CONCEPTOS MATEMÁTICOS

desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b

estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Para tener en cuenta:

Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.

Propiedades[editar]

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a > b y b > c entonces a > c.
• Si a < b y b < c entonces a < c.
• Si a > b y b = c entonces a > c.
• Si a < b y b = c entonces a < c.

Adición y sustracción

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
• Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división

• Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:

• Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
• Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.

Opuesto

• Para números reales arbitrarios a y b:

• Si a < b entonces −a > −b.
• Si a > b entonces −a < −b.

Recíproco

• Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

• Si a < b entonces 1/a > 1/b.
• Si a > b entonces 1/a < 1/b.

• Si a y b son de distinto signo:

• Si a < b entonces 1/a < 1/b.
• Si a > b entonces 1/a > 1/b.

Función monótona[editar]

Al aplicar una función monótona creciente, a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.

Ejemplo

${\displaystyle a$

al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

Valor absoluto[editar]

Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:

• ${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$
• ${\displaystyle |a|\geq b\iff -b\geq a\vee a\geq b}$

Cuerpo ordenado[editar]

Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +, ×, ≤) es un cuerpo ordenado si y solo si:

• a ≤ b implica a + c ≤ b + c;
• 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.

Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para hacer de (C, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado.

Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto.

Notación encadenada[editar]

La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n establece que a_i≤ a_i+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad transitiva, esta condición es equivalente a a_i ≤ a_j para cualesquiera 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo:

a < b = c ≤ d

significa que a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividad: a < d). Esta notación es utilizada en algunos lenguajes de programación tales como Python.

Desigualdades entre medias[editar]

Véase también: Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

Las distintas medias pueden relacionarse utilizando desigualdades. Por ejemplo, para números positivos a₁, a₂, …, a_n, si

${\displaystyle H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}}$	(Media armónica),
${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$	(Media geométrica),
${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$	(Media aritmética),
${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$	(Media cuadrática),

entonces: ${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q}$.

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual 
< menor que 
> mayor que 
≤ menor o igual que 
≥ mayor o igual que

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto ;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación .

Por ejemplo:

X + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos:

3 < 4,       4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b            / ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo:

2 + x  >  16          / – 2  (restamos 2 a ambos lados)

2 + x − 2 > 16 − 2

x  >  14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c < b • c

a > b          / • c (c > 0) ( c es positivo, mayor que cero)

a • c > b • c

Ejemplo

3 ≤ 5 • x   / :5

3/5 ≤ x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c > b • c

a > b             / • c (c < 0) ( c es negativo, menor que cero)

a • c < b • c

Ejemplo:

15 – 3 • x ≥ 39                   / −15

− 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3

x ≤ 24: (−3)

x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

www.profesorenlinea.cl/matematica/Desigualdades.html

distributivaes la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos o más sumandos, es igual a la suma de los productos de cada uno sumando por ese número. En términos algebraicos:

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

Ejemplo: ${\displaystyle 3\cdot (5+4)=3\cdot (9)=27}$

${\displaystyle (3\cdot 5)+(3\cdot 4)=15+12=27}$

En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distributidad.

Sea A un conjunto dado en el que se han definido dos operaciones binarias (${\displaystyle \circ }$ ; ${\displaystyle \star }$). Entonces:

• La operación ${\displaystyle \circ }$ es distributiva por la izquierda respecto de la operación ${\displaystyle \star }$ si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c ${\displaystyle \in }$ A, entonces

${\displaystyle a\circ (b*c)=(a\circ b)*(a\circ c)}$

• La operación ${\displaystyle \circ }$ es distributiva por la derecha respecto de la operación ${\displaystyle \star }$ si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c ${\displaystyle \in }$ A, entonces

${\displaystyle (b*c)\circ a=(b\circ a)*(c\circ a)}$

• La operación ${\displaystyle \circ }$ es distributiva respecto de la operación ${\displaystyle \star }$ si es distributiva por la derecha y distributiva por la izquierda, esto es, si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c ${\displaystyle \in }$ A, entonces

${\displaystyle a\circ (b*c)=(a\circ b)*(a\circ c)}$ y ${\displaystyle (b*c)\circ a=(b\circ a)*(c\circ a)}$

Hay que notar que si la operación ${\displaystyle \circ }$ cumple la propiedad conmutativa, entonces las tres condiciones son equivalentes, y basta que se cumpla una cualquiera de ellas para que las otras dos también se cumplan simultáneamente.

 ejemplos de propiedad distributiva. Pero primero tendremos que recordar en qué consiste esta propiedad.

Como sabéis, la multiplicación tiene distintas propiedades, entre las que podemos señalar:

• Propiedad conmutativa
• Propiedad asociativa
• Elemento neutro
• Propiedad distributiva

Pues bien, la propiedad distributiva es aquella por la que la multiplicación de un número por una suma nos va a dar lo mismo que la suma de cada uno de los sumandos multiplicados por ese número.

Así, por ejemplo:

3 x (4 + 5) = 3 x 4 + 3 x 5

Pero también podemos aplicar la propiedad distributiva en el otro sentido, llamándolo entonces sacar factor común, y es así:

2 x 6 + 2 x 9 = 2 x (6 + 9)

Vamos a ver dos ejemplos más:

Distributiva: 8 x (13 – 1) = 8 x 13 – 8 x 1 = 8 x 13 – 8

Sacar factor común: 12 x 3 x 2 + 3 x 6 + 7 x 3 = 3 x (12 x 2 + 6 + 7)

Para entenderlo mejor, vamos a ver un ejemplo de propiedad distributiva en un problema.

María está preparando su fiesta de cumpleaños, en la que repartirá caramelos a todos sus amigos. Para ello, los meterá en bolsas con 5 caramelos de fresa, 4 caramelos de limón y 3 caramelos de menta cada una. Ha decidido que regalará 10 bolsas de caramelos. ¿Cuántos caramelos regalará en total?

Para resolver el problema, lo importante es que sabemos el número de caramelos de cada tipo que hay en cada bolsa y el número de bolsas. Por lo tanto, podemos resolver este problema por dos caminos distintos:

a) Hallamos el número total de caramelos que pondrá en cada bolsa y luego multiplicamos por el número de bolsas:

5 + 4 + 3 = 12 caramelos en cada bolsa

12 x 10 = 120 caramelos en total

b) Hallamos el número total de caramelos de cada sabor y luego los sumamos:

• 5 caramelos de fresa en 10 bolsas: 5 x 10 = 50 caramelos de fresa
• 4 caramelos de limón en 10 bolsas: 4 x 10 = 40 caramelos de limón
• 3 caramelos de menta en 10 bolsas: 3 x 10 = 30 caramelos de menta

Sumamos todos los caramelos: 50 + 40 + 30 = 120 caramelos en total