ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Lineales de Primer Orden

Una ecuaci�n diferencial linear de primer orden tiene la forma siguiente:

La soluci�n general ser�

donde

es el llamado factor integrante. La constante C podemos encontrarla si tenemos una condici�n inicial.

Aqu� est�n algunos pasos pr�cticos a seguir:

1.

Si se da la ecuaci�n diferencial como,
reescr�bala en la forma
,
donde

2.

Encuentre el factor que integra.

3.

Eval�e el integral 

4.

Anote la soluci�n general.

5.

Si le dan un PVI, utilice la condici�n inicial para encontrar la  constante C.

Ejemplo: Encuentre la soluci�n particular de:


Soluci�n: Seguiremos los pasos:

 

Paso 1: No hay necesidad de reescribir la ecuaci�n diferencial. Tenemos

 

Paso 2: Factor que integra.

 

Paso 3: Tenemos.

 

Paso 4: La soluci�n general se da cerca.

 

Paso 5: Para encontrar la soluci�n particular al PVI dado, utilizamos la condici�n inicial para encontrar C . De hecho, tenemos.
Por lo tanto la soluci�n est�
.

Notar que este �ltimo paso no es necesario para buscar una soluci�n general, s�lo para una soluci�n del PVI

Ecuaciones Lineales: Ejemplo 2

Ejemplo: Encuentre la soluci�n a
.

---

Soluci�n: Primero, comprobamos que esto es una ecuaci�n lineal. De hecho, tenemos

Por lo tanto, el factor integrante es
.
Puesto que  , conseguimos

Por lo tanto, la soluci�n general es dada por el f�rmula

Tenemos

Los detalles para este c�lculo implican la t�cnica de integrar funciones racionales (An�lisis Matem�tico II) . Tenemos

Por lo tanto, la �nica dificultad est� en el integral  . Aqu� utilizaremos la integraci�n por partes . Distinguiremos t e integraremos  .
 Tenemos

Por lo tanto,
,
lo cu�l implica claramente

La soluci�n general se puede tambi�n reescribir como

Finalmente, la condici�n inicial y (0) = 0,4 da C = 0,4. Por lo tanto, la soluci�n al PVI es

Ecuaciones Lineales: Ejemplo 3

Ejemplo: Solucione el siguiente PVI para t > 0

---

Respuesta: Esto es una ecuaci�n lineal. Sigamos estos pasos para solucionar tales ecuaciones:

1.

Tenemos que dividir por 2 t

2.

Pasamos el factor de la integraci�n u (t)

3.

La soluci�n general se da.
Entonces

Por lo tanto, tenemos

4.

La soluci�n al PVI dado puede ser obtenida usando la condici�n inicial y (2)=4. que tenemos,
lo cu�l da  . Por lo tanto, la soluci�n es