ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Lineales: Ejemplo 4

Ejemplo: Encontrar la soluci�n a

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Respuesta: Esto es una ecuaci�n lineal. Primero tenemos que reescribir la ecuaci�n sin la funci�n delante de y '.
,
que se puede tambi�n reescribir como
.

Por lo tanto, el factor integrante es


Por lo tanto, la soluci�n general se puede obtener como


Puesto que tenemos

conseguimos


La condici�n inicial  implica
,
lo cu�l da C = - 1. Por lo tanto, la soluci�n particular al problema del valor inicial es

Variables separadas

La ecuaci�n diferencial de la forma  se llama separable  si f ( x , y) = h (x) g (y); es decir,

Para solucionarlo, realice los pasos siguientes:

(1)

Solucione la ecuaci�n g (y) = 0, que da las soluciones constantes de (s);

(2)

Reescriba la ecuaci�n (s) como (notar que no es correcta la notaci�n),
y, entonces, integre

para obtener

(3)

Anote todas las soluciones; los constantes obtenidos a partir de la (1) y lo que ha dado en (2);

(4)

Si le dan un PVI, utilice la condici�n inicial para encontrar la soluci�n particular. Observe que puede suceder que la soluci�n particular es una de las soluciones constantes dadas en (1). Esta es la raz�n por la cual el paso 3 es importante.

Vamos a verlo con un ejemplo: Encuentre la soluci�n particular de

Soluci�n: Realizamos los pasos siguientes:

(1)

Para encontrar las soluciones constantes, solucione  . Obtenemos y = 1 y y = - 1.

(2)

Reescriba la ecuaci�n como.
Usando las t�cnicas de la integraci�n de funciones racionales (An�lisis Matem�tico I), conseguimos
,
lo cu�l implica

(3)

Las soluciones a la ecuaci�n diferencial dada son

(4)

Puesto que las soluciones constantes no satisfacen la condici�n inicial, buscamos la soluci�n particular entre las encontradas en (2), buscando la constante C. Si sustituimos la condici�n y = 2 cuandox = 1, se consigue.
Observe que esta soluci�n est� dada en una forma impl�cita. En este caso la podemos reescribir de forma expl�cita como

Variables separadas: Ejemplo 2

Ejemplo: Encuentre todas las soluciones de la ecuaci�n
.

---

Soluci�n: Primero, buscamos las soluciones constantes, es decir, buscamos las ra�ces de

Esta ecuaci�n no tiene ra�ces reales. Por lo tanto, no tenemos soluciones constantes.

El paso siguiente ser� buscar las soluciones no constantes. Procedemos separando las dos variables para conseguir
.
Entonces integramos

Puesto que,
,
conseguimos

Por lo tanto, tenemos

No es f�cil obtener y en funci�n de t. Tenemos la soluci�n  y en una forma expl�cita.
Finalmente, porque no hay soluciones constantes, todas las soluciones vienen dadas por la ecuaci�n impl�cita

Variables separadas: Ejemplo 3

Ejemplo: Solucione el problema del valor inicial

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Respuesta: Esto es una ecuaci�n separable. De hecho, tenemos

Comenzamos buscando las soluciones constantes. �stas son las ra�ces de la ecuaci�n  . Puesto que esta ecuaci�n no tiene ninguna ra�z real, concluimos que existe la soluci�n no constante. Por lo tanto, procedemos con la separaci�n de las dos variables e integraremos.
Tenemos

,
lo cu�l da


Desde entonces

y
,
conseguimos


La condici�n inicial y (0)=1 da


La soluci�n particular al problema del valor inicial es

,
o en la forma expl�cita