ecuaciones diferenciales

An�lisis cualitativo de sistemas lineales

En esta p�gina, resumiremos el comportamiento de las soluciones de sistemas lineales. Primero considere el sistema lineal

Los valores propios asociados son las ra�ces del polinomio caracter�stico

Dependiendo de los valores propios, las soluciones tienen diverso comportamiento.

Dos valores propios distintos a cero verdaderos. Tenemos tres casos:

Los dos valores propios  y  son positivos (con  ). Cuando  , las soluciones estallan tangente a la soluci�n straight-line asociada al valor propio  .

En este caso el punto del equilibrio es una fuente .

Los dos valores propios  y  son negativos (con  ). Cuando  , las soluciones "mueren" en el origen. Tienden a la tangente del punto del equilibrio a la soluci�n straight-line asociada al valor propio  .

En este caso el punto del equilibrio es un fregadero .

Los dos valores propios  y  tienen diversas muestras (con  ). En este caso, las soluciones estallan si cuando  (excepto a lo largo de la soluci�n straight-line asociada al valor propio  ) o  (excepto a lo largo de la soluci�n straight-line asociada al valor propio  ).

En este caso, el punto del equilibrio es una silla de montar .

Valor propio distinto a cero verdadero repetido. Llamemos este valor propio . Tenemos dos casos

Si , entonces las soluciones tienden a cualquiera a la tangente del punto del equilibrio a la �nica soluci�n straight-line,

o puede suceder que todas las soluciones (a excepci�n del punto del equilibrio) son soluciones straight-line, acercando al punto del equilibrio:

Si  , entonces las soluciones consiguen grandes como  . Pero incluso si la soluci�n estalla, va al infinito cualquier tangente a la soluci�n straight-line,

o va al infinito derecho en cada direcci�n:

Valor propio cero. Si el sistema tiene cero como valor propio, despu�s existe una l�nea de los puntos del equilibrio (caso degenerado). Llamemos el otro valor propio  . Observe que las soluciones son todas soluciones straight-line. Dependiendo de la muestra de  , la soluci�n puede tender a o conseguir lejos de la l�nea de los puntos del equilibrio paralelos al vector propio asociado al valor propio  . Para una negativa , tenemos

y para un positivo , tenemos

Valores propios complejos. Escribamos los valores propios como  . Tenemos tres casos.

 . Las soluciones tienden al origen (cuando  ) mientras que tuercen en espiral. En este caso, el punto del equilibrio se llama un fregadero espiral .

 . Las soluciones estallan o consiguen lejos del origen (cuando  ) mientras que tuercen en espiral. En este caso, el punto del equilibrio se llama una fuente espiral .

 . Las soluciones son peri�dicas. Esto significa que la trayectoria es curvas o ciclos cerrados. En este caso, el punto del equilibrio se llama un centro .