Magnitudes físicas

Constantes físicas

longitud de Planck (ℓ_P) u hodón (término acuñado en 1926 por Robert Lévi) es la distancia o escala de longitud por debajo de la cual se espera que el espacio deje de tener una geometría clásica. Una medida inferior previsiblemente no puede ser tratada adecuadamente en los modelos de física actuales debido a la aparición de efectos de gravedad cuántica.

La longitud de Planck forma parte del sistema de unidades natural, y se calcula a partir de tres constantes fundamentales: la velocidad de la luz, la constante de Planck y la constante gravitacional. Equivale a la distancia que recorre un fotón, viajando a la velocidad de la luz, en el tiempo de Planck.La longitud de Planck se define como:

^1 2

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, G es la constante de gravitación universal, y  es la Constante de Planck reducida.

Los dos dígitos entre paréntesis son el error estándar estimado, asociado con el valor numérico reportado.En todo el dominio de la física clásica que abarca desde la mecánica newtoniana hasta la teoría de la relatividad general se considera que el espacio es un continuum infinitamente divisible y que visto al microscopio es localmente como el espacio euclídeo.

Sin embargo a escalas de longitud tan increíblemente pequeñas como la longitud de Planck se espera que la concepción clásica del espacio como un continuum localmente euclídeo no sea válida y a esas escalas el espacio de hecho tenga algún tipo de comportamiento probabilístico cuántico. Otra situación en la que se espera que los efectos cuánticos sean importantes es cuando la curvatura escalar de Ricci sea del orden del inverso del cuadrado de la longitud de Planck:

Los previsibles efectos cuánticos cuando la curvatura está cercana a ese valor deberán ser tratados mediante algún tipo de teoría cuántica de la gravitación.

La longitud de Planck (ℓp) es la distancia o escala de longitud por debajo de la cual se espera que el espacio deje de tener una geometría clásica. Una medida inferior previsiblemente no puede ser tratada adecuadamente en los modelos de física actuales debido a la aparición de efectos de gravedadcuántica.

Es razonable sospechar que la teoría de la conciliación de la relatividad general y la teoría cuántica se involucran las tres constantes de c, G y Ћ . Planck tomó nota de que, aparte de factores numéricos hay una forma única de utilizar estas constantes para definir unidades de longitud, tiempo y masa.

La longitud de Planck forma parte del sistema de unidades natural, y se calcula a partir de tres constantes fundamentales, la velocidad de la luz, la constante de Planck y la constante gravitacional. Equivale a la distancia que recorre un fotón, viajando a la velocidad de la luz, en el tiempo de Planck.

Contenido

 [ocultar] 

• 1 Definición
• 2 Estructura cuántica del espacio
• 3 Véase también
• 4 Enlaces externos
• 5 Fuentes

Definición

Este valor de la longitud de Planck se define como la longitud de onda Compton de la partícula masa de Planck:

Nota: Los dos dígitos entre paréntesis denotan la incertidumbre en los últimos dígitos del valor.

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, G es la constante de gravitación universal, y Ћ es la Constante de Planck reducida.

Valor de la constante de Planck

El Valor es muy pequeño cerca de 1,6 * 10 -35 metros. Los físicos han sospechado durante mucho tiempo que la gravedad cuántica será importante para la comprensión de la física en alrededor de esta escala. La razón es muy simple: cualquier cálculo que predice una longitud usando solamente las constantes c, G y Ћ debe dar la longitud de Planck, en su caso, multiplicado por un factor numérico sin importancia como 2 π.

Estructura cuántica del espacio

En el campo de la física clásica que abarca desde la mecánica newtoniana hasta la teoría de la relatividad general se considera que el espacio es continuo infinitamente divisible y que visto al microscopio es localmente como el espacio euclídeo.

En 1900 Planck formuló que la energía se radia en unidades pequeñas separadas denominadas cuantos. Avanzando en el desarrollo de esta teoría, descubrió una constante de naturaleza universal que se conoce como la constante de Planck. La ley de Planck establece que la energía de cada cuanto es igual a la frecuencia de la radiación multiplicada por la constante universal. Los descubrimientos de Planck, que fueron verificados posteriormente por otros científicos, promovieron el nacimiento de un campo totalmente nuevo de la física, conocido como mecánica cuántica.

Al analizar las escalas de longitud tan increíblemente pequeñas como la longitud de Planck se espera que la concepción clásica del espacio como un continuo localmente euclídeo no sea válida y a esas escalas el espacio de hecho tenga algún tipo de comportamiento probabilístico cuántico. Otra situación en la que se espera que los efectos cuánticos sean importantes es cuando la curvatura escalar de Ricci sea del orden del inverso del cuadrado de la longitud de Planck:

[[Image:|thumb|center|373x65px]]

Los previsibles efectos cuánticos cuando la curvatura está cercana a ese valor deberán ser tratados mediante algún tipo de teoría cuántica de la gravitación.

Intentando explorar la escala de Planck

Área: Física — Jueves, 22 de Marzo de 2012

Se intenta explorar experimentalmente la escala de Planck de manera indirecta usando sofisticados equipamientos y nuevas ideas.

Hay un mundo desconocido a la escala espacial más pequeña posible. Tenemos ideas y especulaciones sobre lo que podría ocurrir ahí, pero de seguro no sabemos nada. Depende del candidato a teoría cuántica de gravedad que consideremos.
Una teoría cuántica de la gravedad debería proporcionar la Relatividad General a gran escala, pero explicar las singularidades o el mismo Big Bang. Nos debería describir el espacio-tiempo a la escala de Planck. Pero a esas distancias ninguna de las máquinas más poderosas construidas por la Humanidad, como el LHC, puede explorar lo que sucede. Estudiar esa escala es un desafío tremendo. La longitud de Planck es igual a 1,6 & times;10-35 metros. Si esos 34 ceros no nos parecen suficientes como para describir lo pequeña que es, podemos imaginar una realidad alternativa en la esa longitud mide 1 metro y en ese caso un átomo tendría el tamaño de nuestro universo visible. 
Lo malo es que no tenemos ninguna teoría cuántica de la gravedad fiable. De momento sólo proyectos en los que se puede creer o no. Y aunque la tuviéramos siempre se ha creído que no podríamos comprobar si es correcta con un experimento directo.
El problema es que la cantidad de modelos sobre la realidad que el ser humano puede concebir es muy superior a la realidad del Universo. En otras ramas de la Física fue relativamente fácil avanzar porque los experimentos guiaban por dónde había que ir. Era incluso al revés de lo que sucede ahora, se tenían fenómenos experimentales que no se explicaban con la Física del momento y eso empujaba el desarrollo de nuevas teorías. Quizás no tenemos una teoría cuántica de la gravedad porque no somos tan inteligentes como pensábamos o porque no tenemos experimentos que nos guíen. ¿Hemos mencionado ya que no somos capaces de llegar a la escala de Planck en la que se manifestarían los efectos cuánticos de la gravedad?
Para compensar esa carencia experimental se han propuesto observaciones con el observatorio Fermi de fotones gamma de alta energía que hayan viajado distancias cosmológicas, pero de momento no han dado resultado y posiblemente nunca lo den.
Una idea nueva es usar métodos indirectos para estudiar el efecto de las textura del espacio-tiempo a la escala de Planck, hay varios grupos en el mundo que están trabajando en esta idea. Uno de ellos es una colaboración entre el grupo de Caslav Brukner de la Universidad de Viena y el de Myungshik Kim de Imperial College London y pretenden usar espejos masivos de Planck
Este tipo de experimentos podría comprobar ciertas predicciones de los proyectos a teoría cuántica de la gravedad sobre las que se trabaja o se trabaje en un futuro.
El proyecto se basa en que según el principio de incertidumbre cuando mejor conocemos la posición de un objeto peor conocemos su cantidad de movimiento (producto de la masa por la velocidad o momento) y viceversa. Pero es posible realizar dos medidas consecutivas, una medida sobre la posición de la partícula y otra sobre su momento o al contrario. En sistemas cuánticos estas dos secuencias consecutivas de este tipo de medidas proporcionan resultados experimentales distintos. Pero según las propuestas a teorías cuánticas de la gravedad esta diferencia puede ser alterada dependiendo de la masa del sistema, ya que la longitud de Planck impone un límite inferior a la medida de la distancia. Obviamente este modificación es minúscula, si es que existe, así que hay que ingeniárselas para poderlo medir. Aún así este equipo de investigadores cree que se puede medir en el laboratorio.
El montaje consiste en un láser pulsado que interactúa cuatro veces con un espejo en movimiento y con ello se mide las diferencias entre la primera medida de la posición y después de medir su momento. Este equipo de investigadores ha mostrado que sería posible ver el efecto gracias a la medida óptica de los pulsos y mediante el control preciso de los tiempos y de todas las interacciones. Básicamente es un sistema interferométrico.

Una desviación sobre lo predicho por la Mecánica Cuántica estándar sería muy excitante, pero incluso si no se observa nada al respecto también se tendrá un resultado que también puede ayudar a encontrar nuevas teorías. Otras aproximaciones a teorías cuánticas de la gravedad predicen otros resultados en este tipo de experimento.
El equipo de Graig Hogan (de la Universidad de Chicago y director Fermilab Particle
Astrophysics Center) también trabaja en este mismo campo de tratar de desvelar la estructura del espacio-tiempo. Para ello también usa un sistema interferométrico que la revele. Hogan y su equipo ya están construyendo su “holómetro”, un interferómetro en forma de L con brazos de 40 metros. La ventaja de este sistema frente a LIGO (para la detección de ondas gravitatorias y basado en la misma tecnología) es que sería menos susceptible a problemas de vibraciones y ruidos parásitos al trabajar a frecuencias más altas.
No sabemos si estos experimentos tendrán éxito, pero si lo tuvieran sería fantástico. Por primera vez habría una pequeña luz experimental en la oscuridad teórica de la gravedad cuántica.

Planck enlistó su sistema de unidades “naturales” dándoles valores curiosamente cercanos a los que utilizamos hoy en la actualidad, en un trabajo presentado en mayo de 1899 a la Academia Prusiana de Ciencias bajo el título “Über irreversible Strahlungsvorgänge” aparecido en el volumen 5 de la publicación periódica Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Es importante señalar que al momento de presentar Planck su propuesta la Mecánica Cuántica aún no se había inventado, y el mismo aún no había descubierto, la teoría de la radiación térmica del cuerpo negro (esta sería publicada hasta diciembre de 1900) en donde la constante h hizo su aparición por vez primera y por la cual Planck fue galardonado con el premio Nobel. Tampoco había hecho su aparición la Teoría General de la Relatividad, ni siquiera la Teoría Especial de la Relatividad, y mucho menos se sabía de lo que pudiera ser un agujero negro.

La parte relevante del trabajo (en lo que concierne a las unidades naturales propuestas por Planck) presentado por Planck en 1899 nos dejan alguna confusión sobre cómo pudo concebir sus unidades de longitud, masa, tiempo, temperatura, etc., que el día de hoy definimos utilizando la constante h-barra (la constante de Planck dividida entre 2π conocida también como la constante reducida de Planck) y que son motivadas hoy recurriendo a referencias en la Física Cuántica, en una época en la que no se conocían ni la constante h-barra ni la Física Cuántica. Es interesante notar también que en su trabajo Planck hace referencia a la posibilidad de civilizaciones extraterrestres al asentar en el mismo lo siguiente acerca de sus unidades naturales:

“Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch ausserirdische und ausser menschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als ‘natürliche Maasseinheiten’ bezeichnet werden können.”

“...Estas necesariamente retienen su significado para todos los tiempos y para todas las civilizaciones, inclusive extraterrestres y no-humanoides, y por lo tanto pueden ser designadas como ‘unidades naturales’...”

De hecho Planck propuso no tres sino cinco unidades naturales, agregando la carga eléctrica y la temperatura (esta última a través de la constante de Boltzmann) a las unidades de longitud, masa y tiempo.

En lugar de seguir la línea de argumentación original dada por Planck para justificar su sistema de unidades naturales (cargado de razonamientos que muestran su dominio del electromagnetismo y la termodinámica), seguiremos aquí un enfoque más moderno que ciertamente nos resultará más claro.

Para que la gravedad pueda estar acoplada con la materia se requiere una constante de acoplamiento G, la constante de gravitación universal, la cual tiene unidades de longitud sobre masa. Al considerar la atracción gravitatoria entre dos cuerpos, si uno permite que la Mecánica Cuántica entre en el panorama uno eventualmente se topará con lo que llamamos escala de Planck. Para ello, considérese primero una partícula cuántica que posee cierta masa en reposo m₀y que posee otra propiedad física que llamamos la longitud de onda Compton λ, estando dada la relación entre ambas por la constante de Planck h:

PROBLEMA: Hallar la longitud de onda Compton para un electrón (cuya masa en reposo es 0.511 Mev).

Teniendo la masa en reposo como dato dado, para fines de cálculo resulta conveniente reescribir la relación de la longitud de onda Compton de la manera siguiente:

La cantidad hc que aparece en el numerador es una cantidad tan utilizada que vale la pena asignarle de antemano su valor numérico:

hc = (4.136·10^-15 eV·segundo)(3·10⁸ metros/segundo)

hc = 1.24·10^-6 eV·metro

hc = 1.24·10⁴ eV·Å

Para el electrón su longitud de onda Compton será:

λ = hc/m₀c² = (1.24·10⁴ eV·Å)/(0.511 MeV)

λ = 0.0243 Å

PROBLEMA: Hallar la longitud de onda Compton para un protón (cuya masa en reposo es 938.3 Mev).

Procedemos de manera idéntica a como lo hicimos en el problema anterior:

λ = hc/m₀c² = (1.24·10⁴ eV·Å)/(938.3 MeV)

λ = 1.32·10^-5 Å

Dando por hecho que cada partícula atómica sea capaz de ejercer una atracción gravitacional sobre otra, debemos contender con el hecho de que nuestros conocimientos actuales del mundo sub-atómico nos indican que es imposible fijar con absoluta certeza a cualquier partícula atómica si se considera a dicha partícula como formada por un paquete de onda. Esto es lo que nos dice la Mecánica Cuántica Ondulatoria, a esto es a lo que nos lleva el aspecto ondulatorio de la materia confirmado por numerosos experimentos. Podemos medir la probabilidad de que la partícula atómica se encuentre dentro de cierta región, pero su localización exacta nos será incierta, y esa probabilidad podrá tener una distribución estadística Gaussiana para una sola partícula. Supondremos que la mayor parte de la onda está confinada precisamente dentro de lo que viene siendo la longitud de onda Compton de la partícula.

A continuación considérese que una partícula pueda ser localizada en el espacio tanto como sea posible tomando en cuenta su naturaleza ondulatoria, quedando definido su “alcance” por su longitud de onda Compton (para el paquete de onda mostrado, podemos suponer que la partícula está localizada entre -5 y +5 unidades en el diagrama, con lo cual su longitud de onda Compton sería igual a 10 unidades, siendo esta una onda que se propaga de izquierda a derecha):

En otras palabras, estamos considerando a una partícula con masa m₀ localizada dentro de cierta región del espacio-tiempo con una “longitud de alcance” dada por la longitud de onda Compton de la partícula. Podemos ver de la fórmula que entre mayor sea la masa en reposo m₀ de la partícula, tanto menor será su longitud de onda λ. La longitud de onda Compton (y por ende la incertidumbre de la posición que ocupa una partícula en el espacio-tiempo) se va haciendo más y más pequeña conforme va aumentando la cantidad de masa.

Teniendo lo anterior en mente, si tenemos a dos electrones situados a cierta distancia el uno del otro, los podemos representar como dos “paquetes de onda” que ejercen entre sí una atracción gravitacional:

Hasta aquí podemos reconciliar a la Relatividad General con la naturaleza cuántica de la materia, mientras los electrones no estén “lo suficientemente juntos”. El problema se nos viene encima cuando intentamos juntar a las dos “ondas de materia” dentro de su longitud de onda Compton de modo tal que las regiones de probabilidad que representan la posicion de cada partícula se van traslapando una con otra:

porque en este caso, ¿qué exactamente es lo que está ejerciendo una atracción gravitacional sobre qué? ¿Se trata acaso de una probabilidad ejerciendo una atracción sobre otra? ¿Y qué gravedad puede haber entre dos partículas cuando ambas están completamente traslapadas? ¿Pierden acaso su identidad? Esta situación hipotética de tratar de juntar dos electrones dentro de una región de extensión igual a la de su longitud de Compton se antoja inverosímil porque para poder lograr tal cosa ambos tendría que ocupar, considerados como partículas puntuales, el mismo lugar en el espacio. La única forma de “casi” lograrlo sería revocando la hipótesis de que cada electrón se extiende hasta una distancia igual a su longitud de Compton, suponiendo ahora que cada electrón puede ser confinado a distancias mucho menores que su longitud de Compton. Sin embargo, esto tiene un límite. Sabemos de la Relatividad General que si empujamos a cualquier cantidad fija de materia hacia una región más y más pequeña, eventualmente esta se convertirá en un agujero negro, para lo cual debemos tomar en cuenta el radio de Schwarzschild para el horizonte de evento de un agujero negro que es r_s = 2GM/c².

En el ejemplo mostrado, afortunadamente entra en acción la fuerza repulsiva eléctrica entre los dos electrones sobreponiéndose por vasto margen a la influencia gravitacional que pueda ejercer el uno sobre el otro. Pero tratándose de dos partículas como lo son los neutrones, sin carga eléctrica que los haga repelerse mutuamente, la interrogante se nos viene nuevamente encima.

Aunque alguna vez se propuso la posibilidad de que las partículas sub-atómicas como el electrón, siendo singularidades en la métrica del espacio tiempo g, pudiesen ser agujeros negros, unos cálculos elementales descartan tal posibilidad. De acuerdo con la métrica de Schwarzschild, para el Sol obtenemos un radio de Schwarzschild r_s = 2GM/c² de aproximadamente unos 3 kilómetros, bastante al interior del Sol, razón por la cual al Sol no se le considera un agujero negro ya que para ser un agujero negro tendría que tener toda su masa situada dentro de este radio. Para el Sol, su tamaño mecánico-cuántico, su longitud de onda Compton, es esencialmente cero (no hay mucha incertidumbre sobre la posición en la cual el sol está localizado dentro del sistema solar), pero para el electrón ya vimos arriba que su longitud de onda Compton es de λ ≈ 2.43·10⁻¹² metros. Por otro lado, poniendo números, para un electrón su radio de Schwarzschild r_s resulta ser igual a 1.35·10⁻⁵¹ metros, una distancia ciertamente mucho menor que su longitud de onda Compton de 2.43·10⁻¹² metros. Aunque para un electrón su longitud de onda Compton es una distancia muy pequeña, ciertamente es mucho mayor que su radio de Schwarzschild, de modo tal que desde la perspectiva de la Mecánica Cuántica la mayor parte del electrón está situada fuera de su horizonte de evento. Esta es la razón del por qué a las partículas sub-atómicas, aunque se les considere singularidades en el entramado de espacio-tiempo del Universo, no se les considera que sean agujeros negros.

De los límites que tenemos para el posible “tamaño” del electrón, por el lado máximo 2.43·10⁻¹²metros y por el lado mínimo 1.35·10⁻⁵¹ metros, es natural que despierte en nosotros la sospecha de que pueda haber un tamaño “intermedio” entre estos dos valores, no solo para el electrón sino para cualquier otra partícula, en el cual la Relatividad General y la Mecánica Cuántica se confronten cara a cara. Puesto que el límite máximo representa una condición de la Mecánica Cuántica y el límite mínimo representa una condición de la Relatividad General, esto supondría que la Relatividad General sigue siendo válida a escalas de distancia mucho menores que las distancias en las cuales la Mecánica Cuántica ya está firmemente en control, lo cual no es creíble. La búsqueda de una longitud intermedia en la cual la Relatividad General empieza a verse en aprietos al mostrar la Mecánica Cuántica sus efectos nos lleva a la búsqueda de una longitud crítica que posiblemente pueda ser derivada a partir de constantes físicas fundamentales, tales como la constante de la gravitación universal representando a la Relatividad General, y la constante de Planck representando a la Mecánica Cuántica. Y resulta que las unidades naturales propuestas por Planck, aunque creadas no quizá con esta intención en mente, son precisamente las que cumplen con este objetivo. Para poder seguir adelante, necesitamos fijarnos un criterio que nos sirva de guía. Tal vez el criterio más obvio sea aquél bajo el cual queremos determinar una masa crítica que corresponda a la longitud crítica que estamos buscando, definiéndola como aquella masa para la cual su radio de de Schwarzschild sea del mismo tamaño que su longitud de onda Compton. Este criterio ciertamente pone cara a cara a la Relatividad General con la Mecánica Cuántica. Usando este criterio como guía, podemos definir lo que hoy se conoce como la masa de Planck dada por la fórmula:

y cuyos valores calculados, tanto en unidades de masa convencionales en el sistema de unidades MKS como en su equivalente energético de acuerdo con la relación E = mc² para masa-energía, usando las mediciones que hoy se tienen para las constantes físicas, resultan ser (en la página 480 de su trabajo, Planck obtiene 5.56·10^-5 gramos):

m_p = 2.17644·10^-8 Kilogramos

m_p = 1.220862·10¹⁹GeV/c²

Es importante notar que Planck lo que buscaba era definir una longitud universal a partir de constantes físicas universales, mientras que lo que nosotros buscamos es definir una masa tal que esta masa sea la masa que una partícula debe tener para que su radio de Schwarzschild sea del mismo tamaño que su longitud de onda Compton. Y resulta que ambos criterios conducen a la misma conclusión para el mismo orden de magnitud.