ecuaciones diferenciales

An�lisis Del Punto Del Equilibrio: T�cnica De la Linealizaci�n

Recuerde que solamente las soluciones de sistemas lineares se pueden encontrar expl�citamente. El problema est� �se en problemas verdaderos generales de la vida se puede modelar solamente por los sistemas no lineales. En este caso, sabemos solamente describir las soluciones global (v�a nullclines). Qu� sucede alrededor de un misterio del restos del punto del equilibrio hasta ahora. Aqu� proponemos discutir este problema. La idea principal es aproximar un sistema no lineal por linear (alrededor del punto del equilibrio). Por supuesto, esperamos que el comportamiento de las soluciones del sistema linear sea igual que el no lineal. �ste es el caso m�s del tiempo (no toda la hora!).

Ejemplo. Considere la ecuaci�n de Van der Pol

Esto es una ecuaci�n no lineal. Traduzcamos esta ecuaci�n a un sistema. Fije  . Entonces tenemos

Los puntos del equilibrio reducen al �nico punto (0.0). Encontremos los nullclines y la direcci�n de los vectores de la velocidad a lo largo de ellos.

El x-nullcline se da cerca
Por lo tanto el x-nullcline es el x-axis.

El x-nullcline se da cerca
Por lo tanto el y-nullcline es la curva  .

En el cuadro abajo dibujamos los nullclines y la direcci�n de los vectores de la velocidad a lo largo de ellos.


Observe que el arreglo de estas curvas nos dice que el `` de las soluciones circunde el '' alrededor del origen. Pero no est� claro si las soluciones circundan y ti�en en el origen, circundan lejos del origen, o guardan en circundar peri�dicamente. Un acercamiento muy �spero a este problema sugiere que si reescribimos el t�rmino  como  , entonces cuando ( x , y) est� cerca de (0.0), el t�rmino  es muy peque�o comparado a - x + y . Por lo tanto un sistema cercano al sistema no lineal original est�

cu�l sucede ser un sistema linear. Los valores propios de este sistema son  . Por lo tanto las soluciones del espiral linear del sistema lejos del origen (puesto que la parte real  es positiva). Sugerimos tan que las soluciones del espiral no lineal del sistema lejos del origen (mirada en el cuadro abajo)

La soluci�n comenzada cerca del punto del equilibrio, entonces separ�. Note que en este caso, la trayectoria est� consiguiendo cerca de qu� parece un ciclo. Veamos mejor esto, consideran los gr�ficos del x(t) y del y(t) de la funci�n :

y

Tan qu� si deseamos generalizar esto a diversos sistemas. �Hay una t�cnica ese imitador qu� lo hicimos? La respuesta es s�. Se llama linealizaci�n .

T�cnica De la Linealizaci�n. 

Considere el sistema aut�nomo

Y asuma que  es un punto del equilibrio. Quisi�ramos tan encontrar el sistema linear m�s cercano cuando ( x , y) est� cerca de  . Para hacer que necesitamos aproximar las funciones f ( x , y) y g ( x , y) cuando ( x , y) est� cerca de  . Esto es un problema similar a aproximar una funci�n valorada verdadera por su tangente (alrededor de un punto por supuesto). De c�lculo multivariable, conseguimos

y

cuando ( x , y) est� cerca de  . Entonces el sistema no lineal se puede aproximar por el sistema

Pero desde  est� un punto del equilibrio, despu�s tenemos  . Por lo tanto tenemos

Esto es un sistema linear. Su matriz del coeficiente es

Esta matriz se llama la matriz de Jacobian del sistema en el punto  .

Resumen de la t�cnica de la linealizaci�n. 
Considere el sistema aut�nomo

y  un punto del equilibrio.

Encuentre los derivados parciales
Anote la matriz de Jacobian

Encuentre los valores propios de la matriz de Jacobian.

Deduzca el sino de las soluciones alrededor del punto del equilibrio de los valores propios. Por ejemplo,

si los valores propios son negativos o complejo con la parte real negativa, entonces el punto del equilibrio es un fregadero (que es todas las soluciones te�ir� en el punto del equilibrio). Observe que si los valores propios son complejos, entonces las soluciones torcer�n en espiral alrededor del punto del equilibrio.

Si los valores propios son positivos o complejo con la parte real positiva, entonces el punto del equilibrio es una fuente (que es todas las soluciones se mover� lejos desde el punto del equilibrio). Observe que si los valores propios son complejos, entonces las soluciones torcer�n en espiral lejos del punto del equilibrio.

Si los valores propios son n�mero verdadero con diversa muestra (un positivo y una negativa), despu�s el punto del equilibrio es una silla de montar. En hecho, habr� dos soluciones que acercan al punto del equilibrio como  , y dos m�s soluciones que acercan al punto del equilibrio como  . Para las tesis lineares del sistema las soluciones son l�neas, pero para el sistema no lineal no est�n en general. Estas cuatro soluciones se llaman separatrix .

Observaci�n. Al ocuparse de un Autonomous System sin el conocimiento anterior del punto del equilibrio, despu�s consejo a primero encontramos la matriz de Jacobian y tapamos los valores para cada punto del equilibrio. Esta manera usted no repite los c�lculos repetidamente otra vez.

Ejemplo. Considere la ecuaci�n del p�ndulo

donde  est� el coeficiente el humedecer. Vea el cuadro abajo.


El sistema equivalente es

Est�n los puntos del equilibrio  , donde  . Los �ngulos  , porque  , corresponden al p�ndulo en su posici�n m�s baja, mientras que  , para  , corresponda al p�ndulo en su posici�n m�s alta. La matriz de Jacobian del sistema

Concentr�mosnos en las posiciones del equilibrio (0.0) y  .

Para (0.0), la matriz de Jacobian est�
Para el motivo de la ilustraci�n fijemos los par�metros. Por ejemplo,

si tomamos  (p�ndulo undamped), entonces los valores propios son  cu�les implican que la masa oscilar� alrededor de la posici�n m�s baja de una manera peri�dica.

Si  (p�ndulo descargado), m = 1, y l = 1. Entonces los valores propios est�n
Puesto que la parte real es negativa, las soluciones se hundir�n (tinte) mientras que oscilan alrededor del punto del equilibrio. Aqu� tenemos el mismo comportamiento para el sistema linear y no lineal.

Para  , la matriz de Jacobi es
Los valores propios son

Tenemos claramente dos valores propios verdaderos con un positivo y una negativa. Las soluciones conseguir�n tan siempre lejos de la posici�n del equilibrio excepto adelante una curva (separatrix).