Cálculo de variaciones

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).- ............................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=2307e07c15bd36f2d4b05ca35feb9da6bed3dce4&writer=rdf2latex&return_to=Ecuaciones+de+Euler-Lagrange

Ecuaciones de Lagrange

Barbol

Mayo 2003

Las Ecuaciones de Lagrange (también conocidas como Ecuaciones de Euler-Lagrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.

1 Parámetros de las ecuaciones

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Lagrange son los siguientes:

- Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.
- Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.
$q_{j}$ - Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenada generalizada.
$\dot{q}_{j}$ - Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.
$Q_{j}$ - Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.

2 Formulaciones de las ecuaciones

2.1 Caso general

La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto de partículas es

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j} \end{displaymath}$

(1)

El subíndice

va desde

hasta

, por lo que éstas son

ecuaciones (siendo

el número de grados de libertad del sistema), la resolución de estas

ecuaciones nos darán el estado del sistema en todo instante.

2.2 Caso conservativo

Si en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación (1) ya que:

$\begin{displaymath} Q_{j}=\frac{-\partial V(q_{1}, q_{2}, \cdots , q_{n})}{\partial q_{j}}\equiv \frac{\partial V}{\partial q_{j}} \end{displaymath}$

(2)

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\r... ...partial T}{\partial q_{j}}+\frac{\partial V}{\partial q_{j}}=0 \end{displaymath}$

(3)

Si definimos $L\equiv T-V$ como la función lagrangiana (o lagrangiana, simplemente), la cual es útil introducir de ese modo debido a que $\frac{-\partial V(q_{1}, q_{2}, \dots , q_{n})}{\partial \dot{q}_{j}}=0$ , es decir, debido a que el potencial depende exclusivamente de las coordenadas generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0 \end{displaymath}$

(4)

2.3 Caso continuo

En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad lagrangiana $\mathcal{L}$ , de modo que la lagrangiana sería

$\begin{displaymath}L= \int_{0}^{L} \mathcal{L}dx . \end{displaymath}$

La forma de la densidad lagrangiana es:

$\begin{displaymath} \mathcal{L}=\frac{1}{2} \Big[ \rho \Big( \frac{\partial q}{\... ...\Big) ^{2}-T\Big( \frac{\partial q}{\partial x}\Big) ^{2}\Big] \end{displaymath}$

(5)

Con $\rho$ la densidad del objeto y

la tensión a la que está sometido.

Si denotamos $\dot{q}=\frac{\partial q}{\partial t}$ y $q'=\frac{\partial q}{\partial x}$ podemos escribir las Ecuaciones de Lagrange como:

$\begin{displaymath} \frac{\partial }{\partial t}\Big( \frac{\partial \mathcal{L}... ...l q'}\Big) -\Big( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}\Big) \end{displaymath}$

(6)

3 Teoremas de conservación

Cada simetría en la función lagrangiana de un sistema implica una ley de conservación. Estas simetrías se deben a las coordenadas cíclicas.

Una coordenada cíclica es aquella que no aparece en la lagrangiana, puede ser una coordenada generalizada o una velocidad generalizada.

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) $\Rightarrow$ conservación de la energía.
Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) $\Rightarrow$ conservación del momento lineal.
Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) $\Rightarrow$ conservación del momento angular.

4 Observaciones

Las coordenadas generalizadas del sistema no tienen por que ser distancias, pueden ser ángulos, energías, cargas eléctricas...

Hay infinitos modos diferentes de escoger las coordenadas generalizadas (aunque cada sistema tiene un número fijo de grados de libertad).

En estas ecuaciones desaparece el carácter vectorial. La lagrangiana es un escalar (y por lo tanto es invariante bajo cambios de coordenadas).

La función lagrangiana depende de las coordenadas generalizadas, las velocidades generalizadas y el tiempo, por tanto las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas se tratan de modo independiente, por ejemplo, una derivada con respecto a $q_{j}$ no afectaría a $\dot{q}_{j}$ .

5 Comentarios

Las ecuaciones de Euler-Lagrange surgen de modo natural mediante el cálculo de variaciones y el problema de la braquistócrona. El sentido matemático de la lagrangiana es aquella cantidad que minimiza la acción, así que lo que tenemos aquí es un principio de mínima acción.

Las definiciones de las funciones lagrangianas dadas aquí sólo son válidas dentro de la mecánica clásica, para problemas de relatividad o de electromagnetismo (por poner dos ejemplos) habrá que definir esta función de algún otro modo, que no veremos aquí.

La dinámica de Lagrange no es en absoluto una nueva teoría para la mecánica, los resultados obtenidos por este método han de ser idénticos a los que proporcionan las fórmulas de Newton, lo que varía es el procedimiento para llegar al resultado, mientras que con la mecánica newtoniana se maneja un agente exterior al cuerpo (fuerzas) en la mecánica analítica se manejan magnitudes asociadas al cuerpo (energías).

Obtención de la ecuación de Euler-Lagrange
DIM

Vectores base y recíprocos
Un conjunto de tres vectores µ1,µ2,µ3 no nulos constituyen una base ortogonal si y sólo si son mutuamente ortogonales, es decir:

Si el conjunto de estos vectores es unitario, es decir:

Definiendo un sistema coordenado, al cual llamaremos generalizado, con representación q1,q2,q3. Las coordenadas cartesianas son función de dichas coordenadas generalizadas, esto es:

Entonces el vector de posición r lo podemos expresar como:

A partir de la definición anterior se construye una nueva base de vectores como:

(2)
Este vector base generalizado, en coordenadas cartesianas es:

(3)
Como el vector anterior no es unitario, deberemos dividir entre su propia magnitud, la cual se conoce como coeficiente métrico o factor de escala, y se representa por:

Por lo cual el vector unitario queda expresado como:

(4)
Adicional a esta base existe otra que se conoce como la base recíproca cuyos vectores se representan por , con la siguiente propiedad:

Se observa que el vector  tiene la misma dirección de  pero sus magnitudes son recíprocas:

(5)
Otra forma de escribir al vector recíproco es:

(6)

Componente covariante y contravariante de la velocidad
Bajo la notación de vectores base y recíprocos, el vector velocidad se representa como:

Es claro que el vector velocidad tiene dos formas equivalentes de escribirse, una en función de la base  y otra en función de la base recíproca . La primera forma es:

(7)
Obteniendo el producto punto de los vectores velocidad y base. Tomando en cuenta la ecuación (5), la velocidad es

(8)
El término entre paréntesis es una componente vectorial de la velocidad en la dirección de  , pero se encuentra definida ahora en función de las
coordenadas generalizadas q1,q2,q3 y se le conoce como la componente covariante de la velocidad, es decir:

(9)
En coordenadas cartesianas es:

Realizando el producto punto y sustituyendo v1 ,v2 ,v3 por  nos queda la componente covariante de la velocidad como:

(10)
Observemos que las coordenadas cartesianas x, y, z son funciones de las coordenadas generalizadas q1,q2,q3, pero no son funciones explícitas del tiempo. Por lo que si derivamos cualquiera de ellas respecto de t, aplicando la regla de la cadena, se obtiene:

Es decir que la velocidad en coordenadas generalizadas es:

Podemos ver que el término de la derivada parcial de x, depende de las coordenadas generalizadas, pero no de las velocidades generalizadas  , entonces, si derivamos parcialmente respecto de estas velocidades generalizadas, se obtiene:

(11)
Sustituyendo la ec. (11) en la componente covariante de la velocidad, ec. (10):

(12)
La cual podemos factorizar como un producto punto de la siguiente manera:

Para obtener una relación equivalente derivemos parcialmente el producto punto del vector velocidad por si mismo, respecto de la coordenada generalizada :

Al ser el producto punto conmutativo, los dos términos son iguales, además de que el producto escalar de un vector por si mismo es el vector elevado al cuadrado:

(13)
Así, la componente covariante de la velocidad se puede escribir como:

(14)
Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la masa nos queda, en el lado izquierdo el momento generalizado y en el lado derecho la derivada parcial de la energía cinética respecto de la velocidad generalizada:

(15)
Lo cual nos muestra una metodología de solución de los problemas de mecánica en cualquier sistema de coordenadas, partiendo de una descripción en coordenadas cartesianas, ya que la magnitud de la velocidad total es:

El método opera de la siguiente manera, se describe el movimiento de los objetos que interactúan en un momento t cualquiera a partir de sistema de coordenadas cartesianas fijo. Se derivan las componentes cartesianas respecto del tiempo y finalmente la magnitud de la velocidad es la suma de estas derivadas elevadas al cuadrado. De esta descripción se obtienen las coordenadas generalizadas, que serán los parámetros del movimiento. Al multiplicar esta velocidad generalizada por la masa, nos quedan los momentos generalizados.

Si modificamos la ec. (5), insertando el factor de escala, dentro del paréntesis, se obtiene:

(16)
En la que el producto punto está ahora en función del vector recíproco, el cual se conoce como la componente contravariante del vector velocidad, esta componente se representa por:

(17)
Siguiendo el mismo procedimiento que en la componente covariante, se obtiene:

(18)
Escribiendo las velocidades en coordenadas cartesianas, como derivadas parciales:

<(19)
Se puede ver que esto es solamente la aplicación de la regla de la cadena, por lo que se escribe como:

(20)
Es decir que la componente contravariante de la velocidad es la velocidad generalizada

Aceleraciones covariantes, contravariantes y fuerzas generalizadas
De la misma manera que con la velocidad se obtienen las componentes contravariante y covariante, obtenemos para la aceleración,

En la que si tomamos el resultado de la ec. (11), se expresa como:

Es decir, la aceleración contravariante es igual a la aceleración generalizada. Para la aceleración covariante se tiene:

(21)
Haciendo la derivada respecto del tiempo de la coordenada cartesiana x, y generalizando a las otras coordenadas.

(22)
Despejando la ec. (22) y sustituyendo el resultado obtenido en la ec. (11), se obtiene:

(23)
Agrupando los términos de la aceleración covariante,

(24)
Hagamos la derivada parcial del producto punto del vector velocidad por si mismo, respecto de la coordenada generalizada qi:

(25)
En la que la ec. (25) se simplifica como:

(26)
Sustituyendo en la ec. (24), y utilizando el resultado obtenido en la ec. (13),

(27)
Así, la aceleración covariante queda expresada en función de la velocidad total. Si además multiplicamos ambos lados de la igualdad por la masa, en el lado izquierdo nos queda la fuerza covariante o generalizada, y en el lado derecho una expresión que depende de la energía cinética traslacional (T).

(28)
Escribamos la componente covariante de la fuerza, como el producto punto del vector fuerza y el vector base 

(29)
Si ahora expresamos la fuerza como menos el gradiente de la energía potencial (U):

(30)
Lo que muestra que la componente covariante de la fuerza es menos la derivada parcial de la energía potencial respecto de la coordenada generalizada qi:

(31)
Si ponemos la condición de que se utilicen solo fuerzas conservativas, es decir fuerzas que dependen únicamente de la posición o coordenada generalizada U =U(qi), entonces si derivamos parcialmente la energía potencial respecto de las velocidades generalizadas, se obtiene:

(32)
Rescribiendo la ec. (28) tomando en cuenta la ec. (31),

(33)
Organizando los términos en (33),

(34)
Si en la parte que corresponde a la derivada respecto de la velocidad generalizada sustituimos el resultado obtenido en la ec. (32), el resultado no cambia.

(35)
Si ahora llamamos L = T −U , al termino de la diferencia de energías, se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange, la cual es:

(36)
Esta ecuación, tiene la restricción de que sólo se puede aplicar a fuerzas conservativas, ya que así se incluyó la parcial de la energía potencial respecto de la velocidad generalizada. Si existen pérdidas éstas se reflejan igualando la ecuación de Euler-Lagrange a Qi , donde Qi representa la suma de todas las fuerzas no conservativas.