jueves, 9 de abril de 2015

Electricidad


«Conceptos eléctricos»

El concepto de campo electrostático facilita la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas eléctricas ejercen sobre el espacio que les rodea. Para ungrupo de cargas puntuales puede ser calculado cómo se indica.
Para determinar el campo eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales se calcula el campo debido a cada carga en el punto dado como si fuera la única carga que existiera y se suman vectorialmente los mismos para encontrar el campo resultante en el punto. En forma de ecuación:
\vec E=\vec E_1+\vec E_2+\vec E_3+...+\vec E_n=\sum_{i=1}^n\vec E_i=\sum_{i=1}^n\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r_i^2}\vec {u_r}_i

Campo electrico varias cargas punto.PNG

Según el principio de superposición, el campo eléctrico en el punto P\,\! es la suma vectorial de los dos campos creados por ambas cargas:
{\vec E}={\vec E_1}+{\vec E_2}
Por el teorema de Pitágoras se cumple que la distancia entre cualquiera de las cargas y el punto P\,\! es:
\sqrt{a^2+r^2}
Y como ambas cargas son de igual magnitud se cumple:
E_1 = E_2 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{a^2+r^2}
Las componentes E_{1_x} y E_{2_x} poseen la misma magnitud pero apuntan en sentidos opuestos, por lo tanto:
E_{1_x}+E_{2_x} = 0
En consecuencia, para efectuar la suma vectorial, sólo se deberán tener en cuenta a las componentes E_y\,\!, es decir, la suma vectorial de {\vec E_1} y {\vec E_2} apuntan verticalmente hacia abajo, y siendo E_{1_y}=E_{2_y}, se cumplirá que:
E = 2E_1 \cos\theta\,\!
Teniendo en cuenta que:
\cos\theta = \frac {a}{\sqrt{a^2 + r^2}}
y sustituyendo esta expresión y la de {E_1}\,\! en la expresión de E\,\! se obtiene:
E = \frac{2}{4\pi \epsilon}\frac{q}{a^2+r^2}\frac{a}{\sqrt{a^2+r^2}}=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{2aq}{(a^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}
Si r\,\! >> a\,\! se puede omitir a a\,\! en el denominador y la ecuación se reduce a:
E \approx \frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{(2a)(q)}{r^3}
El producto 2aq\,\! se denomina momento p \,\! del dipolo eléctrico. Entonces, se puede volver a escribir la ecuación de E\,\! como:
E =\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{p}{(a^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}
Y si r>>a, es decir, para puntos distantes a lo largo de la bisectriz del eje del dipolo como:
E \approx \frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{p}{r^3}



Dipolo1.png

Campo eléctrico en los puntos del eje del dipolo


Ejedipolo1.PNG


Puntos fuera de la línea de unión de las cargas


Como en el caso anterior, según el principio de superposición, el campo eléctrico en el punto P\,\! es la suma vectorial de los campos creados por ambas cargas.
{\vec E}={\vec E_1}+{\vec E_2}
Se observa que, al estar ambos vectores sobre el eje x\,\!, se cumple:
E_{1_y}= E_{2_y}=0
Por tanto, a efectos de calcular la suma vectorial, solo deben tenerse en cuenta las componentes E_{1_x} y E_{2_x}.
En consecuencia las magnitudes del campo debidas a q_1\,\! y q_2\,\! serán respectivamente:
E_1 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{{(r-a)}^2}\qquad\qquad E_2 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{{(r + a)}^2}
Como ambas componentes, E_{1_x} y E_{2_x}, apuntan en sentidos contrarios:
E=E_1 -E_2\,\!
O sea:
E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{{(r-a)}^2} -\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{{(r + a)}^2}= \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left [ \frac{q}{{(r-a)}^2}- \frac{q}{{(r + a)}^2}\right ]=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ 4aq\ \frac{r}{{(r^2 - a^2)}^2}
Siendo p=2aq\,\! el momento del dipolo eléctrico:
E=\frac{1}{2\pi \epsilon_0} \frac{pr}{{(r^2 - a^2)}^2}
Y si r\,\! >> a\,\!:
E \approx \frac{1}{2\pi \epsilon_0} \frac{p}{r^3}

Puntos sobre la línea de unión de las cargas


La magnitud de {\vec E} para puntos ubicados entre las cargas, tales como el punto Q\,\!, puede deducirse mediante un razonamiento similar al anterior. La diferencia estriba en que las componentes, E_{1_x} y E_{2_x}, apuntan en el mismo sentido y por ello se suman en lugar de restarse:
E=E_1 +E_2\,\!
Siendo:
E_1 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{l^2}\qquad\qquad E_2 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{{(2a - l)}^2}
Por tanto:
E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{l^2} +\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{{(2a - l)}^2}= \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left [ \frac{q}{l^2}+ \frac{q}{{(2a - l)}^2}\right ]=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} q \frac{2a}{l^2(2a - l)}
Siendo p=2aq\,\! el momento del dipolo eléctrico:
E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{p}{l^2(2a - l)}
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)