ley de tricotomía dice que cada número real es positivo, negativo, o cero.1 Generalmente hablando, la tricotomía es la propiedad de una teoría del orden en un conjunto que para cada e , se tiene una sola de las siguientes relaciones: , o .
En notación matemática, esto es
Asumiendo que el orden es irreflexivo y transitivo, esto puede ser simplificado a
En lógica clásica, este axioma de tricotomía se utiliza para comparaciones ordinarias entre números reales y, por lo tanto, también para comparaciones entre enteros y entre racionales. La ley generalmente no se utiliza en lógica intuicionista.
En los axiomas de Zermelo-Fraenkel y la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, la ley de tricotomía se utiliza entre los cardinales de conjuntos bien ordenados incluso sin el axioma de elección. Si se utiliza el axioma de elección, entonces la tricotomía se utiliza entre cardinales arbitrarios (porque en ese caso todos están bien ordenados).2
Más generalmente, una relación binaria en es 'tricotómica si para cada e en existe exactamente la relación , o . Si tal relación es también transitiva, es un orden total estricto; este es un caso especial de un preorden total débil. Por ejemplo, en el caso de un conjunto de tres elementos , la relación dada por , o es un orden total estricto, mientras que la relación dada por el cíclico , o es una relación tricotómica no transitiva.
En la definición de un dominio integral ordenado, o campo ordenado, la ley de tricotomía es usualmente tomada como más fundacionalo que la ley de orden total.
Una relación tricotómica no puede ser reflexiva, ya que debe ser falsa. Si una relación tricotómica es transitiva, la misma es trivialmente antisimétrica y también asimétrica, ya que no se pueden sostener juntos y .
principio maximal de Hausdorff es una consecuencia del axioma de elección, fue publicado por primera vez en un artículo en alemán de 1909, que no causó gran conmoción en su momento, sino hasta 1935 cuando Max Zorn lo publicó nuevamente.
En un conjunto parcialmente ordenado cualquier subconjunto totalmente ordenado esta contenido en un subconjunto maximal (respecto a la propiedad de ser totalmente ordenado)
Una de las aplicaciones más interesantes sobre esta equivalencia del axioma de elección al álgebra lineal es el siguiente enunciado:
Todo espacio vectorial tiene al menos una base.
El cual no se puede demostrar sin el principio maximal, aunque para espacios vectoriales de dimensión finita (como ) no es necesario.
En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntoses una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos:)
y
su producto cartesiano es:
que se representa:
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.
Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:
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Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.
Ejemplos[editar]
- Números enteros
Sea también el conjunto de todos los números enterosZ = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyos componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).
- Pintura y pinceles
Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:
El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:
Generalizaciones[editar]
Caso finito[editar]
Dado un número finito de conjuntos A1, A2, ..., An, su producto cartesiano se define como el conjunto n-tuplascuyo primer elemento está en A1, cuyo segundo elemento está en A2, etc.
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Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2, como A3 = A × A × A, etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta generalización puede construirse a partir de la definición básica como:
o construcciones similares.
Caso infinito[editar]
En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la «entrada k-ésima»:
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donde ∪F denota la unión de todos los Ai. Dado un j ∈ I, la proyección sobre la coordenada j es la aplicación:
En el caso de una familia finita de conjuntos {A1, ..., An} indexada por el conjunto In = {1, ..., n}, según la definición de n-tupla que se adopte, o bien las aplicaciones f : In → ∪i Ai de la definición anterior son precisamente n-tuplas, o existe una identificación natural entre ambos objetos; por lo que la definición anterior puede considerarse como la más general.
Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas aplicaciones no está justificada por las hipótesis más básicas de la teoría de conjuntos. Estas aplicaciones son de hecho funciones de elección cuya existencia sólo puede demostrarse en general si se asume el axioma de elección. De hecho, la existencia de funciones de elección (cuando todos los miembros de F son no vacíos) es equivalente a dicho axioma.
Propiedades[editar]
El conjunto vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee elementos para construir pares ordenados:
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El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo en casos muy especiales. Lo mismo ocurre con la propiedad asociativa.
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Puesto que el producto cartesiano puede representarse como una tabla o un plano cartesiano, es fácil ver que el conjunto producto es el producto de los cardinales de cada factor:
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En teoría de conjuntos, la fórmula anterior de cardinal del producto cartesiano como producto de los cardinales de cada factor, sigue siendo cierta utilizando cardinales infinitos.
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