dicho sistema con respecto a cualquier otro sistema inercial. Del mismo modo, no hay forma de determinar una velocidad absoluta en un sistema inercial de referencia a partir de experimentos mecánicos. Al hecho de que sólo se puede hablar de velocidad relativa de un sistema con respecto al otro y no a la velocidad absoluta de un sistema, se le llama relatividad newtoniana. [1] A principios de este siglo se encontró que las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético no obedecían el principio de la relatividad newtoniana, es decir, que no eran invariantes ante las tranformaciones de Galileo. Esto quiere decir que los fenómenos electromagnéticos en una nave en movimiento serían diferentes de aquellos que se presentan en una nave estacionaria. Lo anterior implica que usando fenómenos electromagnéticos se podría determinar la velocidad absoluta de la nave. Una de las consecuencias de la ecuaciones de Maxwell es que la luz se propaga en todas direcciones a la misma velocidad $c$. Además, si la fuente que emite la luz está en movimiento, la luz seguirá propagándose con la misma velocidad $c$, lo cual contradice las leyes de transformación de Galileo. Esto hizo necesario buscar otro tipo de transformaciones que dejarán invariantes las ecuaciones de Maxwell. En 1903, Lorentz propuso otras leyes de transformación y las aplicó a dichas ecuaciones, encontrando que éstas permanecían invariantes. Las ecuaciones de transformación de Lorentz son las siguientes
$\displaystyle x^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 
$\displaystyle y^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle y$ 
$\displaystyle z^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle z$(1.2)
$\displaystyle t^{\prime }$$\textstyle =$$\displaystyle \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 


En 1905, Einstein generalizó el principio de la relatividad newtoniana a toda la física estableciendo lo que se conoce como los postulados de la relatividad especial:
  1. Todos los marcos de referencia incercial son equivalentes para todos los experimentos.
  2. La velocidad de la luz es constante en cualquier marco de referencia inercial.
La idea de Einstein era evitar las inconsistencias entre las ecuaciones de Maxwell y las transformaciones de Galileo. La relación correcta entre espacio y tiempo estaría dada por las ecuaciones de Lorentz.

Intervalo de espacio-tiempo

Sea $E$ un evento con coordenadas $\left( x,y,z,t\right) $ en el sistema $S.$ Este mismo evento visto desde un sistema de coordenadas $S^{\prime }$ que se mueve con una velocidad relativa en la dirección del eje $x$ del sistema $S,$tendrá coordenadas $\left( x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }\right) .$ Asumiendo que en $t=t^{\prime }=0$ un rayo de luz sale del origen de $S,$ en ambos sistemas se cumple que
\begin{displaymath} x^{2}-c^{2}t^{2}=\left( x^{\prime }\right) ^{2}-c^{2}\left( t^{\prime }\right) ^{2}=0 \end{displaymath}(1.3)

Esto se cumple para cualquier evento pero el resultado no siempre es cero. Aplicando las transformaciones de Lorentz se puede demostrar que para cualquier evento $\left( x,y,z,t\right) $ y $\left( x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }\right) $ se cumple que
\begin{displaymath} x^2+y^2+z^2-c^2t^2=\left( x^{\prime }\right) ^2+\left( y^{\... ...ft( z^{\prime }\right) ^2-c^2\left( t^{\prime }\right) ^2=s^2 \end{displaymath}(1.4)

donde $s^2$ es el intervalo de espacio-tiempo y es invariante ante una transformación de Lorentz. Si se consideran dos puntos infinitesimalmente juntos, el cuadrado del intervalo $ds$ entre ellos se conoce comométrica. [3] En forma general, la métrica se expresa como
\begin{displaymath} ds^2=g_{\mu \nu }dx^{\mu}dx^{\nu} \end{displaymath}(1.5)

donde $g_{\mu \nu }$ es el tensor métrico, que se verá en detalle más adelante y $dx^{\alpha}$ es el desplazamientos infinitesimal de la coordenada $x^{\alpha}.$ Los subíndices y superíndices con letras griegas expresan la sumatoria sobre cuatro dimensiones. Aquellos que correspondan a letras latinas denotan sumatoria sobre tres dimensiones. La notación que se adoptará para desplazamientos contravariantes es
$\displaystyle dx^0$$\textstyle =$$\displaystyle dt$ 
$\displaystyle dx^1$$\textstyle =$$\displaystyle dx$(1.6)
$\displaystyle dx^2$$\textstyle =$$\displaystyle dy$ 
$\displaystyle dx^3$$\textstyle =$$\displaystyle dz$ 


En el espacio de la relatividad especial la ec. 1.5 toma la forma
$\displaystyle ds^2$$\textstyle =$$\displaystyle \eta _{\mu \nu }dx^{\mu}dx^{\nu}$(1.7)
$\displaystyle ds^2$$\textstyle =$$\displaystyle -c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ 


aquí, $\eta _{\mu \nu }$ se conoce como tensor de Lorentz y sus valores son
\begin{displaymath} \eta _{\mu \nu }=\left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 &... ...0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{displaymath}(1.8)

De la ec. 1.7 se puede ver que $ds^2$ no siempre es positivo. Existen tres casos posibles. Si $ds^2>0$ el intervalo se denomina espacial, si $ds^2<0$ el intervalo es temporal y si $%% ds^2=0 $ se denomina intervalonulo. Este último es el que corresponde a la trayectoria seguida por un rayo de luz.

Principio de equivalencia

La característica más importante de la gravedad es que no se puede distinguir entre masa inercial y masa gravitacional. La misma idea puede expresarse de forma diferente diciendo que no se puede distinguir entre un campo gravitacional uniforme y un marco uniformemente acelerado. Einstein recurrió a un experimento imaginario para analizar este problema. Se considera un ascensor en reposo respecto a la Tierra. La persona dentro del ascensor observa que todos los objetos están sujetos a una fuerza que tiende a empujarlos hacia el piso del ascensor. El observador puede concluir que los objetos están sujetos a una fuerza externa que los atrae al piso. Si ahora el ascensor se suelta y se deja en caída libre, el observador verá que la fuerza ya no existe y que los objetos ya no tienden a caer al suelo. Es decir, que dentro del ascensor no se puede detectar la presencia de una fuerza gravitacional. Einstein dedujo que ningún tipo de experimento podría determinar si habría o no un campo gravitacional. Esto quiere decir que dentro del ascensor la gravedad ha sido anulada. En otras palabras, se puede encontrar un marco de referencia inercial en el cual los efectos de la gravedad se eliminan en los límites de una región local. La propiedad de la gravedad que permite que ésta sea eliminada localmente es conocida como el principio de equivalencia.

Marcos inerciales locales

Dentro de la mecánica newtoniana, se puede saber si un marco es inercial o no, aplicando la ley de inercia. Sin embargo, nunca se puede tener un laboratorio sin ninguna fuerza externa, ya que la gravedad no puede ser obstruida. Sólo para marcos inerciales locales, en los cuales la ley de inercia sí se aplica, se puede tener un ambiente sin fuerzas externas. Dentro de los límites locales del espacio-tiempo existen infinitos marcos inerciales locales, en los cuales se aplica la relatividad especial. Los marcos inerciales locales son más restringidos y más generales que los marcos inerciales newtonianos. Esto es debido a que un campo gravitacional no es homogéneo en todo el espacio, por este motivo los marcos inerciales locales son aplicables a una región local del espacio y no a toda su extensión.
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