lunes, 10 de diciembre de 2018

ARTÍCULOS Y EJERCICIOS DE FÍSICA

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Barra con traslación y rotación


1 Enunciado

Una barra de longitud L se mueve de modo que su extremo A se desplaza sobre el eje OY con velocidad uniforme v0 y el ángulo que forma la barra con el eje OX es θ = ω0t. En el instante inicial el punto A estaba en el origen y la barra estaba horizontal, es decir θ(0) = 0.
  1. Escribe la expresión que da el vector de posición del punto B.
  2. Encuentra la aceleración del punto B.
  3. Si se cumple L\omega_0=\sqrt{3}v_0, ¿cuánto vale la aceleración tangencial del punto B en el instante t = π / 2ω0?
  4. En ese mismo instante, y con el mismo valor de Lω0, cuánto vale la curvatura de la trayectoria del punto B?

2 Solución

2.1 Vector de posición del punto B

El vector de posición del punto B puede escribirse como
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}.
El punto A se mueve sobre el eje OY con velocidad uniforme. Si en el instante inicial estaba en el origen tenemos
\overrightarrow{OA} = v_0t\,\vec{\jmath}.
El otro vector es
\overrightarrow{AB} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath},
donde, según el enunciado, tenemos θ = ω0t. Por tanto, el vector pedido es
\overrightarrow{OB} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + (v_0t + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}.

2.2 Aceleración del punto B

La velocidad del punto B es
\vec{v}_B = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OB}}{\mathrm{d}t} = -L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (v_0 + L\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath} = -L\omega_0\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + (v_0 + L\omega_0\cos\theta)\,\vec{\jmath}.
Hemos usado \dot{\theta}=\omega_0. Derivamos otra vez respecto al tiempo para obtener la aceleración
\vec{a}_B = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t} = -L\omega_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - L\omega_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath} = -L\omega_0^2\cos\theta\,\vec{\imath} - L\omega_0^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}

2.3 Aceleración tangencial y curvatura

En el instante indicado, t = π / 2ω0, tenemos
θ(π / 2ω0) = π / 2.
La velocidad y la aceleración en ese instante son
\begin{array}{l} \vec{v}_B = -L\omega_0\,\vec{\imath} + v_0\,\vec{\jmath},\\ \vec{a}_B = -L\omega_0^2\,\vec{\jmath}. \end{array}
El enunciado dice que consideremos la situación en que se cumple L\omega_0=\sqrt{3}v_0. Entonces
\begin{array}{l} \vec{v}_B = -\sqrt{3}v_0\,\vec{\imath} + v_0\,\vec{\jmath},\\ \vec{a}_B = -\sqrt{3}v_0\omega_0\,\vec{\jmath}. \end{array}
El módulo de la velocidad es
|\vec{v}_B| = \sqrt{3v_0^2 + v_0^2} = 2v_0.
La aceleración tangencial es
a_T = \dfrac{\vec{a}_B\cdot\vec{v}_B}{|\vec{v}_B|} = \dfrac{-\sqrt{3}v_0^2\omega_0}{2v_0} = -\dfrac{\sqrt{3}v_0\omega_0}{2}.
La aceleración normal en ese instante es
a_N = \sqrt{|\vec{a}_B|^2-a_T^2} = \dfrac{3}{2}v_0\omega_0.
Por lo que la curvatura es
\kappa = \dfrac{a_N}{|\vec{v}_B|^2} = \dfrac{3\omega_0}{8v_0}.




Barra deslizando sobre esquina


1 Enunciado

Una barra (sólido "2") se apoya en una esquina (sólido "1") como se indica en la figura. El punto Ade la barra se mueve sobre una barra fija (también sólido "1") con velocidad constante \vec{v}_0. En el instante indicado en la figura la barra forma un ángulo π / 4 con el eje O1X1. Las preguntas que se plantean a continuación se refieren todas al instante indicado en la figura.
  1. Expresa el vector geométrico \overrightarrow{O_1A}.
  2. Encuentra gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
  3. vector de posición del C.I.R. respecto del origen O1.
  4. Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto A. ¿Cuál es la velocidad \vec{v}^{\,O}_{21}?
  5. Si la barra es homogénea, tiene masa M y longitud L = 2h calcula el momento de inercia de la barra respecto a un eje paralelo al eje O1Z1 que pase por O1.

2 Solución

2.1 Vector geométrico \overrightarrow{O_1A}

Como el ángulo que forma la barra con el eje OX1 es π / 4, la componentes del vector \overrightarrow{OA} son iguales sobre los ejes OX1 y OY1,
\overrightarrow{O_1A} = h\,\vec{\imath}_1 + h\,\vec{\jmath}_1.

2.2 Posición del C.I.R.

Como se indica en la figura de la derecha, la velocidad \vec{v}^{\,A}_{21} es paralela al eje O1X1, mientras que la velocidad \vec{v}^{\,O}_{21} es paralela a la propia barra, pues esta desliza sobre la esquina. Trazando las rectas perpendiculares a las velocidades respectivas en los dos puntos encontramos el C.I.R. I21 en el punto en que se cortan. El vector de posición es
\overrightarrow{O_1I}_{21} = h\,\vec{\imath}_1 - h\,\vec{\jmath}_1.

2.3 Reducción cinemática en A

Hay tres maneras de hacer este apartado: a través del C.I.R., usando que la velocidad \vec{v}^{\,O}_{21} es paralela a la propia barra o usando la condición de equiproyectividad.

2.3.1 Usando el C.I.R.

Al ser un movimiento plano sabemos que el vector rotación es de la forma
\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
Como la velocidad en el C.I.R. es cero tenemos
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}A}.
El vector geométrico es
\overrightarrow{I_{21}A} = 2h\,\vec{\jmath}_1.
Por tanto tenemos
\vec{v}^{\,A}_{21} = (\omega\,\vec{k})\times(2h\,\vec{\jmath}_1) = -2\omega h\,\vec{\imath}_1.
Como por otro lado tenemos \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1 tenemos
\omega = -\dfrac{v_0}{2h}.
La reducción cinemática en A es
\vec{\omega} = -\dfrac{v_0}{2h}\,\vec{k}, \qquad\qquad \vec{v}^{\,A}_{21}= v_0\,\vec{\imath}_1.
Ahora podemos calcular la velocidad en O
\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO_1} = \dfrac{v_0}{2}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)

2.3.2 Usando la dirección conocida de la velocidad en O

De nuevo razonamos que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es de la forma
\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
Sabemos que la velocidad en O debe ser paralela al vector \overrightarrow{O_1A}. Usando el Teorema de Chasles tenemos
\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO_1} = (v_0+\omega h)\,\vec{\imath}_1 - \omega h\,\vec{\jmath}_1.
Imponiendo que debe ser paralelo a la barra tenemos
\vec{v}^{\,O_1}_{21}\times\overrightarrow{O_1A} = \vec{0} \Longrightarrow 2\omega h^2 + v_0h=0 \Longrightarrow \omega = -\dfrac{v_0}{2h}.
Con lo que reobtenemos el resultado anterior.

2.3.3 Usando equiproyectividad

De nuevo partimos de que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es
\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
La velocidad en O debe ser paralela a la barra, por lo que debe tener la forma
\vec{v}^{\,O_1}_{21} = v\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}_1\right).
La condición de equiproyectividad impone que
\vec{v}^{\,A}_{21}\cdot\overrightarrow{O_1A} =\vec{v}^{\,O_1}_{21}\cdot\overrightarrow{O_1A} \Longrightarrow \sqrt{2}vh = v_0h \Longrightarrow v = v_0/\sqrt{2}.
La velocidad en O1 es
\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \dfrac{v_0}{2}\,\left(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1\right).
Y ahora podemos usar el Teorema de Chasles entre los puntos O1 y A para obtener \vec{\omega}_{21}.

2.4 Momento de inercia en O1

Lo mas sencillo es utilizar el Teorema de los ejes paralelos. El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la barra que pase por su centro de masas es
I_G = \dfrac{1}{12}ML^2 = \dfrac{1}{3}Mh^2.
El momento de inercia pedido se puede calcular así
I_{O_1} = I_G + Md^2,
donde d es la distancia entre el centro de la barra, G y el punto O1. Del dibujo podemos deducir
\overline{O_1G} = \overline{O_1A} - \overline{GA} = \sqrt{2}h - h = h\,(\sqrt{2}-1).
Entonces
I_{O_1} = \dfrac{1}{3}Mh^2 + Mh^2\,(\sqrt{2}-1)^2 = \dfrac{2}{3}\,(5-3\sqrt{2})\,Mh^2 = 0.505Mh^2.
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